精品解析：浙江省嘉兴市2024-2025学年高一上学期期末测试数学试卷

2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期期末测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据象限角结合弧度制分析判断. 【详解】因为， 且， 所以是第三象限角，即是第三象限角． 故选：C. 2. 已知全集，集合，，则Venn图中的阴影部分如图表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图中表示的集合，利用集合间的运算可得结果. 【详解】集合，集合， 易知图中阴影部分表示的集合是， 故选：A 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果. 详解】由可得，故充分性满足； 由不一定得到，比如，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质得到，，即可判断. 【详解】因为，，， 所以 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式可得. 【详解】由可得， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性分析出在上单调递减，且在上恒成立后，再求解即可. 【详解】因为在单调递增，所以要使函数在上单调递减， 则在上单调递减，且在上恒成立， 故且在上恒成立，又时，， 所以且，故， 故选：B. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的奇偶性和单调性即可求得 【详解】由， 令为奇函数，且在上单调递增， 则， 由可得，， 即， 所以，即， 故选： 8. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 【详解】如下图所示： 令，解得， 故当时，对称轴为直线，则， 因为，所以，， 又因， ， 由可得，则，则， 所以，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于结合正弦型函数的对称性以及函数解析式将所求代数式转化为关于某个量的函数，求出变量范围后，转化为值域问题求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象都经过点 B. 若，则 C. 若，则函数为偶函数 D. 若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】利用幂函数图象性质判断A；求出函数解析式判断BCD. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，当 时， ，则，B正确； 对于C，当 时， ，为奇函数，C错误； 对于D，若函数的图象经过点，则，函数在其定义域上单调递增 ，D错误. 故选：AB 10. 已知函数，则（ ） A. 若函数的周期为，则 B. 若，则函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 C. 若且直线是函数的一条对称轴，则在上单调递增 D. 若函数在区间上没有零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用倍角公式及两角和的正弦公式化简函数的解析式，逐项判断即可确定正确答案. 【详解】， 对于A，若函数的周期为，则，故A错误； 对于B，若，则， 故函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，故B正确； 对于C，若且直线是函数的一条对称轴， 则且，解得，则， 由，得，故在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，， 若函数在区间上没有零点，则， 又，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，满足，，且在区间上单调递增，则（ ） A. 若是偶函数，则是周期为2周期函数 B. 若是偶函数，且函数的最大值为3，则 C. 若是奇函数，则函数在上的所有零点之和为18 D. 若是奇函数，则方程在上有四个不同的实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用偶函数定义以及可判断A正确，结合单调性可得，再由周期性可知B正确，由奇函数性质可求得是周期为4，再结合对称轴可得C错误；利用图像平移规则即可判断D正确. 【详解】对于A选项，若是偶函数，则，又， 可得，所以是周期为2的周期函数； 对于B选项，因为的最大值为3，， 又在区间上单调递增，所以，由周期性可知； 对于C选项，因为是奇函数，则，又， 可得，即，所以是周期为4，且为过原点的连续函数， 由可知函数关于对称，再由周期性可得也关于对称； 故函数在上有4个零点，它们的和为； 对于D选项，由，由图象平移可知，与在上有四个不同的交点. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算性质进行化简，即可得解 【详解】 故答案为： 13. 若正数x，y满足，则的最小值为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据“”的代换以及基本不等式来求得正确答案. 【详解】正数x，y满足，， 则， 当且仅当时，时等号成立. 所以的最小值为 故答案为：16 14. 已知奇函数的定义域为，当时，.若，的值域是，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据奇函数先得到，做出函数的图象，根据图象可得，，进而可得. 【详解】解：由已知可得当时，，则， 所以 ， 令，则，0，1；令，则 作出函数的图象， 若，的值域是，可得，，所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求 （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得； （2）依题意可得，分与两种情况讨论. 【小问1详解】 由，解得， 所以， 当时，， 【小问2详解】 ，， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上可得，即实数的取值范围为. 16. 如图，角，的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆交于点， （1）求的值; （2）求扇形阴影部分的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义和两角和的正弦公式求解即可； （2）先利用三角函数的定义和两角差的余弦公式求出，再根据扇形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由三角函数定义可知，， 所以； 【小问2详解】 由三角函数定义可知，， ， 所以或 又，所以 故扇形阴影部分的面积 17. 2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线为直线距离均为如图，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为，需在A，B，C之间设置补能点无人机需经过补能点M更换电池，且，设 （1）当时，求无人机从A到C运输航程的值; （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据解三角形求出，故从A到C运输航程； 由已知，，，根据无人机的最远距离，列不等式求出，令，，因为，所以，求解即可. 【小问1详解】 当时，，作， 则，所以， 故从A到C运输航程； 【小问2详解】 由已知，， ，， 因为无人机最远运输距离为， 所以， 所以， ， 令，， 因为，所以， ， 当时，， 当时，， 故的范围是 18. 已知函数 （1）若，求的值; （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）根据函数单调性的定义进行证明. （3）根据函数的单调性化简题目所给不等式，分离常数，然后利用换元法以及函数的单调性来求得的取值范围. 小问1详解】 ，， 【小问2详解】 证明：任取，，且， 则 ，，，， 故，即，所以在上单调递增. 【小问3详解】 ， 由（2）可知，在上单调递增， 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， ，，令 只要存在，使得成立， 即，，函数在上单调递增， ， 【点睛】思路点睛： 小问 1：遇到此类问题，先根据已知对数等式求出自变量的值，再将其代入函数，利用对数性质计算函数值. 小问 2：证明函数单调性，按照定义，先设出两个自变量，作差并化简变形，再根据函数性质判断差的正负，得出函数单调性结论. 小问 3：对于存在性不等式问题，先利用函数表达式化简不等式，再根据函数单调性去掉函数符号，通过换元转化为常见函数的最值问题，最后利用函数单调性求出最值，进而得到参数的取值范围. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数其中，2，，n，，使得，则称为的“n重覆盖函数”，其中，，，为一组关于的“覆盖点”. （1）判断是否为的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值;如果不是，请说明理由； （2）若为，的“3重覆盖函数”，求实数a的取值范围； （3）若，为的“n重覆盖函数”，求的最小值. 【答案】（1）是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用题中给出的“n重覆盖函数”的定义分析判断即可；\ （2）利用数形结合列不等式求解即可； （3）根据“n重覆盖函数”的定义可得与在上有交点，然后根据方程根的分布和韦达定理可得，，代入化简，再利用基本不等式求出最值即可 【小问1详解】 由， 得对任意，， 令，解得， 所以存在在2个不同的实数，，使得， 是的“n重覆盖函数”，且 【小问2详解】 由，，所以 为的“3重覆盖函数”， 故与，恒有三个交点， 由图象可知，所以，可得 小问3详解】 由已知与在上有交点， 设方程的两根为，，其中必有一根在上，不妨设， 则，，  ， 令，，则， 当且仅当，时取到等号. 此时，，，满足条件. 【点睛】关键点点睛：若对任意，恰好存在n个不同的实数其中，2，，n，，使得，由于不是同一个变量，所以只需要的值域，再用这个值域中的值去判定中的有几个满足，从而可得为的“n重覆盖函数”.然后可利用数形结合，根据n的值来确定参数的范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期期末测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知全集，集合，，则Venn图中的阴影部分如图表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，，则（ ） A B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 4 8. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象都经过点 B. 若，则 C. 若，则函数为偶函数 D. 若函数图象经过点，则函数在其定义域上单调递减 10. 已知函数，则（ ） A. 若函数的周期为，则 B. 若，则函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 C. 若且直线是函数的一条对称轴，则在上单调递增 D. 若函数区间上没有零点，则 11. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，满足，，且在区间上单调递增，则（ ） A. 若是偶函数，则是周期为2的周期函数 B. 若是偶函数，且函数的最大值为3，则 C. 若是奇函数，则函数在上的所有零点之和为18 D. 若是奇函数，则方程在上有四个不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 若正数x，y满足，则的最小值为__________. 14. 已知奇函数定义域为，当时，.若，的值域是，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求 （2）若，求实数的取值范围. 16. 如图，角，的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆交于点， （1）求的值; （2）求扇形阴影部分的面积. 17. 2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线为直线距离均为如图，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为，需在A，B，C之间设置补能点无人机需经过补能点M更换电池，且，设 （1）当时，求无人机从A到C运输航程的值; （2）求的取值范围. 18. 已知函数 （1）若，求的值; （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数其中，2，，n，，使得，则称为的“n重覆盖函数”，其中，，，为一组关于的“覆盖点”. （1）判断是否为的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值;如果不是，请说明理由； （2）若为，的“3重覆盖函数”，求实数a的取值范围； （3）若，为的“n重覆盖函数”，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $