6.3-6.4 三元一次方程组及其解法、实践与探索-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

6.3—6.4 三元一次方程组及其解法、实践与探索 一、三元一次方程组的概念 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且每个方程中未知数的项的次数都是1的整式方程组。一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 二、三元一次方程组的解法 三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组的基本思想是消元，即通过代入法或加减法使二元化为一元，未知转化为已知。受此启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 解三元一次方程组的基本步骤包括： 1.利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 2.解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值。 3.将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值。把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 三、实践与探索 利用二元一次方程组解决实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式，设未知数，根据数量关系式列出方程组，解方程组，检验并作答。常见的题型有和差倍分问题、产品配套问题、速度问题、工程问题、增长率问题等。在解决这些问题时，需要根据题目的具体情况，设立合适的未知数，找出等量关系，列出方程组并求解。 三元一次方程组在实际问题中有广泛应用，例如可以通过设立并解决三元一次方程组来解决服装生产配套问题、包装盒制作配套问题、商场销售问题、劳动力调配问题、农作物种植面积规划问题等。 巩固课内例1:解三元一次方程组 1．三元一次方程组 的 的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．方程组的解为 ． 3．解下列方程组： (1) (2) 巩固课内例2:二元一次方程组的解决应用——配套问题 1．现用180张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 2．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ． 3．列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 巩固课内例3:二元一次方程组的解决应用——图形问题 1．如图①，现有两个大小相同的小长方形，按照不同的拼接方式可拼成不同的大长方形，拼成如图②所示的长方形时，其周长为；拼成如图③所示的长方形时，其周长为，则小长方形的长、宽分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 3．如图，在大长方形草坪中规划出了3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．已知大长方形的长和宽分别为，，求小长方形的长和宽． 巩固课内例4:二元一次方程组的解决应用——鸡兔同笼问题 1．第一道鸡兔同笼问题收录于《孙子算经》：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是现在笼子里既有鸡又有兔，有35个头，94只脚，设有鸡、兔各为x，y只，那么下列选项中，方程组列正确的是（ ） A． B． C． D． 2．古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”此题笼里的鸡有 只，兔有 只． 3．古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？ （1）试用一元一次方程解决上述问题． （2）如果假设鸡有x只，兔有y只，请你列出关于x，y的二元一次方程组并详细写出求解过程． 类型一、三元一次方程组的定义 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程组，则 ． 3．已知，且，求的值． 类型二、解三元一次方程组 1．关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为 ． 3．解方程组： (1)； (2)． 类型三、列二元一次方程组 1．长江江豚因其珍贵稀有，被誉为“水中大熊猫”，对维护长江生物多样性和生态安全意义重大．长江某文创店出售不同规格的江豚玩具，已知3个大号玩具和1个小号玩具共需110元：1个大号玩具和2个小号玩具共需70元，求大号玩具、小号玩具各需多少钱？设1个大号玩具x元，1个小号玩具y元．则可列出方程组为 A． B． C． D． 2．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，其中有一道周瑜寿属的题目原文为“而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符”，意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数．若设这个两位数的十位上的数字是，个位上的数字为，则可列方程组为 ． 3．定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 类型一、二元一次方程组的解决应用——数字问题 1．若两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（    ） A．266 B．288 C． D． 2．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 3．某两位数，两个数位上的数字之和为11，这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数位上的数字交换位置所表示的数，求原两位数． 类型二、二元一次方程组的解决应用——年龄问题 1．甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（    ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 2．小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 3．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 类型三、二元一次方程组的解决应用——和差倍份问题 1．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 2．某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐．已知全班共用箩筐56只，扁担36根．设男生人，女生人，则可得方程组 ． 3．某机械林场经过三代务林人的持续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1073万立方米：又知现在该林场的林木总蓄积比原来的35倍还多19万立方米，请问该林场原来和现在的林木总蓄积分别是多少万立方米？ 类型四、二元一次方程组的解决应用——古代问题 1．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，若客人为人，银子为两，可列方程组（   ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井”的记载：“一口井一条绳，绳比井长一庹．折回绳却量井，却比井短一庹”其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺．设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是 ． 3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量． 类型一、二元一次方程组的解决应用——工程问题 1．为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 2．2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 3．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 类型二、二元一次方程组的解决应用——行程问题 1．甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 2．甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是 千米． 3．小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 类型三、二元一次方程组的解决应用——几何问题 1．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图（单位：）所示，则桌子的高度为 ． 2．如图，在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个形状与大小完全相同的小长方形花圃，则花圃（阴影部分）的面积为 ． 3．如图，大长方形是由8个一样的小长方形拼成的，已知大长方形的周长是，求大长方形的长和宽． 类型四、二元一次方程组的解决应用——分配问题 1．为响应植树节活动，加强学生爱护环境的意识，学校组织学生参加植树活动，已知男生植树数量比女生植树数量的2倍多2棵，男女生植树数量的平均数是10，则男女生植树数量之差是（    ） A．4棵 B．6棵 C．8棵 D．10棵 2．七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为 ． 3．七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 类型五、二元一次方程组的解决应用——方案问题 1．第二届杭州市月季花展于2024年4月27日在杭州开展，若黄色月季花每支4元，红色月季花每支6元，小明想要花费30元全部用于购买这两个品种的花送给妈妈，那么小明的购买方案有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．李康用20元全部购买羽毛球和乒乓球，并且两种球都需购买，已知羽毛球每个4元，乒乓球每个2元，则李康的购买方案有 种． 3．某运动品牌生产厂开发了一款新式的运动器材，计划15天生产安装360台.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式运动器材的安装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行新式运动器材的安装，生产开始后，调研部门发现，2名熟练工和1名新工人每天可安装10台新式运动器材，3名熟练工和2名新工人每天可安装16台新式运动器材. (1)每名熟练工和新工人每天分别可以安装多少台新式运动器材？ (2)如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽调的熟练工刚好能完成原计划15天的生产任务，那么工厂有几种新工人的招聘方案？ 1．下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组（   ） A． B． C． D． 3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满六进一，即“结绳计数”．如图是一名妇女和儿童在绳子上打结记录的采集总数量，图是妇女比儿童多采集的数量．设妇女采集的数量为，儿童采集的数量为，下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 4．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 5．已知某校八年级学生总人数为m人，其中女生n人，若女生人数的倍比男生人数多人，则可列二元一次方程为__________． 6．某农场去年计划生产玉米和小麦共吨，采用新技术后，实际产量为吨，其中玉米减产，小麦超产，设该农场去年实际生产玉米吨、小麦吨，可列方程组为 ． 7．解方程组： 8．已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，求这个代数式的值 9．耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省铜川市耀州区，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件种规格的倒装壶瓷器和2件种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件种规格的倒装壶瓷器和1件种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元． (1)分别求出每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价； (2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）． 10．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得，进一步可化为．根据x，y为正整数，可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你写出方程的一个正整数解：___________________； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买单价为5元/本的笔记本与单价为4元/支的中性笔两种奖品（两种都要购买），共花费76元．试问有几种购买方案，并写出购买方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3—6.4 三元一次方程组及其解法、实践与探索 一、三元一次方程组的概念 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且每个方程中未知数的项的次数都是1的整式方程组。一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 二、三元一次方程组的解法 三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组的基本思想是消元，即通过代入法或加减法使二元化为一元，未知转化为已知。受此启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 解三元一次方程组的基本步骤包括： 1.利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 2.解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值。 3.将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值。把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 三、实践与探索 利用二元一次方程组解决实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式，设未知数，根据数量关系式列出方程组，解方程组，检验并作答。常见的题型有和差倍分问题、产品配套问题、速度问题、工程问题、增长率问题等。在解决这些问题时，需要根据题目的具体情况，设立合适的未知数，找出等量关系，列出方程组并求解。 三元一次方程组在实际问题中有广泛应用，例如可以通过设立并解决三元一次方程组来解决服装生产配套问题、包装盒制作配套问题、商场销售问题、劳动力调配问题、农作物种植面积规划问题等。 巩固课内例1:解三元一次方程组 1．三元一次方程组 的 的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先将三个式子相加，求出，再用可得答案． 【详解】解：， 由，得， 即， 由，得． 故选：B． 2．方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，先整理出，再代入，得出，再把代入，得出，则把代入解出，即可作答． 【详解】解： 由得出，整理得 把代入，得出 解得 把代入，得出 把代入，得出 ∴方程组的解为． 故答案为：． 3．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键； （1）利用加减消元法即可解答； （2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值． 【详解】（1）解：，得④ ，得 ，得 ，得 原方程组的解为； （2）把①代入②，得．④ 由④和③组成方程组 解得 把代入①，得， 原方程组的解为 巩固课内例2:二元一次方程组的解决应用——配套问题 1．现用180张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程． 设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，根据一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，盒身与盒底正好配套可知盒底是盒身的两倍，故可列出二元一次方程组． 【详解】解：设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套， 列方程为， 故选B． 2．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键． 设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个， 由题意得：，解得： ， ∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 故答案为12． 3．列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【答案】(1)名工人 (2)应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人”进行列式，得，可解得答案； （2）设名工人生产桌子，由“张桌子配把椅子”进行列式，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， 答：调入名工人； （2）解：由（1）知，调入名工人后，车间有工人（人）， 设名工人生产桌子，则名工人生产椅子， ∵每天组装的桌椅刚好配套， ∴， 解得：， ∴， 答：应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 巩固课内例3:二元一次方程组的解决应用——图形问题 1．如图①，现有两个大小相同的小长方形，按照不同的拼接方式可拼成不同的大长方形，拼成如图②所示的长方形时，其周长为；拼成如图③所示的长方形时，其周长为，则小长方形的长、宽分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长、宽分别为和，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为和， 由题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为，， 故选：C． 2．将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组；求得图1的长方形的长和宽，再计算两个图形中阴影部分的周长之差 【详解】设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图2可知 解得： 由图3可知： 设图2的阴影部分周长为 ，设图3的阴影部分周长为 故答案为：． 3．如图，在大长方形草坪中规划出了3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．已知大长方形的长和宽分别为，，求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长和宽分别为， 【分析】本题考查了二元一次方程组在几何问题中的应用，能够在图形中找到隐含等量关系式是解决问题的关键．设小长方形的长和宽分别为、，根据图形中隐含的等量关系列出方程组并解之即可得解． 【详解】解：设小长方形的长和宽分别为、，根据图形可得： ， 解得：， 答：小长方形的长和宽分别为，． 巩固课内例4:二元一次方程组的解决应用——鸡兔同笼问题 1．第一道鸡兔同笼问题收录于《孙子算经》：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是现在笼子里既有鸡又有兔，有35个头，94只脚，设有鸡、兔各为x，y只，那么下列选项中，方程组列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目的等量关系．根据“鸡的数量兔的数量，鸡的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组． 【详解】解：设有鸡、兔各为x，y只， 根据题意，可列方程组为， 故选：D． 2．古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”此题笼里的鸡有 只，兔有 只． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有只鸡，只兔，根据“上有三十五头，下有九十四足”，列出二元一次方程组求解即可，理解题意、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设有只鸡，只兔， 由题意得：， 解得：， 故答案为：；． 3．古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？ （1）试用一元一次方程解决上述问题． （2）如果假设鸡有x只，兔有y只，请你列出关于x，y的二元一次方程组并详细写出求解过程． 【答案】（1）笼中有鸡23只，兔12只；（2）见解析 【分析】（1）设笼中有鸡x只，根据题意得到等量关系是：鸡的脚数+兔的脚数=94，根据此等式列方程求解即可． （2）根据上有三十五头，得方程x+y=35；根据下有九十四足，得方程2x+4y=94，联立得方程组，解之即可． 【详解】解：（1）设笼中有鸡x只，则有兔35-x只， 由题意可得：2x+4（35-x）=94， 解得：x=23， ∴笼中有鸡23只，兔12只； （2）假设鸡有x只，兔有y只， 根据题意，得， 解得， ∴鸡有23只，兔有12只． 【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程（组），并能够熟练解方程（组）． 类型一、三元一次方程组的定义 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义．根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意； 故选：D． 2．已知方程组，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 将三个方程相加计算即可． 【详解】解：， 由①+②+③可得，解得， 故答案为：8． 3．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 类型二、解三元一次方程组 1．关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握三元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：把 代入得，， ∴， ∴， 故选：． 2．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故． 故答案为：． 3．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程和解三元一次方程，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）首先将原式整理为，由，可解得，将代入②，解得，即可获得答案； （2）由，可得 ④，由，可得 ⑤，再由，可解得，将代入④，可解得，将，代入②，可解得，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 整理可得， 由，可得， 解得， 将代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为； （2）解：， 由，可得 ④， 由，可得 ⑤， 由，可得 ，解得 ， 将代入④，可得，解得， 将，代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为． 类型三、列二元一次方程组 1．长江江豚因其珍贵稀有，被誉为“水中大熊猫”，对维护长江生物多样性和生态安全意义重大．长江某文创店出售不同规格的江豚玩具，已知3个大号玩具和1个小号玩具共需110元：1个大号玩具和2个小号玩具共需70元，求大号玩具、小号玩具各需多少钱？设1个大号玩具x元，1个小号玩具y元．则可列出方程组为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，理解题意并正确列出方程组是解题的关键；根据等量关系：3个大号玩具和1个小号玩具共需110元：1个大号玩具和2个小号玩具共需70元；列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由于1个大号玩具x元，1个小号玩具y元， 由题意得：； 故选：A． 2．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，其中有一道周瑜寿属的题目原文为“而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符”，意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数．若设这个两位数的十位上的数字是，个位上的数字为，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组．找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键．根据其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，列出方程组即可． 【详解】解：其十位上的数字比个位上的数字小3，可得方程：， 根据个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，可得方程：， ∴可列出方程组为， 故答案为：． 3．定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②－①，得， 解方程组得． 类型一、二元一次方程组的解决应用——数字问题 1．若两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（    ） A．266 B．288 C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设这两个数为x和y，由题意得等量关系：两数之和是36，两数之差是12，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设这两个数为x和y， 依题意得：， 解得， ∴， 故选：B． 2．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为：0． 3．某两位数，两个数位上的数字之和为11，这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数位上的数字交换位置所表示的数，求原两位数． 【答案】38 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，解题的关键是由实际问题抽象出二元一次方程组．设原两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题． 【详解】解：设原两位数的十位上的数字为，个位上的数字为， 根据题意，得， 解得， 答：原两位数是38． 类型二、二元一次方程组的解决应用——年龄问题 1．甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（    ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁．乙是甲现在的年龄时，甲25岁，可列方程求解． 【详解】解：甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即 由此可得，， ∴，即甲比乙大5岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，重点考查理解题意的能力，甲、乙年龄无论怎么变，年龄差是不变的． 2．小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 3．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 类型三、二元一次方程组的解决应用——和差倍份问题 1．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设每块巧克力的质量为克，每个果冻的质量为克，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每块巧克力的质量为克，每个果冻的质量为克， 由题意，得：，解得：， ∴一块巧克力的质量为； 故选：A． 2．某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐．已知全班共用箩筐56只，扁担36根．设男生人，女生人，则可得方程组 ． 【答案】 【分析】根据等量关系：①全班共用箩筐56只；②全班共用扁担36根，列方程组求解． 【详解】解：设男生，女生各有x人、y人． 根据题意，得 故答案为： 【点睛】此题中关键要正确理解：每个男生需要1条扁担和2个箩筐，每2个女生需要1条扁担和1个箩筐． 3．某机械林场经过三代务林人的持续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1073万立方米：又知现在该林场的林木总蓄积比原来的35倍还多19万立方米，请问该林场原来和现在的林木总蓄积分别是多少万立方米？ 【答案】该林场原来林木总蓄积为31万立方米，现在林木总蓄积为1104万立方米 【分析】本题主要考查了干元一次方程组的应用．熟练掌握终止量与起始量和增加量的关系，是解题的关键． 设该林场原来和现在林木总蓄积分别为x万立方米和y万立方米，根据现在的林木总蓄积比原来增加了1073万立方米：现在的林木总蓄积比原来的35倍还多19万立方米，列出关于x、y的二 元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该林场原来和现在林木总蓄积分别为x万立方米和y万立方米， 根据题意可列方程组为， 解得， 故该林场原来林木总蓄积为31万立方米，现在林木总蓄积为1104万立方米． 类型四、二元一次方程组的解决应用——古代问题 1．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，若客人为人，银子为两，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设客人为x人，银子为y两，根据题意列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意得， 故选：A． 2．我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井”的记载：“一口井一条绳，绳比井长一庹．折回绳却量井，却比井短一庹”其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺．设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程（组）． 根据“用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长尺，井深尺． 根据题意得，． 故答案为：． 3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量． 【答案】黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设黄金每枚重x两，白银每枚重y两，根据甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），再建立方程组求解即可． 【详解】解：设黄金每枚重x两，白银每枚重y两， 根据题意，得 解得 ∴丙袋的重量为（两）． 答：黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两． 类型一、二元一次方程组的解决应用——工程问题 1．为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据河道总长为180米和A、B两个工程小组共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】解：设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组，工程问题的应用题，解题的关键是学会利用未知数，构建方程组解决问题． 2．2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 3．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 【答案】甲工作了4天，乙工作了6天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．设甲工作了x天，乙工作了y天，根据甲乙两人共用10天完成任务及两人合计完成的工程面积为88平方米列出方程，求解方程组即得答案． 【详解】设甲工作了x天，乙工作了y天， 由题意得： ， 解得 ， 答：甲工作了4天，乙工作了6天． 类型二、二元一次方程组的解决应用——行程问题 1．甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是分情况讨论． 设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y 根据题意得，或 解得或 ∴甲从A地到B地需要或． 故选：C． 2．甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是 千米． 【答案】154 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，设从甲地到乙地的上坡路程为千米，下坡路程为千米，根据题意可得，再进一步解方程组即可． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路程为千米，下坡路程为千米，则 ， 整理得：， 解得：； ∴， ∴从甲地到乙地的总路程是154千米． 3．小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 【答案】(1)小贵每小时走，小港每小时走 (2)后两人相距 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设小贵每小时走，小港每小时走，根据“若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据后两人间的距离两人的速度之和运动时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走， 依题意，得：， 解得：； 答：小贵每小时走，小港每小时走． （2）解：， 答：后两人相距． 类型三、二元一次方程组的解决应用——几何问题 1．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图（单位：）所示，则桌子的高度为 ． 【答案】40 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，再根据图形性质可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为， 由题意，得 ①－②，得， 解得． 故答案为： 2．如图，在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个形状与大小完全相同的小长方形花圃，则花圃（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，做题的关键是：弄懂题意，找出等量关系，列出方程组．由图形可看出：小长方形的二个长一个宽，小长方形的二个宽一个长，设小长方形花圃的长和宽，列出方程组， 解这个方程组即可得到小长方形花圃的长和宽，再求解其面积即可． 【详解】解：设小长方形花圃的长为，宽为， 由题意得， 解得， 即长方形花圃的长为，宽为， 故其面积为， 则花圃（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 3．如图，大长方形是由8个一样的小长方形拼成的，已知大长方形的周长是，求大长方形的长和宽． 【答案】大长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，利用长方形的周长计算公式及对边相等，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入，中即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ，． 答：大长方形的长为，宽为． 类型四、二元一次方程组的解决应用——分配问题 1．为响应植树节活动，加强学生爱护环境的意识，学校组织学生参加植树活动，已知男生植树数量比女生植树数量的2倍多2棵，男女生植树数量的平均数是10，则男女生植树数量之差是（    ） A．4棵 B．6棵 C．8棵 D．10棵 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．设女生植树的数量为棵，男生植树的数量为棵，根据题意列方程组求解即可． 【详解】设女生植树的数量为x棵，男生植树的数量为y棵， 根据题意列方程组得： ∴ 将代入到，得， ∴， ∴， ∴，即男女生植树数量之差是8棵， 故选：C． 2．七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母， 由题意可得，， 故答案为：． 3．七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 【答案】有 144 名住宿新生，19 间宿舍 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用．熟练掌握总人数与每个房间人数和房间数的关系，列方程，是解题的关键． 设有 x 间宿舍，根据每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，列方程解答． 【详解】解：设有 x 间宿舍， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：有 144 名住宿新生，19 间宿舍． 类型五、二元一次方程组的解决应用——方案问题 1．第二届杭州市月季花展于2024年4月27日在杭州开展，若黄色月季花每支4元，红色月季花每支6元，小明想要花费30元全部用于购买这两个品种的花送给妈妈，那么小明的购买方案有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程．设黄色月季花x支，红色月季花y支，根据两种花的花费总共为30元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设黄色月季花x支，红色月季花y支，根据题意得： ， ∵x、y为正整数， ∴，， ∴小明的购买方案有2种， 故选：B． 2．李康用20元全部购买羽毛球和乒乓球，并且两种球都需购买，已知羽毛球每个4元，乒乓球每个2元，则李康的购买方案有 种． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据题意，得到关系式，即；由于，均为正整数，故，即，据此可得的所有可能取值；接下来根据可得的可能取值，至此可得购买方案． 【详解】解：设购买个羽毛球，个乒乓球， 由题可得：， 变形得：， 因为，均为正整数， 所以， 解得：， 故的取值为，，，， 故其解为：或或或， 故有种购买方案， 故答案为：． 3．某运动品牌生产厂开发了一款新式的运动器材，计划15天生产安装360台.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式运动器材的安装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行新式运动器材的安装，生产开始后，调研部门发现，2名熟练工和1名新工人每天可安装10台新式运动器材，3名熟练工和2名新工人每天可安装16台新式运动器材. (1)每名熟练工和新工人每天分别可以安装多少台新式运动器材？ (2)如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽调的熟练工刚好能完成原计划15天的生产任务，那么工厂有几种新工人的招聘方案？ 【答案】(1)每名熟练工每天可以安装4台新式运动器材，每名新工人每天可以安装2台新式运动器材 (2)3种 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找准题中的等量关系是解题的关键． （1）设每名熟练工每天可以安装x台新式运动器材，每名新工人每天可以安装y台新式运动器材，根据题意列出等量关系式，进行计算即可得到答案； （2）设招聘m名新工人，根据题意列出二元一次方程，找出符合的所有解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每名熟练工每天可以安装x台新式运动器材，每名新工人每天可以安装y台新式运动器材， 根据题意，得， 解得， 答：每名熟练工每天可以安装4台新式运动器材，每名新工人每天可以安装2台新式运动器材． （2）解：设招聘m名新工人， 根据题意，得， ， 又，n均为正整数，且， 或或 工厂有3种新工人的招聘方案． 1．下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 故选C． 2．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设客人为x人，银子为y两，根据题意列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意得， 故选：A． 3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满六进一，即“结绳计数”．如图是一名妇女和儿童在绳子上打结记录的采集总数量，图是妇女比儿童多采集的数量．设妇女采集的数量为，儿童采集的数量为，下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了六进制数与十进制数之间的转换、二元一次方程组的应用．首先把六进制数转换为十进制数，可知采集的总数量为，妇女比儿童多采集的数量为，根据采集总量和妇女比儿童多采集的数量列方程组即可． 【详解】解：由图可知采集的总数量为， 由图可知妇女比儿童多采集的数量为， 设妇女采集的数量为，儿童采集的数量为， 则可列方程组． 故选： D． 4．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 【答案】287 【分析】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，则原来的三位数表示为：，新数表示为：，故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【详解】解：设原来的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 根据题意，得， 解得， 故原来的三位数是287． 故答案为：287． 5．已知某校八年级学生总人数为m人，其中女生n人，若女生人数的倍比男生人数多人，则可列二元一次方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 利用男生人数总人数一女生人数，可得出该校八年级有男生人，结合女生人数的倍比男生多人，即可得出关于，的二元一次方程，此题得解． 【详解】解：某校八年级学生总人数为m人，其中女生n人， 男生有人， 又女生人数的倍比男生人数多人， 可列二元一次方程为， 故答案为：． 6．某农场去年计划生产玉米和小麦共吨，采用新技术后，实际产量为吨，其中玉米减产，小麦超产，设该农场去年实际生产玉米吨、小麦吨，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列方程组是解题关键． 根据计划以及实际生产的粮食吨数列方程即可求解； 【详解】解：设该农场去年实际生产玉米吨、小麦吨， 根据题意可得：， 故答案为： 7．解方程组： 【答案】 【详解】解：①＋②，解得y＝8． 将y＝8代入②和③， 得， 解得， 所以原方程组的解为． 8．已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，求这个代数式的值 【答案】52 【分析】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键．根据已知条件可知，由此解方程组求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得 用得：④， 用得：⑤， 用得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴当时，， 即当时，求这个代数式的值为52． 9．耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省铜川市耀州区，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件种规格的倒装壶瓷器和2件种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件种规格的倒装壶瓷器和1件种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元． (1)分别求出每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价； (2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）． 【答案】(1)每件种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为400元 (2)该超市这天共有两种销售方案：①种规格的倒装壶瓷器销售了4件，种规格的倒装壶瓷器销售了6件；②种规格的倒装壶瓷器销售了8件，种规格的倒装壶瓷器销售了3件． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键： （1）设每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，根据题意，得，求解即可得出答案； （2）设该超市这天销售了件种规格的倒装壶瓷器、件种规格的倒装壶瓷器，根据题意，得，根据、均为正整数，有和两种情况，进而得出答案． 【详解】（1）解：设每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元． 根据题意，得，解得 每件种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为400元． （2）设该超市这天销售了件种规格的倒装壶瓷器、件种规格的倒装壶瓷器． 根据题意，得， 化简，得． 该超市这天两种规格的倒装壶瓷器都有销售， 、均为正整数， 有和两种情况， 即该超市这天共有两种销售方案： ①种规格的倒装壶瓷器销售了4件，种规格的倒装壶瓷器销售了6件； ②种规格的倒装壶瓷器销售了8件，种规格的倒装壶瓷器销售了3件． 10．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得，进一步可化为．根据x，y为正整数，可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你写出方程的一个正整数解：___________________； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买单价为5元/本的笔记本与单价为4元/支的中性笔两种奖品（两种都要购买），共花费76元．试问有几种购买方案，并写出购买方案． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)共有3种购买方案：①购买4本笔记本，14支中性笔；②购买8本笔记本，9支中性笔；③购买12本笔记本，4支中性笔 【分析】本题主要考查了解二元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． （1）根据题意得出，即可求解； （2）设购买m本笔记本，n支中性笔，则 ，求出其正整数解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ，     当时，，当时，，当时，， ∴原方程的一组正整数解为 或或（答案不唯一）； （2）解：设购买m本笔记本，n支中性笔， 根据题意，得， ∴． 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案：①购买4本笔记本，14支中性笔；②购买8本笔记本，9支中性笔；③购买12本笔记本，4支中性笔． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$