第6章 一次方程组（中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

第6章 一次方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、二元一次方程的整数解 【解惑】若为整数,则使得关于的方程的解也是整数的的值有（  ） A．10个 B．12个 C．14个 D．16个 【答案】D 【分析】先把原方程变形为（k-1999）x+2000x=2001，得出x= ，然后求出2001的因数有16个． 【详解】原方程变形得：(k−1999)x+2000x=2001， ∴x=， ∵k为整数， ∴2001的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001，−1，−3，−23，−29，−69，−87，−667，−2001. ∴共有16个. 故选D. 【点睛】此题考查二元一次方程的解，解题关键在于掌握运算法则. 【融会贯通】 1．若二元一次方程有正整数解，则x的取值为（ ）． A．0 B．偶数 C．奇数 D．任意整数 【答案】C 【详解】由题意，得y=，要使x，y都是正整数，必须满足3x-1大于0，且是2的倍数．根据以上两个条件可知，合适的x值为正奇数．故选C 2．已知关于x的方程9x－3＝kx＋10有正整数解，那么满足条件的整数k＝ ． 【答案】-4或8 【分析】把k当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为正整数即可得出k值. 【详解】由题可得x=, 又因为方程的解为正整数，且k为整数， 所以9-k为1或13即可 即k=-4或8. 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得出要求量的条件是解答本题的关键. 3．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：， 根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为或． 问题： (1)若为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个． (2)直接写出满足方程的正整数解______． (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)6 (2) (3)共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解一元一次方程： （1）根据题意可得或或或或或，解方程即可得到答案； （2）先求出，再由都是正整数得到是正整数，即或，据此可得答案； （3）设和两种规格的绳子分别为x段，y段，由题意得，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴或或或或或， 解得或或或或或， 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∵都是正整数， ∴是正整数，即或， 当时，（不符合题意）； 当时，符合题意， ∴的正整数解为， 故答案为：； （3）解：设和两种规格的绳子分别为x段，y段， 由题意得，， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴是正整数， ∴x是4的倍数， ∴当，；当，， ∴共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子． 类型二、已知二元一次方程组的解求参 【解惑】已知关于x，y的方程组的解是，则p的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组两个方程左右两边都相等的未知数的值，据此把代入中，求出y的值，再把x、y的值代入中求出p的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组，利用整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故选A． 2．方程组的解中与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是消元，根据条件得，继而得到与的值，再代入原方程组第一个方程可得的值． 【详解】解：， ∵与互为相反数， ∴③， 把③代入②，得：， 把代入③，得：， 把，代入①，得：． 故答案为：． 3．若关于、的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】根据联立，求得，，代入，即可求解． 【详解】解：依题意，得 ，解得：，                                                     代入， 得，                   解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组的应用，求得x，y的值是解题关键． 类型三、二元一次方程组中的解互为相反数 【解惑】若方程组的解中与的值互为相反数，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是已知二元一次方程组的解求参数，二元一次方程的解法，由与的值互为相反数，可得，再代入原方程组求解即可． 【详解】解：∵方程组的解中与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选B 【融会贯通】 1．若二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先解二元一次方程组，再根据x、y互为相反数，得，解一元一次方程即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为， ∵x、y互为相反数， ∴， 解得， 故选C． 2．已知方程组中的x，y互为相反数，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】考查了含参数二元一次方程组，相反数的概念，根据题意得到，然后结合求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵方程组中的x，y互为相反数， ∴， 联立得，， 解得， ∴将代入得，． 故答案为：2． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】利用加减消元法求得x，y关于a的解，然后根据x，y互为相反数求解即可．本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 【详解】解：， ，得，即． 把代入①，得． 由题意得，即， 解得． 类型四、二元一次方程组中有无解 【解惑】二元一次方程的解的情况是（    ） A．无解 B．有且只有一组解 C．有两组解 D．有无数组解 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，根据任意二元一次方程都无数个解即可得解． 【详解】解：任意二元一次方程都无数个解即可得解， 例如：二元一次方程的解有： ，，，…… 只需任取一个x的值，求出相应的y即可得到其中一个解． 故选：D． 【融会贯通】 1．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，先把两方程相加消去y，得到根据方程组无解可得，解之即可． 【详解】解：两方程相加得：， ∵方程组无解， ∴， 解得， 故选：B． 2．若方程组无解，则a的值为 【答案】-6 【分析】根据加减消元法得出，然后根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可． 【详解】解∶， ①×3+②，得， ∵方程组无解， ∴a+6=0， ∴a=-6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目． 3．选择一组a，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 【答案】①当时，方程组有无数组解；②当时，方程组无解；③当，不论c取何值时，方程组有唯一的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．根据①当时，方程组有无数组解（因为两个方程等效）；②当时，方程组无解（因为两个方程矛盾）；③当（即）时，方程组有唯一的解，且唯一的解为． 【详解】解：①当时，方程组有无数组解，解得． ②当时，方程组无解，解得． ③当时，方程组有唯一的解，即当时，不论c取何值，原方程组都有唯一的解． 类型五、二元一次方程组中的相同解 【解惑】关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由，解得， ∴，解得， ∴； 故选D． 【融会贯通】 1．已知方程组和有相同的解，则的值分别是（    ） A．1、2 B．4、 C．、2 D．14、2 【答案】A 【分析】本题考查同解方程组求参数，先由题意得到，利用加减消元法解方程组得到，将其代入方程组和得到求解即可得到答案，熟练掌握方程组的解及解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 【详解】解：方程组和有相同的解， 方程组与和有相同的解， ， 由①②得， 将代入②得， 方程组和的解为， 将代入方程组和得到，解得， 故选：A． 2．若关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用方程组的解的定义，，满足个方程，则先解和组成的方程组，再把、代入另外两个方程得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值．能得出关于、的方程组是解此题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解， ∴关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解， 解方程组，得， 把代入，得， 解得：， 故答案为：；． 3．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a、b的值．将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和的解相同， ∴， 由得， ， 解得， 把代入①得， ， 解得， ∴方程组的解为， 把代入得， ， 得， ， 把代入③得， ， 解得， ∴． 类型六、二元一次方程组中的错解复原 【解惑】小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【详解】解：将、代入得： 得：， 把代入①得：， 解得：． 故选：B 【融会贯通】 1．在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，将甲同学的解代入方程组得到关于a与b的方程，并求出c的值，将乙同学的解代入方程组中第一个方程得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值即可． 【详解】解：将代入方程组得：①，，即， 将代入方程组中的第一个方程得：②， 得：，即， 将代入①得：，即， 则． 故选：B． 2．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． 根据甲看错了方程①中的a，②没有看错，代入②得到一个方程求出b的值，乙看错了方程②中的b，①没有看错，代入①求出a的值，然后再把a、b的值代入代数式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 则 故答案为：0． 3．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的解得，乙看错了方程中的，解得，求的值． 【答案】． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，根据方程的解的定义，把代入，可得一个关于的方程，把代入，可得一个关于的方程然后把、的值代入求解即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解及解二元一次方程组的应用． 【详解】解：由题意得， 把代入，得：，解得：， 把代入，可得：，解得：， ∴ ． 类型七、二元一次方程组的应用——和差倍分问题 【解惑】某学校科技节展示了使用无人配送车和无人机配送货物．已知一台无人机一次可运送4千克货物，一台无人配送车一趟可运送80千克货物．活动提供了无人机和无人配送车共20台一趟共运送460千克货物，那么运送物货使用的无人机和无人配送车各有几台？ 【答案】运送物货使用的无人机和无人配送车各有台和台 【分析】本题考查二元一次方程方程组的实际应用，设运送物货使用的无人机和无人配送车各有台和台，根据无人机和无人配送车共20台一趟共运送460千克货物，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设运送物货使用的无人机和无人配送车各有台和台，由题意，得： ，解得：， 答：运送物货使用的无人机和无人配送车各有台和台． 【融会贯通】 1．某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 【答案】120元和90元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元，由题意知篮球的单价高于足球的单价，再由篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，列出方程组求解即可． 【详解】解：设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元， 由题意知篮球的单价高于足球的单价， 则， 解得： 答：每个篮球和足球价格分别是120元和90元． 2．甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【答案】甲原来有40本书，乙原来有20本书 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲原来有x本书，乙原来有y本书，根据如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲原来有x本书，乙原来有y本书， 由题意得，， 解得， 答：甲原来有40本书，乙原来有20本书． 3．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 类型八、二元一次方程组的应用——行程问题 【解惑】甲、乙两人骑自行车绕圆形跑道行驶，从同一地点同时出发，如果方向相反，每过相遇一次；如果方向相同，每过相遇一次．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度是，乙的速度是或甲的速度是，乙的速度是 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设甲的速度是，乙的速度是，根据两种不同的方式列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意，得或 即或 解得或 答：甲的速度是，乙的速度是或甲的速度是，乙的速度是． 【融会贯通】 1．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 2．甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 3．甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【答案】(1)快车、慢车的速度分别为 (2)1小时或者3小时 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的应用； （1）设快车、慢车的速度分别为根据题意列出方程组，方程组即可求解． （2）设时间为小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得 解得 答：快车、慢车的速度分别为． （2）设解：时间为小时，则由题意，得 或 解得或 答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距． 类型九、二元一次方程组的应用——工程问题 【解惑】端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子． (1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子； (2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？ 【答案】(1)甲组每天加工200袋粽子，乙组每天加工150袋粽子 (2)4天 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用． （1）设甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子，甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子．据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设甲组需要加工天，则乙组加工天．这份粽子订单为袋，据此列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子， 根据题意，得 解得 答：甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子． （2）设甲组需要加工天，则乙组加工天． 根据题意，得， 解得． 答：甲组需要加工4天． 【融会贯通】 1．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 【答案】甲工作了4天，乙工作了6天 【详解】解：设甲工作了x天，乙工作了y天， 由题意得： 解得 答：甲工作了4天，乙工作了6天． 2．一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 【答案】女工要比男工多18人． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——工程问题．解题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间关系，列方程计算． 设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，根据2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件，列出方程组，解方程组即可． 【详解】设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y， 根据题意得，， 解得，， 如果单独让男工加工或单独让女工加工， 需要女工（人）， 需要男工（人）， 女工比男工多（人）． 故女工比男工要多18人． 3．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； (2)两组还需要190天才能完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组． （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果． 【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）按此施工进度，还需要：（天）， 答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务． 类型十、二元一次方程组的应用——分配问题 【解惑】某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 【答案】不存在恰好配套，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套，根据配套可得出，解出x，y的值，即可判断出结果． 【详解】解：设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套， 依题意，得， 解得： 因为求出的x，y的值不是整数， 所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套． 【融会贯通】 1．某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有名工人，每人每天平均可以加工张课桌或把椅子，一套课桌有张课桌和把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量． 【答案】人加工课桌，人加工椅子 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意正确找出等量关系．设人加工课桌，人加工椅子，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设人加工课桌，人加工椅子， 由题意得， 解得：， 答：人加工课桌，人加工椅子． 2．据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．先设计出两种方案图，然后根据甲、乙两种作物的总产量的比是2：1列出方程组，求出方程的解即可． 【详解】解：方案1：如图①，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米， 由题意得，，解得 所以，过长方形土地边长上离一端160米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 方案2：如图②，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米，由题意得， ，解得． 所以，过长方形土地边长上离A一端80米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 3．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但剩余15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则空余出三辆车，且其余客车恰好坐满．求参加此次研学活动的师生共有多少人？ 【答案】参加此次研学活动的师生共有600人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆， 根据题意得， 解得， 答：参加此次研学活动的师生共有600人． 【一览众山小】 1．《九重算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其中卷八方程［七］中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊共值金10两；2头牛，5只羊共值金8两，问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用．根据题意可列出程组． 【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，由题意得： ； 故选：A． 2．若是关于x、y的方程的一个解，则m的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，先把把代入，得，再解出，即可作答． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的一个解， ∴把代入， 得， 解得， 故选：A． 3．在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则，的值分别为（   ） 4 2 7 A．4，2 B．3，3 C．2，4 D．1，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据横向、纵向及对角线上的实数之和相等列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：B． 4．若关于x，y的二元一次方程与有相同的解，则这个相同的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意解出方程组即可． 【详解】解：由题意知，这个相同的解就是方程组的解， 解得：． 故答案为： ． 5．已知方程，用含的式子表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，把含有的项和常数移到右边，再把的系数化为即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓个或螺帽个，已知一个螺栓和两个螺帽配成一套，则生产螺栓和生产螺帽的工人分别为 时，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 【答案】名、名 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设分配名工人生产螺栓，名工人生产螺帽时，能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．根据题意，列出二元一次方程组，解方程，即可求解． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，名工人生产螺帽时，能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 根据题意，得 解得 生产螺栓和生产螺帽的工人分别为名、名时，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 故答案为：名、名． 7．为丰富学生的社会实践活动，八年级（1）班开展了一次水果售卖体验活动．其中第一小组花380元从水果批发市场批发了苹果和桔子共50千克到零售市场售卖，苹果和桔子当天的批发价与零售价如下表所示： 价格水果种类 批发价（元／千克） 零售价（元／千克） 苹果 6 8.4 桔子 10 13 (1)第一小组当天批发苹果和桔子各多少千克？（要求用二元一次方程组解决问题） (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚多少元？ 【答案】(1)第一小组当天批发苹果30千克，批发桔子20千克 (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚132元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用知识点，解题的关键是根据题目中的条件找到合适的等量关系，列出二元一次方程组并求解． （1）设批发苹果千克，批发桔子千克．题目中存在两个等量关系，一是苹果和桔子共 50 千克，可列方程；二是批发苹果和桔子总共花费 380 元，根据批发价可列方程．联立这两个方程组成方程组，通过消元法求解即可得； （2）利润=售价-成本，通过计算每种商品的利润再求和，可得到总利润． 【详解】（1）设第一小组当天批发苹果千克，批发桔子千克， 根据题意，得， 解这个方程组，得． 答：第一小组当天批发苹果30千克，批发桔子20千克 （2）（元）． 答：该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚132元． 8．临近母亲节，某蛋糕店制作了一款节日礼盒，按标价出售，每盒可获利50元，若该礼盒以8折出售6盒与降价20元出售4盒获得的利润相等，求该礼盒的成本和标价． 【答案】该礼盒的成本和标价分别为100元，150元． 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解题关键．按照售价进价利润，售价标价打折率，再根据出售6盒与4盒的利润相等建立方程式求解即可． 【详解】解：设该礼盒的成本为x元，标价为y元，根据题意得： 解得： 答：该礼盒的成本100元，标价150元． 9．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得乙看错了方程②中的，解得，试求的值． 【答案】0 【分析】本题考查的是二元一次方程组的错解问题，把代入②，把代入①，再进一步解题即可． 【详解】解：甲、乙两人同解方程组时， 甲看错了方程①中的，解得， 乙看错了方程②中的，解得， 把代入②，得，解得； 把代入①，得，解得， ． 10．阅读以下内容： 已知实数x，y满足，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组再求k的值． 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k的值． 丙同学：先解方程组再求k的值． 你最欣赏甲、乙、丙中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价． 【答案】乙同学，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键．选择乙同学的解题思路，①②得出，求出，即可求出答案，再评价即可． 【详解】解：我最欣赏乙同学的解题思路． 方程组 由，得， ∴． ∵， ∴， 解得． 评价：甲同学是直接根据方程组的解的概念先解方程组，得到用含k的式子表示x的关系式，再代入得到关于k的方程，没有经过更多的观察和思考，解法比较繁琐，计算量大；乙同学观察到了方程组中未知数x的系数，以及与中的系数的特殊关系，利用整体代入简化计算，而且不用求出x的值就能解决问题，思路比较灵活，计算量小；丙同学将三个方程作为一个整体，看成关于x，y，k的三元一次方程组，并且选择先解其中只含有两个未知数x，y的二元一次方程组，相对计算量较小，但不如乙同学的简洁、灵活． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 一次方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、二元一次方程的整数解 【解惑】若为整数,则使得关于的方程的解也是整数的的值有（  ） A．10个 B．12个 C．14个 D．16个 【融会贯通】 1．若二元一次方程有正整数解，则x的取值为（ ）． A．0 B．偶数 C．奇数 D．任意整数 2．已知关于x的方程9x－3＝kx＋10有正整数解，那么满足条件的整数k＝ ． 3．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：， 根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为或． 问题： (1)若为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个． (2)直接写出满足方程的正整数解______． (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 类型二、已知二元一次方程组的解求参 【解惑】已知关于x，y的方程组的解是，则p的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 2．方程组的解中与互为相反数，则 ． 3．若关于、的二元一次方程组的解满足，求的值． 类型三、二元一次方程组中的解互为相反数 【解惑】若方程组的解中与的值互为相反数，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．若二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知方程组中的x，y互为相反数，则m的值为 ． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值． 类型四、二元一次方程组中有无解 【解惑】二元一次方程的解的情况是（    ） A．无解 B．有且只有一组解 C．有两组解 D．有无数组解 【融会贯通】 1．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 2．若方程组无解，则a的值为 3．选择一组a，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 类型五、二元一次方程组中的相同解 【解惑】关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知方程组和有相同的解，则的值分别是（    ） A．1、2 B．4、 C．、2 D．14、2 2．若关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解，则 ， ． 3．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 类型六、二元一次方程组中的错解复原 【解惑】小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【融会贯通】 1．在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则 ． 3．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的解得，乙看错了方程中的，解得，求的值． 类型七、二元一次方程组的应用——和差倍分问题 【解惑】某学校科技节展示了使用无人配送车和无人机配送货物．已知一台无人机一次可运送4千克货物，一台无人配送车一趟可运送80千克货物．活动提供了无人机和无人配送车共20台一趟共运送460千克货物，那么运送物货使用的无人机和无人配送车各有几台？ 【融会贯通】 1．某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 2．甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 3．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 类型八、二元一次方程组的应用——行程问题 【解惑】甲、乙两人骑自行车绕圆形跑道行驶，从同一地点同时出发，如果方向相反，每过相遇一次；如果方向相同，每过相遇一次．求甲、乙两人的速度． 【融会贯通】 1．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 2．甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 3．甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 类型九、二元一次方程组的应用——工程问题 【解惑】端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子． (1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子； (2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？ 【融会贯通】 1．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 2．一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 3．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 类型十、二元一次方程组的应用——分配问题 【解惑】某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 【融会贯通】 1．某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有名工人，每人每天平均可以加工张课桌或把椅子，一套课桌有张课桌和把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量． 2．据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 3．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但剩余15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则空余出三辆车，且其余客车恰好坐满．求参加此次研学活动的师生共有多少人？ 【一览众山小】 1．《九重算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其中卷八方程［七］中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊共值金10两；2头牛，5只羊共值金8两，问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于x、y的方程的一个解，则m的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 3．在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则，的值分别为（   ） 4 2 7 A．4，2 B．3，3 C．2，4 D．1，5 4．若关于x，y的二元一次方程与有相同的解，则这个相同的解是 ． 5．已知方程，用含的式子表示，那么 ． 6．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓个或螺帽个，已知一个螺栓和两个螺帽配成一套，则生产螺栓和生产螺帽的工人分别为 时，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 7．为丰富学生的社会实践活动，八年级（1）班开展了一次水果售卖体验活动．其中第一小组花380元从水果批发市场批发了苹果和桔子共50千克到零售市场售卖，苹果和桔子当天的批发价与零售价如下表所示： 价格水果种类 批发价（元／千克） 零售价（元／千克） 苹果 6 8.4 桔子 10 13 (1)第一小组当天批发苹果和桔子各多少千克？（要求用二元一次方程组解决问题） (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚多少元？ 8．临近母亲节，某蛋糕店制作了一款节日礼盒，按标价出售，每盒可获利50元，若该礼盒以8折出售6盒与降价20元出售4盒获得的利润相等，求该礼盒的成本和标价． 9．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得乙看错了方程②中的，解得，试求的值． 10．阅读以下内容： 已知实数x，y满足，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组再求k的值． 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k的值． 丙同学：先解方程组再求k的值． 你最欣赏甲、乙、丙中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$