精品解析：浙江省温州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试卷A卷

2024学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测 数学试题（A卷） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线， 则， 设直线倾斜角为， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 2. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再判断位置关系即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 又，所以， 所以圆与圆的位置关系为内含. 故选：A. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面向量的充要条件是其中一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合判断答案. 【详解】由平面向量基本定理，得 对于A选项，，所以，，三个向量共面； 对于B选项，，所以，，三个向量共面； 对于C选项，若存在实数使得： 则，从而共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面； 对于D选项，，所以三个向量共面． 故选：C． 4. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及直线的斜率公式结合图形可得结果. 【详解】根据导数的几何意义， 如图，分别表示在点处切线的斜率, 又， 由图可知， 故选：B. 5. 已知点是抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足.则的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，即可得到知为等腰直角三角形，从而得到也为等腰直角三角形，且腰长为，即可求出三角形的面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且， 过点作准线的垂线，垂足为，则，所以， 则，所以， 所以为等腰直角三角形，所以也为等腰直角三角形，且腰长为， 所以该三角形的面积为. 故选：C． 6. 如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出. 【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即， 所以为首项为，公比为的等比数列，. 故选：A 7. 过点可作函数，的三条切线，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过点得到，令，，依题意与在上有三个交点，求出函数的导函数，分、、、、五种情况讨论，说明函数的单调性，求出函数的极值，即可得到需满足的条件，从而得解. 【详解】设切点，又，所以，则， 所以切线方程， 又切线过点，所以，即， 令，，依题意与在上有三个交点， 又， 当，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则与在上不可能有三个交点，故舍去； 同理可得当时与在上不可能有三个交点，故舍去； 当时恒成立，则在上单调递增， 与在上不可能有三个交点，故舍去； 当时，令，解得或， 当或时，当时, 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以且； 当时，令，解得或， 当或时，当时, 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又， ，，， 所以且. 综上可得，可能成立的只有. 故选：C 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 8. 已知数列的前项和为，满足，（），则可以是（ ） A. 42 B. 46 C. 50 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】将式子平方，得，，赋值变形为，再利用累差法求解与的关系式，由各项为整数，代入选择支逐项验证即可得. 【详解】由，（），可知，且，， 则，，即， 所以，，，， 故， 则. A项，若，则或， 当时，则， 由，可知不存在整数满足条件； 当时，则， 由，可知不存在整数满足条件，故A错误； B项，若，则或， 其中当时，则， 故，满足题意，故B正确； C项，若，则或， 当时，则， 由，可知不存在整数满足条件； 当时，则， 由，可知不存在整数满足条件，故C错误； D项，若，则或， 当时，则， 由，可知不存在整数满足条件； 当时，则， 由，可知不存在整数满足条件，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决此题关键在于等式的变形处理，转化为，由此利用累差法探究得到等量关系式. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：和圆：，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 当时，直线与圆相切 D. 当直线与圆相交时，截得的最大弦长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】当时，，可判断A；圆心到轴的距离为，可求得弦长判断B；圆心到：的距离为2，可判断C；当直线：过圆的圆心时，可求最长弦长判断D. 【详解】对于A，直线：，当时，，所以直线过定点，故A正确； 对于B，由圆：，可得圆心为，半径为， 圆心到轴的距离为，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确； 对于C，当时，直线：，圆心到：的距离为2，故直线与圆相切，故C正确； 对于D，当直线：过圆的圆心时，截得的最大弦长为4，故D错误. 故选：ABC. 10. 如图，，，所在的平面均与所在的平面垂直，且四个三角形边长均为2的等边三角形，下列选项正确的是（ ） A. 是边长为1的正三角形 B. 平面平面 C. 多面体的体积为 D. 多面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，分别取的中点，连接，利用面面垂直的性质可证得是边长为1的正三角形，判断A；若平面平面，可得平面，显然不正确，可判断B；求得多面体的体积判断C；求得多面体的外接球的表面积判断D. 【详解】对于A，分别取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 由所在的平面与所在的平面垂直，即平面平面， 又平面平面，所以平面， 同理可证平面，平面，可得， 又，所以可得四边形是矩形， 从而可得，所以， 因为是边长为2的等边三角形，所以是边长为1等边三角形， 所以是边长为1的正三角形，故A正确； 对于B，若平面平面，又平面平面，平面平面， 则可得平面，又显然不垂直于平面，故假设错误，故B错误； 对于C，如图所示，几何体可由一个正三棱柱与三个相同的四棱锥空间组合而成， 所以是边长为2的等边三角形，易求得， 由是边长为1等边三角形，所以可求得四棱锥的高为， 所以几何体的体积为，故C正确； 对于D，设底面的中心为，底面的中心为，也是的中心， 多面体外接球的球心在直线上，设的长为， 又易得，， 所以，解得，所以外接球的半径， 所以多面体的外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 设函数，则（） A. B. 当时， C. 当时， D. 当，时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先确定的范围，结合对数函数性质判断A，判断函数的单调性，结合单调性判断B，举反例判断C，分别在，条件下结合函数单调性，幂函数性质证明，判断D. 【详解】对于A，由有意义可得， 所以，， 所以， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 若，则，， 所以， 所以，B正确； 取，， ， 所以，故，C错误； 当时，. 当时，不妨设， ①当时，， 所以， 设，， 则，设，， 则， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 所以， ②当时，， ， 设，， 则，所以在上单调递减， 所以，即， 因为，所以，，， 所以，即， 所以， ③当时， 若，则， 由②知，， 所以，故， 若，则， 由①知，， 所以，故， 若，则， ，，所以 综上可知，，都有，D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：选项D的判断的关键在于将命题转化为命题的判断，再通过分区间同理，结合幂函数的性质判断结论. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】设双曲线方程为或，由渐近线方程得出关系，进而求出离心率． 【详解】若双曲线方程为，由其渐近线方程为，则， 所以； 若双曲线方程为，由其渐近线方程为，则， 所以， 所以双曲线的离心率是或. 故答案为：或 13. 已知等差数列的首项与公差均为正整数，且各项的和为49，则______. 【答案】1或4 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式得，分类讨论可求得. 【详解】由等差数列的前项和公式，可得， 所以， 因为等差数列的首项与公差均为正整数， 所以，或，或， 当时，不符合题意， 当时，，因首项与公差均为正整数，故无解； 当时，，当时，，当时，， 综上所述：或. 故答案为：或. 14. 已知函数有两个零点，且.设为常数，当变化时，有最小值，则常数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，通过整体元变换消元，将转化为单变量函数，最值问题转化方程有解问题，利用导函数分析最值情况即可. 【详解】由题意知，两式作比得， 令，则，令， 则，解得， 所以 ， 设，则. 要使在存在最小值， 则关于的方程在有解，设为的根， 则， 当时，等式左边，右边， 又，故不满足题意，故； 由此可解得， 所以 ， 故， 令，则， 令则， 令，解得， 则当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 且，，； 故存在，使得， 则当时，，即，则在单调递增； 当，，即，则在单调递减. 又， 由单调性可知在有唯一解， 即有唯一解， 代入，得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于整体换元，一是令，作整体取代从而简化运算；二是令，将用表示，作减元处理，从而双变量问题转化为单变量问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，，. （1）求的长； （2）求证：直线平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案； （2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明. 【小问1详解】 ， 可得 所以； 【小问2详解】 ，，， 所以 ， 所以，所以， ， 所以，所以，又，平面， 所以平面. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据作差计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 因为， 当时，， 当时，，所以， 当时，也成立，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 17. 已知函数，. （1）若，求证：； （2）若方程有2个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明； （2）依题意可得，令，结合函数的单调性得到，从而得到与有两个交点，结合（1）中函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 当时，，令， 则，所以当时，当时， 所以上单调递增，在上单调递减，所以，即； 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 综上可得； 【小问2详解】 由，可得， 所以， 令，显然在上单调递增， 由， 所以，则， 依题意可得与有两个交点， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，则， 由当时，当时， 所以，即实数的取值范围为. 18. 已知，分别是双曲线的左，右焦点，过的直线交双曲线左支于，两点，过的直线交双曲线右支于，两点（点，在轴上方），且，直线，交于点. （1）当轴时，求的坐标； （2）若，求直线的斜率； （3）设为坐标原点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出焦点坐标，由求出点坐标，即可得到点坐标，再求出直线、的方程，从而求出交点坐标； （2）依题意可得，设直线：，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据求出的值，即可得解； （3）由（2）知，即可求出直线、的方程，从而求出点坐标，再求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 双曲线的焦点，， 当时，由，解得或，所以， 则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，解得，所以； 【小问2详解】 由，知，所以， 连接，根据双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，所以， 设直线：，，，则， 由，可得，则，， 所以，， 则，解得（负值已舍去），所以直线的斜率为； 【小问3详解】 由（2）知， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，解得， 所以， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以，即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 设为正整数，由互不相同的正实数构成数列，，…，. （1）请给出一个数列，，，使得，，成等比数列； （2）若，，…，，为等比数列，求所有的； （3）将所有的（）按照一定顺序排成一列数，若这一列数是递增的等比数列，求所有的. 【答案】（1）数列为， （2）为不小于3的奇数 （3）. 【解析】 【分析】（1）取，验证该数列满足要求； （2）设该等比数列的公比为，证明为偶数不满足要求，再举例说明为大于等于的奇数时满足条件； （3）通过举例说明，满足要求，再证明时，不存在满足条件的即可. 【小问1详解】 取， 则，，， 此时，，成等比数列， 故数列满足要求， 【小问2详解】 设该等比数列的公比为，则，， 且， 若为偶数，设，其中正整数， 则. 由可得，这与正实数，，…，互不相同矛盾 若为奇数，设，其中为正整数. 当， 时满足条件. 综上可知，满足条件的正整数为不小于3的奇数 【小问3详解】 ①时，选取，则为等比数列. ②时，选取， 则为等比数列， ③时，不妨假设， 集合中的所有元素按从小到大排列所成的数列为， 则数列为等比数列，该数列的公比为，. 因为，， ， 故等比数列的前两项为，，末两项为，， 则， 1) 若，则，这与为等比数列中不同的两项矛盾. 2) 若，则. 因为， 所以等比数列的前三项为，末三项为， ， 又因为，所以为等比数列的相邻三项， 若为等比数列的第四项，， 于是，这与为等比数列中不同的两项矛盾： 若为等比数列的第七项，，于是， 这与为等比数列中不同的两项矛盾. 综上可知，满足条件的正整数，. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问解决的关键在于通过假设，并进一步比较两两乘积的大小关系确定数列的前两项，和末两项，再进一步证明满足条件的不存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测 数学试题（A卷） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足.则的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 16 6. 如图，雪花形状图形作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 过点可作函数，三条切线，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，满足，（），则可以是（ ） A. 42 B. 46 C. 50 D. 54 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：和圆：，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 当时，直线与圆相切 D. 当直线与圆相交时，截得最大弦长为 10. 如图，，，所在的平面均与所在的平面垂直，且四个三角形边长均为2的等边三角形，下列选项正确的是（ ） A. 是边长为1的正三角形 B. 平面平面 C. 多面体的体积为 D. 多面体的外接球的表面积为 11. 设函数，则（） A. B. 当时， C 当时， D. 当，时， 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是__________. 13. 已知等差数列的首项与公差均为正整数，且各项的和为49，则______. 14. 已知函数有两个零点，且.设为常数，当变化时，有最小值，则常数的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，平行六面体中，，. （1）求的长； （2）求证：直线平面. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 已知函数，. （1）若，求证：； （2）若方程有2个不同的解，求实数的取值范围. 18. 已知，分别是双曲线的左，右焦点，过的直线交双曲线左支于，两点，过的直线交双曲线右支于，两点（点，在轴上方），且，直线，交于点. （1）当轴时，求的坐标； （2）若，求直线的斜率； （3）设为坐标原点，求的取值范围. 19. 设为正整数，由互不相同的正实数构成数列，，…，. （1）请给出一个数列，，，使得，，成等比数列； （2）若，，…，，为等比数列，求所有的； （3）将所有的（）按照一定顺序排成一列数，若这一列数是递增的等比数列，求所有的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$