精品解析：浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三上学期期末测试数学试卷

2024学年杭州学军中学高三（上）数学期末测试卷 命题：郑日锋 审题：卢予奇 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数与指幂的互换，结合对数函数的性质，根据交集，可得答案. 【详解】由，，，则. 故选：B． 2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意设复数的代数形式，再由条件求得，进而得到其对应点的坐标，从而判断得解. 【详解】因为复数在复平面内所对应的点位于第一象限， 则设， 因为，所以， 所以复数在复平面内所对应的点为， 又，所以该点位于第四象限. 故选：D. 3. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式化简，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得或，即或， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4. 在中，已知，点O是的外心，则（ ） A. 16 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，则，代入数值计算即可． 【详解】如图，过点O作于D，可知， 则， 故选：C 5. 等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 27 B. 24 C. 21 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列性质即可求解； 【详解】在等比数列中，其公比，所以， 所以. 故选：C． 6. 甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】先安排甲乙，然后安排其他人，再根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种， 其他人听不同的讲座，方法数有种， 所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种. 故选：D. 7. 如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得相邻对称轴间距离求出周期得出排除BD，再由区分AC即可得解. 【详解】因为，， 所以相邻两对称轴间的距离，即周期，所以， 排除BD， 当时，代入，可得，满足题意， 代入，可得，不符合题意， 故A正确C错误. 故选：A 8. 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式表示，结合基本不等式求出最大值，解方程求出离心率. 【详解】如图，直线与轴交于点，设，则. 因为， 所以, . 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，整理得， 则，解得. 故选：B 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X服从正态分布，且，则 B. 一组数据的第60百分位数为13.5 C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4 D. 若决定系数越小，则两个变量的相关性越强 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布概率性质计算判断A，由百分位数定义计算判断B，把中心点代入回归方程求解后判断C，利用相关系数与决定系数的概念判断D，从而得解. 【详解】选项A，因为随机变量X服从正态分布，， 所以，故A正确； 选项B，这组数据总共有10个数，由于， 因此第60百分位数为，故B错误； 选项C，因为经验回归方程为，样本中心为， 所以，解得，故C正确. 选项D，因为， 当越小时，越小，此时两个变量的相关性越小，故D错误. 故选：AC. 10. 在梯形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】在中由正弦定理求解判断A；利用两角和差公式求解判断B；利用向量数量积计算判断C；利用数量积计算判断D． 【详解】在中，， 则， 由正弦定理知， 即，故A正确； ， ， ，故B正确； ，故C错误； ， 故，即，故D正确． 故选：ABD 11. 在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与平面所成的角相等 B. C. 二面角的大小可能为 D. 若，则球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，取的中点得平面，平面，根据可判断A；可判断B；做， 得即为的平面角，若，则，推出矛盾可判断C；根据，求出正方体的外接球半径可判断D. 【详解】对于A，取的中点，因为，所以点是的外心， 连接，则平面， 因为是的中点，所以，所以平面， 点是是的中点，，所以， 又，所以，所以，故A正确； 对于B，， ， ，故B正确； 对于C，因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 做，交于点， ，平面， 所以平面，平面，所以， 所以即为的平面角，若， 则，而在直角三角形中，斜边， 这是不可能的，故C错误； 对于D，若，则，， 所以，外接球半径， ，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：球的性质：①球的任何截面均为圆面；②球心和截面圆心的连线垂直于该截面. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 二项式的展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项． 【详解】解：的展开式的通项公式为， 令，解得， ∴展开式的常数项为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 13. 已知点F为椭圆的右焦点，不过F的直线l与椭圆相交于两点，且与圆在y轴右侧相切，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】当直线不经过点时由圆与直线相切的位置关系计算可得结果. 【详解】设，易知长半轴长，离心率； 若没有经过点，设，， 由椭圆性质和题意可知，，所以， . 由椭圆方程得， 代入上式有. ， 则， 同理，所以的周长. 故答案为：. 14. 已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用单调性得到，分离参数，求出，，的最大值即可 【详解】由条件得， 构造函数，对其求导得，令得， 于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 因为，，所以，，根据，得到， 分离参数得对恒成立， 只需 构造函数，，对其求导得， 令得，于是当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，于是，因此k的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，矩形是圆柱的轴截面，分别是上、下底面圆周上的点，且． （1）求证：； （2）若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） 证明：因为矩形是圆柱的轴截面，分别是上、下底面圆周上的点，且，， 所以，不妨设为， 因为均为底面圆的直径，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等角定理以及共线向量进行证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式得出结论 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图，设为圆柱的母线，则底面， 连接，，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ，四边形为正方形， ， 所以，. 所以. 平面的法向量为． 设平面的法向量为， 又， 所以，取，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 16. 盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入k个同（）色球. （1）若，记抽取n次中恰有1次抽中黑球的概率为，求的最大值； （2）若，记事件表示抽取第i次时抽中黑球. （ⅰ）分别求，，； （ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n次中恰有2次抽中黑球的概率. 【答案】（1）； （2）（ⅰ），，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）（ⅰ）利用条件概率公式求解； （ⅱ）由（ⅰ）可进行猜测，抽取n次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关，再结合独立事件的概率乘法公式求解． 【小问1详解】 若，设抽取n次中抽中黑球的次数为X，则， 故， 由，…， 故最大值为或，即的最大值； 【小问2详解】 （ⅰ）， ， ； （ⅱ）由（ⅰ）可进行猜测，抽取n次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关， 则. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 18. 两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，当的垂心恰是C的焦点时，. （1）求p； （2）若，弦中点为P，点关于直线的对称点N在抛物线C上，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系，结合斜率坐标公式，列式计算即得. （2）求出P的轨迹方程，分和两种情况讨论，求出直线AB过定点，再求出N点坐标，即可求出三角形面积. 【小问1详解】 由的垂心恰是C的焦点，由抛物线对称性得，，而， 不妨设，而焦点，则，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，解得，同理，则， 而，因此 所以P的轨迹方程为， 当时，不妨设，，此时，直线AB过点， 当时，直线AB的斜率为， AB的方程为，整理得，直线AB过点， 因此直线 AB过定点， 由可得，解得，于是或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为， 此时直线AB的方程为，由解得或， 当时，直线AB为，不符合题意，舍去，则， ，边上的高，因此的面积， 当时，由对称性，同理可得， 所以的面积为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： ①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； ②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； ③求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19. 已知两个数列和的项数均为，且对于数列，其中，若存在满足：①，都有；②，使得，则称数列是的单极数列. （1）已知，若的单极数列为，求满足条件的的个数. （2）已知是的单极数列. （i）若，求. （ii）若，当时，证明：. 【答案】（1）18 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由单级数列的定义，及的单极数列为可得满足条件的的个数； （2）（i）由，得，两式相减可推得，则得； （ii）设，由已知可推得，则可得，再由，即可证得结果. 【小问1详解】 由题意可知，为的最大值. 若的单极数列为， 则有或， 或或或或， 则满足条件的的个数为. 【小问2详解】 （i）由为的最大值，可知， 由，得， 两式相减，得， 整理，得， 又， 则，即，所以，即. （ii）设， 因为， 则， ， . 易知， ，即， ，即. 又， 则有. 所以 由，得， 即. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列新定义的应用，属于难题. 正确理解定义是求解本题的关键，第（2）问第（i）小问利用递推关系得到数列是单调递增数列是关键；第（ii）小问对正整数进行讨论，比较各项的大小关系，从而得到数列的单级数列，再进行求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年杭州学军中学高三（上）数学期末测试卷 命题：郑日锋 审题：卢予奇 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，已知，点O是的外心，则（ ） A. 16 B. C. 8 D. 5. 等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 27 B. 24 C. 21 D. 18 6. 甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 7. 如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X服从正态分布，且，则 B. 一组数据的第60百分位数为13.5 C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4 D. 若决定系数越小，则两个变量的相关性越强 10. 在梯形中，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与平面所成的角相等 B. C. 二面角的大小可能为 D. 若，则球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 二项式的展开式中的常数项为______. 13. 已知点F为椭圆的右焦点，不过F的直线l与椭圆相交于两点，且与圆在y轴右侧相切，则的周长为___________． 14. 已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，矩形是圆柱的轴截面，分别是上、下底面圆周上的点，且． （1）求证：； （2）若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值. 16. 盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入k个同（）色球. （1）若，记抽取n次中恰有1次抽中黑球的概率为，求的最大值； （2）若，记事件表示抽取第i次时抽中黑球. （ⅰ）分别求，，； （ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n次中恰有2次抽中黑球的概率. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在存在极值，求a的取值范围. 18. 两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，当的垂心恰是C的焦点时，. （1）求p； （2）若，弦中点为P，点关于直线的对称点N在抛物线C上，求的面积. 19. 已知两个数列和的项数均为，且对于数列，其中，若存在满足：①，都有；②，使得，则称数列是的单极数列. （1）已知，若的单极数列为，求满足条件的的个数. （2）已知是的单极数列. （i）若，求. （ii）若，当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $