广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

第 1页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 南实集团麒麟中学 2024-2025学年度第一学期开学考试 九年级数学试题 注意事项： 1．全卷共 4页． 2．考试时间为 90分钟，满分 100分． 3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用 2B铅笔填涂在答题卡上， 并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试 卷上答题一律无效． 第Ⅰ卷（选择题共 24分） 一、选择题（8小题，每小题 3分，共 24分） 1. 下列分式是最简分式的是（ ） A. 2 2 3 a a b B. 2 4 a b C. 2 2 a b a b   D. 2 2 2 a ab a b   2. 已知关于 x的一元二次方程 2 4 2 0mx x   有两个不相等的实数根，则 a的取值范围是（ ） A. 2m   B. 2m   C. 2m   且 0m  D. 2m   且 0m  3. 下列说法： ①四边相等的四边形一定是菱形 ②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 ③对角线相等的四边形一定是矩形 ④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 其中正确的有 ( )个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 在 4 4 的正方形网格中，点 A、B、C均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边 AC上的高. 现有无刻 度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案 I ， II，下列说法正确的是（ ） 方案 I 方案 II 第 2页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 ①以点 B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC于点 D，E； ②分别以点 D，E为圆心，大于 1 2 DE长为半径画弧，两弧交于点 F； ③连接 BF，交边 AC于点 G ， BQ即为所求 ①取点 P，点 P为小正方形的顶点； ②连接 BP交边 AC于点 Q. BQ即为所求． A. I可行、 II不可行 B. I不可行、 II可行 C. I、 II都可行 D. I、 II都不可行 5. 某个正六边形螺帽需要拧 4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽 （如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（ ） A. 4 B. 16 C. 24 D. 32 6. 若平行四边形的一边长为8cm，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长 x的取值范围为（ ） A. 2cm 14cmx  B. 5cm 11cmx  C. 10cm 22cmx  D. 4cm 28cmx  7. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC与 BD相交于点 E， 45AEB  ， 4BD  ，将 ABCV 沿直线 AC翻 折180后与原图形在同一平面内，若点 B的落点记为 B，则DB的长为（ ） A. 2 2 B. 2 3 C. 4 2 D. 5 第 3页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 8. 如图，在正方形 ABCD中，E 是边 AD 中点，F 是边 AB 上一动点，G 是 EF 延长线上一点，且 GF EF ．若 4AD ，则 2 2EG CG 的最小值为（ ） A. 52 B. 60 C. 68 D. 76 第Ⅱ卷（非选择题共 76分） 二、填空题（5小题，每小题 3分，共 15分） 9. 已知分式     2 1 2 1 x x x    ，当 x _______时，分式的值为 0． 10. 如图，平面直角坐标系中，经过点  4 0B  ， 的直线 y kx b  与直线 2y mx  相交于点 13 2 A      ， ， 则不等式 2 0mx kx b    的解集为____． 11. 对于实数m n、 ，定义运算“※”：m※ n = ( )mn m n ．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若 1 2,x x 是关 于 x的一元二次方程 2 5 4 0x x   的两个实数根，则 1x ※ 2x =_____． 12. 如图，在 ABCV 中， 10BC  ， 4AC AB  ， AD是 BAC 的平分线，CD AD ，则 BDC 面 积的最大值为_____． 第 4页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 13. 如图，在 ABCV 中， 90C  ， 4AB  ， 2BC  ，D是 AB的中点，点 E在边 AC上，将 ADEV 沿DE翻折，使点A落在点 A处，连接 AA、A B ，当 AA E 是等腰直角三角形时，A B 的长为________． 三、解答题（本大题有 7 题，其中 14 题 10 分，15 题 6 分，16题 8 分，17 题 8分，18 题 8 分，19题 9分，20题 12分，共 61分） 14. 用指定方法解下列方程： （1）2x2-5x+1＝0(公式法)； （2）x2-8x+1＝0(配方法)． 15. 先化简，再求值： 2 2 2 4 2 4 4 2 2 a a a a a a a a           ，且 a的值满足 2 2 8 0a a   ． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， ABCV 的顶点都在格点上． （1）将 ABCV 向右平移 6个单位长度得到 1 1 1A BC△ ，请画出 1 1 1A BC△ ； （2）画出 1 1 1A BC△ 关于点O的中心对称图形 2 2 2A B C△ ； （3）若将 ABCV 绕某一点旋转可得到 2 2 2A B C△ ，旋转中心的坐标为______； （4）以A， B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是 y 轴上一点，则点D的坐标是_____． 17. 如图，将平行四边形 ABCD的边 AB延长至点 E，使 BE AB ，连接DE，EC，DE，交 BC于点O． 第 5页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证： ABD BEC ≌ ； （2）连接 BD，若 2BOD A   ，求证：四边形 BECD是矩形． 18. 三星堆遗址被称为 20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文 明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身 限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有 A，B两个系列，A系列产品比 B系列产 品的售价低 5元，100元购买 A系列产品的数量与 150元购买 B系列产品的数量相等．按定价销售一段时 间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖 50件，若 B系列产品每降 1元，则每天可以多卖 10件． （1）A系列产品和 B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使 B系列产品每天的销售额为 960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求 B系列产品的实际售价应 定为多少元/件？ 19. 探究不同长方形周长与面积的关系 一、项目化情境与问题 某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长 C和面积 S分别如 图 1所示 根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别 是已知矩形周长和面积的 1 2 ，即对于任意一个长方形 A，是否一定存在长方形 B，使得 1 2 B B A A C S C S   成立？ 二、项目支架与探究 为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进， 最后猜想得出结论． 探 究 1 研究 特殊 情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得 1 2 B B A A C S C S   设长方形乙的长为 x，宽为 y，请你通过计算完成图 2的填空∶ 第 6页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 探 究 2 研究 特殊 情况 不妨考虑图 2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得 1 2 B B A A C S C S   成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请 说明理由． 三、项目成果 长方形 A的长为 m，宽为 1  1m  ，若一定存在长方形 B，使得 12 B B A A C S C S   成立，请直接写出 m的最小 值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点  2,0A ，点  0,6B ，点  6,0D  ，以 AB、 AD为边作 ABCD ， 点 E为 BC中点，连接DE、 AE． （1）分别求出线段 AE和线段DE所在直线解析式； （2）点 P为线段 AE上的一个动点，作点 B关于点 P的中心对称点 F ，设点 P横坐标为 a，用含 a的代数 式表示点 F 的坐标（不用写出 a的取值范围）； （3）在（2）的条件下， ①当点 F 移动到 ADEV 的边上时，求点 P坐标； ②M 为PE中点，N 为 PA中点，连接MF、NF．请利用备用图探究，直接写出在点 P的运动过程中， MFN△ 周长的最小值和此时点 P的坐标． 第 1页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 南实集团麒麟中学 2024-2025学年度第一学期开学考试 九年级数学试题 注意事项： 1．全卷共 4页． 2．考试时间为 90分钟，满分 100分． 3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用 2B铅笔填涂在答题卡上， 并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试 卷上答题一律无效． 第Ⅰ卷（选择题共 24分） 一、选择题（8小题，每小题 3分，共 24分） 1. 下列分式是最简分式的是（ ） A. 2 2 3 a a b B. 2 4 a b C. 2 2 a b a b   D. 2 2 2 a ab a b   【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A. 2 2 2 3 3 a a b ab  ，不是最简分式，不符合题意； B. 2 4 2 a a b b  ，不是最简分式，不符合题意； C. 2 2 a b a b   ，分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意； D. 2 2 2 a ab a a b a b     ，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查最简分式的概念，理解最简分式的概念是解题关键． 2. 已知关于 x的一元二次方程 2 4 2 0mx x   有两个不相等的实数根，则 a的取值范围是（ ） A. 2m   B. 2m   C. 2m   且 0m  D. 2m   且 0m  【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程  2 0 0ax bx c a    的根与 2 4b ac   有如下关系：当Δ 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 0  时，方程有两个相等的实数 第 2页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 根；当 0  时，方程无实数根，得到    2Δ 4 4 2 0m      ，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得    2Δ 4 4 2 0m      ， 解得 2m   ，  0m  ， m的取值范围是 2m   且 0m  ． 故选：D． 3. 下列说法： ①四边相等的四边形一定是菱形 ②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 ③对角线相等的四边形一定是矩形 ④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 其中正确的有 ( )个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确； ∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误； ∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误； ∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确； 其中正确的有 2个， 故选：C． 4. 在 4 4 的正方形网格中，点 A、B、C均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边 AC上的高. 现有无刻 度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案 I ， II，下列说法正确的是（ ） 方案 I 方案 II 第 3页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 ①以点 B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC于点 D，E； ②分别以点 D，E为圆心，大于 1 2 DE长为半径画弧，两弧交于点 F； ③连接 BF，交边 AC于点 G ， BQ即为所求 ①取点 P，点 P为小正方形的顶点； ②连接 BP交边 AC于点 Q. BQ即为所求． A. I可行、 II不可行 B. I不可行、 II可行 C. I、 II都可行 D. I、 II都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，网格线的特征进行判断即可． 【详解】解：方案 I是过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，故方案 I可行， 方案 II是根据网格线的特征作图，故方案 II可行， 故选：C． 【点睛】本题考查了基本作图思想，掌握网格线的特征和过直线外一点作已知直线的垂线的基本做法是解 题的关键． 5. 某个正六边形螺帽需要拧 4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽 （如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（ ） A. 4 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 第 4页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题主要考查了旋转对称图形的概念，理解相关概念是解题的关键．根据旋转的性质和周角是 360° 求解即可． 【详解】解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是 60°，因而旋转一圈需要转动扳手 360 60 6  次，旋转 4圈需要转动扳手 2446  次． 故选：C． 6. 若平行四边形的一边长为8cm，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长 x的取值范围为（ ） A. 2cm 14cmx  B. 5cm 11cmx  C. 10cm 22cmx  D. 4cm 28cmx  【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形 的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键．根据平行四边形的对角线互相平 分，以及三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，四边形 ABCD为平行四边形， 8AD  ， 6AC  ，BD a ， 则： 3, 2 aOA OD  ， ∵ AD OA OD AD OA    ， ∴8 3 8 3 2 a     ，即：10 22a  ； 故选 C． 7. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC与 BD相交于点 E， 45AEB  ， 4BD  ，将 ABCV 沿直线 AC翻 折180后与原图形在同一平面内，若点 B的落点记为 B，则DB的长为（ ） A. 2 2 B. 2 3 C. 4 2 D. 5 【答案】A 第 5页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 【解析】 【分析】由四边形 ABCD是平行四边形， 4BD  ，可得 1 2 2 BE BD  ．如图，连接BB．根据折叠的 性质知， 45AEB AEB    ，BE B E ．证明 BB E 是等腰直角三角形，则 2 2 2BB BE   ， 结合线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， 4BD  ， ∴ 1 2 2 BE BD  ． 如图，连接BB．根据折叠的性质知， 45AEB AEB    ， BE B E ． ∴ 90BEB  ， ∴ BB E 是等腰直角三角形，则 2 2 2BB BE   ． 又∵ BE DE ， B E BD  ， ∴ 2 2DB BB   ． 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用， 熟练的利用轴对称的性质解题是关键． 8. 如图，在正方形 ABCD中，E 是边 AD 中点，F 是边 AB 上一动点，G 是 EF 延长线上一点，且 GF EF ．若 4AD ，则 2 2EG CG 的最小值为（ ） A. 52 B. 60 C. 68 D. 76 第 6页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点 G作DH AB 于 H，过 G作 ∥MN AB交DA的延长线于 M，交CB的延长线于 N， 则四边形 AHGM 和四边形 BHGN 均为矩形，设 AF x ，证明  AASHGF AEF ≌ ，则 2GH AE HF AF x   ， ， 2 2MG AH x AM GH NB    ， ， 4 2NG BH AB AH x     ，由勾股定理得， 2 2 2 24 16EG MG ME x    ，  22 2 2 24 2 36 4 16 52CG NG CN x x x        ，则  22 2 28 16 68 8 1 60EG CG x x x       ， 根据  28 1 0x   ，求解作答即可． 【详解】解：如图，过点 G作DH AB 于 H，过 G作 ∥MN AB交DA的延长线于 M，交CB的延长线于 N，则四边形 AHGM 和四边形 BHGN 均为矩形， 设 AF x ， ∵正方形 ABCD中，E是边 AD中点， 4AD ， ∴ 4 2AB AD BC AE DE    ， ， ∵ 90GHF EAF HFG AFE GF EF        ， ， ， ∴  AASHGF AEF ≌ ， ∴ 2GH AE HF AF x   ， ， ∴ 2 2MG AH x AM GH NB    ， ， 4 2NG BH AB AH x     ， 在Rt EMG 中， 2 4MG x ME AM AE   ， ， 由勾股定理得： 2 2 2 24 16EG MG ME x    ， 在Rt CGN 中， 4 2 6NG x CN BC NB    ， ， 由勾股定理得：  22 2 2 24 2 36 4 16 52CG NG CN x x x        ， ∴  22 2 28 16 68 8 1 60EG CG x x x       ， 第 7页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 ∵  28 1 0x   ， ∴  28 1 60 60x    ，即 2 2 60EG CG  ， ∴ 2 2EG CG 的最小值为60， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方 公式等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，完全平 方公式是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共 76分） 二、填空题（5小题，每小题 3分，共 15分） 9. 已知分式     2 1 2 1 x x x    ，当 x _______时，分式的值为 0． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为 0；（2）分 母不为 0． 【详解】解：∵ 2 1 0x - ， ∴ 1x   ， 当 1x  时，   2 1 0x x   ， 当 1x   时   2 1 0x x   ， ∴当 1x   时，分式的值是 0． 故答案为： 1 ． 10. 如图，平面直角坐标系中，经过点  4 0B  ， 的直线 y kx b  与直线 2y mx  相交于点 13 2 A      ， ， 则不等式 2 0mx kx b    的解集为____． 第 8页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 3 4 2 x    【解析】 【分析】根据图像，结合不等式，得出函数 2y mx  在函数 y kx b  的下面，且它们的值小于 0，再 根据交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵根据函数的图像，可知不等式 2 0mx kx b    的解集就是函数 2y mx  在函数 y kx b  的下面，且它们的值小于0， 又∵  4 0B  ， ， 13 2 A      ， ， 不等式 2 0mx kx b    的解集是 34 2 x    ． 故答案为： 3 4 2 x    ． 【点睛】本题考查了利用图像法解不等式，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答． 11. 对于实数m n、 ，定义运算“※”：m※ n = ( )mn m n ．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若 1 2,x x 是关 于 x的一元二次方程 2 5 4 0x x   的两个实数根，则 1x ※ 2x =_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据新定义表示出  2 1 2 11 2x x x x xx  ※ ，根据一元二次方程根与系数的关系可得 1 2 1 25, 4x x x x   ，进而即可求解． 【详解】解：∵ 1 2,x x 是关于 x的一元二次方程 2 5 4 0x x   的两个实数根， 第 9页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 2 1 25, 4x x x x   ， ∴  2 1 2 11 2x x x x xx  ※ 5 4 20   ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解 题的关键． 12. 如图，在 ABCV 中， 10BC  ， 4AC AB  ， AD是 BAC 的平分线，CD AD ，则 BDC 面 积的最大值为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，延长 AB CD、 交点于 E， 可证  ASAADE ADC ≌ ，得到 AC AE ，DE CD ，进而得到 1 2BDC BEC S S  ，由三角形全等推导 出 1 2BDC BEC S S  ，并判断出当 BE BC 时， BDCS△ 最大，是解题的关键． 【详解】解：如图，延长 AB CD、 交点于 E， ∵ AD平分 BAC ， ∴ CAD EAD  ， ∵CD AD ， ∴ 90ADC ADE   ， 在 ADEV 和 ADC△ 中， 第 10页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 ADE ADC AD AD EAD CAD         ， ∴  ASAADE ADC ≌ ， ∴ AC AE ，DE CD ， ∴ 4BE AE AB AC AB     ， ∵DE DC ， ∴ 1 2BDC BEC S S  ， ∴当 BE BC 时， BDCS△ 最大， ∴ 1 1 1 1· 10 4 10 2 2 2 2BDC S BC BE       最大值 ， 故答案为：10． 13. 如图，在 ABCV 中， 90C  ， 4AB  ， 2BC  ，D是 AB的中点，点 E在边 AC上，将 ADEV 沿DE翻折，使点A落在点 A处，连接 AA、A B ，当 AA E 是等腰直角三角形时，A B 的长为________． 【答案】 6 2 【解析】 【分析】由 90C  ， 4AB  ， 2BC  ,可得∠BAC=30°,又由D是 AB的中点,可得 DA=BD= 1 2 AB=2, 再根据将 ADEV 沿DE翻折，使点A落在点 A处，可得 AD=2,则∠BAC=90°, AD= AD=2；又 AA E 是 等腰直角三角形，则∠ AAC=45°，即可求得∠ AAB=∠D AA=15°,再由三角形外角的定义可得∠ ADB=30°， 作 BF⊥A’D，得到 BF= 1 2 BD=1，DF= 3 ，在 Rt△A’BF中，求出 A’B． 【详解】解：∵ 90C  ， 4AB  ， 2BC  ∴sin∠BAC= 1 2 ∴∠BAC=30°, 第 11页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 ∵D是 AB的中点 ∴DA=BD= 1 2 AB=2 ∵将 ADEV 沿DE翻折，使点A落在点 A处， ∴ AD=2 ∴DA=BD= AD=2 ∴∠BAC=90°,∠ AAB=∠D AA 又∵ AA E 是等腰直角三角形 ∴∠ AAC=45° ∴∠ AAB=∠D AA=∠ AAC -∠BAC =15°, ∴∠ ADB=∠ AAB+∠D AA=30° 作 BF⊥A’D ∴BF= 1 2 BD=1，DF= 2 22 1 3  ∴AF’=2- 3 在 Rt△A’BF中 A’B= 2 21 (2 3) 6 2    故答案为 6 2 ． 【点睛】本题考查了图形的旋转和直角三角形的性质，掌握旋转的性质和理解直角三角形中 30°所对的边为 斜边的一半是解答本题的关键． 三、解答题（本大题有 7 题，其中 14 题 10 分，15 题 6 分，16题 8 分，17 题 8分，18 题 8 分，19题 9分，20题 12分，共 61分） 14. 用指定方法解下列方程： （1）2x2-5x+1＝0(公式法)； （2）x2-8x+1＝0(配方法)． 第 12页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）x1＝ 5 17 4  ，x2＝ 5 17 4  （2）x1＝4+ 15，x2＝4- 15 【解析】 【分析】（1）根据公式法，可得方程的解； （2）根据配方法，可得方程的解． 【小问 1详解】 解：∵a＝2，b＝-5，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17， ∴x＝ 2 4 2 b b ac a     5 17 2 2   ， ∴x1＝ 5 17 4  ，x2＝ 5 17 4  ． 【小问 2详解】 解：移项得 2 8 1x x   ， 并配方，得 2 8 16 1 16x x     ， 即(x-4)2＝15， 两边开平方，得 x＝4± 15， ∴x1＝4+ 15，x2＝4- 15． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法解一元二次方程的关键是配方，利用公式法解方程要利用根 的判别式． 15. 先化简，再求值： 2 2 2 4 2 4 4 2 2 a a a a a a a a           ，且 a的值满足 2 2 8 0a a   ． 【答案】 2 2 2a a ， 1 4 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的基本性质及运算法则，有括号先算括号里面的，注意 利用因式分解先约分化简，再整体代入计算即可求解． 第 13页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：原式＝      2 2 2 2· ( 2) 2 2 a a a a a a a a          ； ＝   2 2· 2 2 2 a a a a a a a        ；   2 2· 2 2 a a a a     ； 2 2 2a a   ； ∵ 2 2 8 0a a   ； ∴ 2 2 8a a  ； ∴原式 2 1 8 4   ． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， ABCV 的顶点都在格点上． （1）将 ABCV 向右平移 6个单位长度得到 1 1 1A BC△ ，请画出 1 1 1A BC△ ； （2）画出 1 1 1A BC△ 关于点O的中心对称图形 2 2 2A B C△ ； （3）若将 ABCV 绕某一点旋转可得到 2 2 2A B C△ ，旋转中心的坐标为______； （4）以A， B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是 y 轴上一点，则点D的坐标是_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）  3,0 （4）  0,6 【解析】 第 14页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了作图—旋转变换、作图—平移变换，平行四边形的判定，解题的关键是掌握旋转变换 和平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A、 B、C的对应点 1 1 1A B C、 、 ，再顺次连接即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A、 B、C的对应点 2 2 2A B C、 、 ，再顺次连接即可； （3）作出旋转中心，即可得出答案； （4）根据题目要求以及平行四边形的判定作出点D即可． 【小问 1详解】 解：如图， 1 1 1A BC△ 即为所求， ； 【小问 2详解】 解：如图， 2 2 2A B C△ 即为所求， ； 【小问 3详解】 解：如图： 第 15页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 ， 旋转中心的坐标为  3,0 ； 【小问 4详解】 解：如图： ， 点D的坐标为  0,6 ． 17. 如图，将平行四边形 ABCD的边 AB延长至点 E，使 BE AB ，连接DE，EC，DE，交 BC于点O． （1）求证： ABD BEC ≌ ； （2）连接 BD，若 2BOD A   ，求证：四边形 BECD是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形 ABCD，易得四边形 BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即 可； （2）由  1 ，易证得 BC ED ，即可证得四边形 BECD是矩形． 第 16页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 【小问 1详解】 证明：在平行四边形 ABCD中， AD BC ， AB CD ， AB CD∥ ，则 BE CD ． 又 AB BE ， BE DC  ， 四边形BECD为平行四边形， BD EC  ． 在 ABD△ 与 BECV 中， AB BE BD EC AD BC      ，  SSSABD BEC ≌ ； 【小问 2详解】 解：由  1 知，四边形BECD为平行四边形，则OD OE ，OC OB ， 四边形 ABCD为平行四边形， A BCD   ，即 A OCD  ， 又 2BOD A  Q ， BOD OCD ODC   ， OCD ODC  ， OC OD  ， OC OB OD OE    ，即 BC ED ， 平行四边形BECD为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定以 及三角形的外角性质等知识．注意证得四边形 BECD为平行四边形是关键． 18. 三星堆遗址被称为 20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文 明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身 限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有 A，B两个系列，A系列产品比 B系列产 品的售价低 5元，100元购买 A系列产品的数量与 150元购买 B系列产品的数量相等．按定价销售一段时 间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖 50件，若 B系列产品每降 1元，则每天可以多卖 10件． （1）A系列产品和 B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使 B系列产品每天的销售额为 960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求 B系列产品的实际售价应 第 17页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 定为多少元/件？ 【答案】（1）A系列单价为 10元；B系列单价为 15元 （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列方程解答即可． （1）设 A系列单价为 x元；B系列单价为  5x 元，根据题意，得100 150 5x x   ，解方程即可． （2）设 B系列单价为 y元，则单件降价为  15 y 元，每天的销售量为    50 10 15 200 10y y    件， 根据销售额等于单价乘以数量列式  200 10 960y y  根据题意，得 100 150 5x x   ，解方程即可． 【小问 1详解】 设 A系列单价为 x元；B系列单价为  5x 元，根据题意，得100 150 5x x   ，解方程，得 10x  ， 经检验， 10x  是原方程的根，此时  5x =15元， 答：A系列单价为 10元；B系列单价为 15元． 【小问 2详解】 设 B系列定价为 y元，则单件降价为  15 y 元，每天的销售量为    50 10 15 200 10y y    件， 根据题意，得  200 10 960y y  ， 整理得 2 20 96 0y y   ， 解得 1 28, 12y y  ， 尽可能让顾客得到实惠， 故定价为 8元． 答：B系列产品的实际售价应定为 8元． 19. 探究不同长方形周长与面积的关系 一、项目化情境与问题 某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长 C和面积 S分别如 图 1所示 第 18页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别 是已知矩形周长和面积的 1 2 ，即对于任意一个长方形 A，是否一定存在长方形 B，使得 1 2 B B A A C S C S   成立？ 二、项目支架与探究 为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进， 最后猜想得出结论． 探 究 1 研究 特殊 情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得 1 2 B B A A C S C S   设长方形乙的长为 x，宽为 y，请你通过计算完成图 2的填空∶ 探 究 2 研究 特殊 情况 不妨考虑图 2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得 1 2 B B A A C S C S   成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请 说明理由． 三、项目成果 长方形 A的长为 m，宽为 1  1m  ，若一定存在长方形 B，使得 12 B B A A C S C S   成立，请直接写出 m的最小 值． 【答案】探究 1： :8x ， : 6y ， 28C 乙 ， 48S 乙 ；探究 2：不存在，理由见解析；三、m的最小值为3 2 2 ． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式、解一元二次方程，能够根据题意列出 方程是解题的关键． 探究 1：根据题意得到 28C 乙 ， 48S 乙 ，然后利用长方形面积和周长公式得到  2 28x y  ， 48xy  ， 进而解方程求解即可； 探究 2：首先根据题意得到 28 14 2 2 CC   乙丙 ， 48 24 2 2 SS   乙丙 ，然后设长方形丙两条邻边长分别 为 a和7 a ，然后根据面积列方程求解即可； 第 19页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 三、设长方形 B的两边长分别为 ,c d ，根据题意得到 1 2 2 mc d mcd        ，然后得到  22 1 0c m c m    ， 然后利用一元二次方程的判别式结合 1m  求解即可． 【详解】探究 1：∵ 56C 甲 ， 96S 甲 ∴ 28C 乙 ， 48S 乙 ∵设长方形乙的长为 x，宽为 y， ∴  2 28x y  ， 48xy  ∴ 14x y  ，即 14x y  代入 48xy  得，  14 48y y  解得 6y  ，或 8y  （因 y是宽小于长，故舍去） ∴ 8x  ； 探究 2：要使 1 2 C S C S  丙 丙 乙 乙 成立 则 28 14 2 2 CC   乙丙 ， 48 24 2 2 SS   乙丙 ∴设长方形丙两条邻边长分别为 a和7 a ，   27 7 24S x x x x      丙 ，    2 24 7 4 1 24 47 0b ac            ， ∴方程无解 不存在； 三、设长方形 B的两边长分别为 ,c d 则有 1 2 2 mc d mcd        消去 d 得，得  22 1 0c m c m    第 20页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司   22 4 1 4 2 0b ac m m            解得： 3 2 2m   或 3 2 2m   ∵ 1m  m的最小值为3 2 2 ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点  2,0A ，点  0,6B ，点  6,0D  ，以 AB、 AD为边作 ABCD ， 点 E为 BC中点，连接DE、 AE． （1）分别求出线段 AE和线段DE所在直线解析式； （2）点 P为线段 AE上的一个动点，作点 B关于点 P的中心对称点 F ，设点 P横坐标为 a，用含 a的代数 式表示点 F 的坐标（不用写出 a的取值范围）； （3）在（2）的条件下， ①当点 F 移动到 ADEV 的边上时，求点 P坐标； ②M 为PE中点，N 为 PA中点，连接MF、NF．请利用备用图探究，直接写出在点 P的运动过程中， MFN△ 周长的最小值和此时点 P的坐标． 【答案】（1） AE所在直线的解析式为 2y x   ；DE所在直线解析式为 3 18y x  （2）  2 , 2 2F a a  （3）①  1,3P  或 5 9, 2 2      ，② MFN△ 周长最小值为8 2； 5 11, 3 3 P      【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出点C和点 E的坐标，再用待定系数法求出线段 AE和线段DE所 在直线解析式即可； （2）根据 AE所在直线的解析式为 2y x   ，点 P横坐标为 a，得出点  , 2P a a  ，再根据点 B和点 F 关于点 P的中心对称点，即可得出点 F 的坐标； 第 21页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 （3） ①根据题意进行分类讨论：当点 F 在 AD上时，当点 F 在DE上时，即可得出结论；②过点 B作 BG AE 于点G，过点 F 作 FH AE 于点H ，通过证明 BPG FPH ≌ ，得出 BG FH ，延长 AE， 过点C作CI AE 于点 I ，证明 CEI BEG ≌ ，进而得出 2 2BG EG CI FH    ，过点C作 CQ AE∥ ，则CF AE∥ ，即可推出点 F 在直线CQ上运动，作点 N 关于直线CQ的对称点 N，当点N， F ，M 在同一条直线上时， MFN△ 周长取最小值，即可求出 MFN△ 周长取最小值；根据中点坐标公 式得出 4 8, 2 2 a aM        ， 2 2, 2 2 a aN        ，再证明点H 是MN中点，则 1 5, 2 2 a aH        ，求出  2,4G  ，根据点 P为GH 中点，得出 5 13, 4 4 a aP        ，最后根据  , 2P a a  ，列出方程求解即可． 【小问 1详解】 解：∵  2,0A ，  6,0D  ， ∴ 8AD  ， ∵四边形 ABCD为平行四边形，  0,6B ， ∴  8,6C  ， ∵点 E为 BC中点， ∴  4,6E  ， 设 AE所在直线的解析式为 y kx b  ， 把  2,0A ，  4,6E  代入得： 0 2 6 4 k b k b       ，解得： 1 2 k b     ， ∴ AE所在直线的解析式为 2y x   ； 设DE所在直线解析式为 1 1y k x b  ， 把点  6,0D  ，  4,6E  代入的： 1 1 1 1 0 6 6 4 k b k b        ，解得： 1 1 3 18 k b    ， ∴DE所在直线解析式为 3 18y x  ． 第 22页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 【小问 2详解】 解：∵ AE所在直线的解析式为 2y x   ，点 P横坐标为 a， ∴点  , 2P a a  ， 设点  1 1,F x y ， ∵点 B和点 F 关于点 P的中心对称点，  0,6B ∴ 1 1 0 62 2 2 x ya a    ， ， 整理得： 1 12 2 2x a y a   ， ， ∴  2 , 2 2F a a  ； 【小问 3详解】 解：①当点 F 在 AD上时， ∵点 F 在 AD上， ∴ 2 2 0a   ，解得 1a   ， ∴  1,3P  ； 当点 F 在DE上时， ∵  2 , 2 2F a a  ，且 F 在DE上， ∴ 2 2 3 2 18a a     ，解得： 5 2 a   ， ∴ 5 9, 2 2 P      ； 第 23页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 综上：  1,3P  或 5 9, 2 2 P      ； ②∵  2,0A ，  4,6E  ， ∴  2 22 4 6 6 2AE     ， ∵M 为PE中点，N 为 PA中点， ∴ 1 1 1 3 2 2 2 2 MN MP NP PE PA AE      ， 过点 E作 EQ x轴于点Q， ∵  2,0A ，  4,6E  ， ∴ 6, 2 4 6EQ AQ    ， ∴ 45EAD  ，则 45BEA  ， 过点 B作BG AE 于点G，过点 F 作FH AE 于点 H ， ∵点 B是点 F 关于点 P的中心对称点， ∴ BP FP ， 又∵ 90BGP FHP BPG FPH     ， ， ∴ BPG FPH ≌ ， ∴ BG FH ， 延长 AE，过点C作CI AE 于点 I ， 第 24页/共 26页 学科网（北京）股份有限公司 ∵点 E是 BC中点， ∴CE BE ， ∵ I BGE CEI BEG   ， ， ∴ CEI BEG ≌ ， ∴CI BG ，则CI FH ， ∵  0,6B ，  4,6E  ， ∴ 4BE  ， ∵ 45BEA  ， BG AE ， ∴设 BG EG x  ， 在Rt BGE△ 中，根据勾股定理可得： 2 2 2BG EG BE  ，即 2 2 24x x  ， 解得： 2 2x  ， ∴ 2 2BG EG CI FH    ， 过点C作CQ AE∥ ， ∵CI FH ， FH AE ，CI AE ， ∴CF AE∥ ， 则点 F 在直线CQ上运动， 作点 N 关于直线CQ的对称点 N， 根据轴对称的性质以及平行线间的距离处处相等可得 2 4 2NN FH   ， 当点N， F ，M 在同一条直线上时， FN FM FN FM MN     ，此时 MFN△ 周长取最小值， 在Rt MNN  中，根据勾股定理可得： 2 2 5 2MN MN NN    ， ∴ MFN△ 周长最小值为 5 2 3 2 8 2MN MN     ；