6.2 二元一次方程组的解法 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

6.2 二元一次方程组的解法 二元一次方程组的解法 1、代入消元法 由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 具体步骤为： 观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数。如果有，则将它直接代入另一个方程中。如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数。再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值。将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。 2、加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。 具体步骤为： 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等。把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值。 巩固课内例1:解方程组——代入消元法(整数) 1．用代入法解方程组下列变形中，化简较容易的是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 2．已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 3．解方程组：． 巩固课内例2:解方程组——代入消元法(分数) 1．二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．若方程，则用含的代数式表示得 ． 3．解方程（组） (1) (2) 巩固课内例3:解方程组——加减消元法(直接减法) 1．用加减法解方程组，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A． B． C． D． 2．方程组的解为 ． 3．解方程组． 巩固课内例4:解方程组——加减消元法(直接加法) 1．解方程组，较简便的方法是（    ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．试验法 D．以上都不对 2．方程组的解为 ． 3．解方程组： 巩固课内例5:解方程组——加减消元法(间接消元) 1．利用加减消元法解方程组下列做法错误的是（    ） A．要消去x， B．要消去x， C．要消去y， D．要消去y， 2．已知实数，满足，那么 ． 3．解方程组： 巩固课内例6:二元一次方程组的应用——利润问题 1．一件商品第一次出售所得利润是元，第二次出售时，进价比第一次低了，售价在第一次的基础上加价，结果获利元．如果设第一次的售价是元，进价是元，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 2．某服装店用6000元购进A，B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润为3800元（毛利润标价进价）．这两种服装的进价、标价如下表所示，则这两种服装共购进 件． A B 进价/（元/件） 60 100 标价/（元/件） 100 160 3．某服装店用元购进，两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润=售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 型 型 进价（元/件） 标价（元/件） 请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数． 类型一、代入消元法解二元一次方程组 1．将代入可得（    ） A． B． C． D． 2．与互为相反数，则 ． 3．解方程组两位同学的解法如下： 解法一： ①＋②，解得． 解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得． (1)检查两位同学的解题过程是否正确？若有错误，请在错误的步骤后打上“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 类型二、加减消元法解二元一次方程组 1．二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．代数式（k≠0，且k、b为常数）的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时代数式对应的值，则关于x的方程的解为 ． x 0 4 8 4 6 8 10 12 3．解下列方程组： (1)； (2)． 类型三、用x表示y 1．已知方程，则可用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知方程，用含x的式子表示y，则 ；用含y的式子表示x，则 ． 3．用含x的代数式表示y或用含y的代数式表示x． (1)已知，则 ． (2)已知，则 ． (3)已知，则 ． (4)已知，则 ． 类型一、二元一次方程组的解的数量关系求参 1．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于，的方程组，若，则的值为 ． 3．已知方程组的解满足方程，求的值． 类型二、二元一次方程组的解互为相反数 1．若关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．当 时，方程组的解互为相反数． 3．李宁准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“□”印刷不清楚．张老师说该题标准答案的结果x，y是一对相反数，通过计算说明原题中“□”是几？ 类型三、二元一次方程组的相同解 1．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 2．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则 ， ． 3．已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 类型一、二元一次方程组错解复原 1．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则 ． 3．甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解. 类型二、整体代入 1．若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 3．在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 类型三、新定义 1．对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．对，定义一种新运算▲，规定：（其中，均为非零常数），例如：．已知．则 ． 3．新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 类型四、二元一次方程组的整数解 1．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 3．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 1．已知二元一次方程组，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 2．对于任意有理数、，定义新运算：（其中、是常数）．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．11 D．15 3．已知关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是 ． 5．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则常数的值为 ． 6．丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 7．解方程组： 8．已知方程组与方程组的解相同，求a、b的值． 9．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了②中的b，解得试求的值. 10．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 二元一次方程组的解法 二元一次方程组的解法 1、代入消元法 由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 具体步骤为： 观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数。如果有，则将它直接代入另一个方程中。如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数。再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值。将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。 2、加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。 具体步骤为： 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等。把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值。 巩固课内例1:解方程组——代入消元法(整数) 1．用代入法解方程组下列变形中，化简较容易的是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查了代入消元法的运用，掌握代入消元法的计算方法，整式的运算法则是解题的关键． 根据代入消元法计算，一般情况将方程组中系数比较简单的未知数进行转换，即由②得，再代换①中的，此种方法比较简单，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，方程组中②中的系数为，由移项得，再代换①中的，此种方法比较简单， 故选：D ． 2．已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】/ 【分析】将移到方程的右边即可． 【详解】解：， 移项得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程，熟练掌握移项变号是解题关键． 3．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由②得③ 把③代入①得 ， 解得， 把代入③中，得 ， ∴方程组的解为． 巩固课内例2:解方程组——代入消元法(分数) 1．二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组,掌握运用代入法解二元一次方程组成为解题的关键． 直接运用代入法解二元一次方程组即可． 【详解】解:, 由①得:， 将③代入②得:， 解得， 将代入③解得:， 原二元一次方程组的解为． 故选C． 2．若方程，则用含的代数式表示得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把y看做已知求出x即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．解方程（组） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及二元一次方程组的解法，解一元一次方程的一般步骤是：①去分母，不要漏乘不含分母的项；②去括号，不要漏乘括号内的项，并注意符号的变化；③移项，移项要变号；④合并同类项，系数相加，字母及指数不变；⑤系数化为1，将方程两边都除以未知数的系数．解二元一次方程组的解法主要是加减消元法和代入消元法． （1）先去分母，两边都乘4，再去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）①②进而得再将其变形用代入法即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母可得 ， 去括号整理可得：， 系数化成1得，； （2）解： 可得， 即， 可得， 将代入可得：， ， 把代入可得，   即． 巩固课内例3:解方程组——加减消元法(直接减法) 1．用加减法解方程组，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加减法解一元二次方程，由②①即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】解：②①得： ， 故选：B． 2．方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：， 把代入②得：，解得：， ∴方程组的解为． 故答案为：． 3．解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先用加减消元法求出，将代入任一方程，求出，即可求解；掌握二元一次方程组的解法，并能灵活应用是解题的关键. 【详解】解：， ①-②得：， 把代入①得：， 原方程组的解为：． 巩固课内例4:解方程组——加减消元法(直接加法) 1．解方程组，较简便的方法是（    ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．试验法 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组的两个方法：加减消元法和代入消元法，特别注意当两方程中相同的未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法解方程比较简单． 【详解】解：两个方程中y的系数互为相反数，x的系数不相同， 用加减消元法比较简单， 故选 B． 2．方程组的解为 ． 【答案】 【分析】运用加减消元法求解即可． 【详解】解： ①②得：， 解得：， 把代入第一个方程得： 解得：， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是解二元一次方程组，解题的关键是运用加减消元法解方程组． 3．解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 方法一：运用加减消元法①+②，得，再代入①得，即可求解；方法二：运用代入消元法得③，代入②解得，再代入③得，即可求解． 【详解】解：方法一：①+②，得， 解得，， 将代入①，得， 解得，， 所以原方程组的解是； 方法二：由①，得③， 将③代入②，得， 解得，， 将代入③，得， 解得，， 所以原方程组的解是． 巩固课内例5:解方程组——加减消元法(间接消元) 1．利用加减消元法解方程组下列做法错误的是（    ） A．要消去x， B．要消去x， C．要消去y， D．要消去y， 【答案】D 【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法求解即可得． 【详解】要消去x，或； 要消去y，     故选：D． 2．已知实数，满足，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、用整体思想求代数式的值．首先观察方程组中未知数的系数之间的关系，未知数、的两个系数之和均为，所以把两个方程左、右两边分别相加即可求出代数式的值． 【详解】解：， 得：， 整理得：， 故答案为：． 3．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【详解】解：， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 巩固课内例6:二元一次方程组的应用——利润问题 1．一件商品第一次出售所得利润是元，第二次出售时，进价比第一次低了，售价在第一次的基础上加价，结果获利元．如果设第一次的售价是元，进价是元，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用利润售价进价，结合第一、二次出售的利润，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：第一次出售所得利润是元， ． 第二次出售时，进价比第一次低了，售价在第一次的基础上加价，结果获利元， ． 可列方程组． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．某服装店用6000元购进A，B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润为3800元（毛利润标价进价）．这两种服装的进价、标价如下表所示，则这两种服装共购进 件． A B 进价/（元/件） 60 100 标价/（元/件） 100 160 【答案】80 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，列出二元一次方程组，然后求解方程组即可． 设A种服装购进x件，B种服装购进y件，根据题意列出关于的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：设A种服装购进x件，B种服装购进y件． 由题意，得， 解得． 故A种服装购进50件，B种服装购进30件， 则这两种服装共购进件． 故答案为：80． 3．某服装店用元购进，两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润=售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 型 型 进价（元/件） 标价（元/件） 请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数． 【答案】购进种服装件，购进种服装件 【分析】设购进种服装件，购进种服装件，根据表格的信息，列出方程组，解出方程组即可． 【详解】设购进种服装件，购进种服装件 ∴， 解得：． 答：设购进种服装40件，购进种服装60件． 【点睛】本题考查二元一次方程的运用，解题的关键是读懂表格信息，列出方程组，掌握解二元一次方程的方法：代入消元法和加减消元法． 类型一、代入消元法解二元一次方程组 1．将代入可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代入消元法的运用，掌握代入消元法的计算是解题的关键． 根据题意，代入计算即可． 【详解】解：将代入可得，， ∴， 故选：B ． 2．与互为相反数，则 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了相反数的定义、代数式求值、非负数的性质、二元一次方程组等知识点，掌握两个非负数的和为0，则这两个数均为0成为解题的关键． 先根据相反数的性质列出算式，再根据非负数的性质列出二元一次方程组可求得a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，解得：， ∴． 故答案为：24． 3．解方程组两位同学的解法如下： 解法一： ①＋②，解得． 解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得． (1)检查两位同学的解题过程是否正确？若有错误，请在错误的步骤后打上“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查利用加减或者代入法解二元一次方程组， （1）根据移项法则可知解法二中存在错误； （2）利用加减法或者代入法求解方程组即可． 【详解】（1）解：如图． 解法一： ①＋②，得． 解法二： 由②，得．③× 把③代入①中，得到．× （2）解：选择解法一：①＋②，得，解得． 把代入①，得，解得， 该方程组的解为 选择解法二：由②，得 ③． 把③代入①，得，解得． 把代入①，得， 该方程组的解为 类型二、加减消元法解二元一次方程组 1．二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组解的定义，利用加减消元法求解计算解答即可． 本题考查了方程组的解，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入②，得， 故是的解． 故选：B． 2．代数式（k≠0，且k、b为常数）的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时代数式对应的值，则关于x的方程的解为 ． x 0 4 8 4 6 8 10 12 【答案】 【分析】本题考查解方程和方程组．根据表中和，得到关于和的二元一次方程并求解，将和的值代入解方程即可． 【详解】解：由和， 得， 解得， 将代入， 解得， 故答案为：． 3．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）先整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：由①得③， 将③代入②中，得，解得， 将代入③中，得， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组整理，得， 得，解得， 将代入③中，得， ∴原方程组的解为：． 类型三、用x表示y 1．已知方程，则可用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是方程的基本运算技能，移项，合并同类项，系数化为1等，然后合并同类项，系数化1就可用含x的式子表示y． 本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可先移项，再系数化为1即可． 【详解】解：把方程4移项得，， 方程左右两边同时除以得，． 故选：A． 2．已知方程，用含x的式子表示y，则 ；用含y的式子表示x，则 ． 【答案】 【分析】本题考查消元法，解答的关键是掌握解方程的基本运算技能：移项，合并同类项，系数化为1等，要表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项，系数化1即可．据此求解即可． 【详解】解：方程移项，得， 化系数为1，得， 方程移项，得， 化系数为1，得 故答案为，． 3．用含x的代数式表示y或用含y的代数式表示x． (1)已知，则 ． (2)已知，则 ． (3)已知，则 ． (4)已知，则 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程，把一个未知数看作常数求解是解答本题的关键． （1）把y移项即可； （2）把移项即可； （3）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （4）根据移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型一、二元一次方程组的解的数量关系求参 1．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先解方程组得出，，然后将，代入，求出k的值即可． 【详解】解：， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， 将，代入，得， 解得． 故选：C． 2．已知关于，的方程组，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 把两个方程相加，得，结合，即可求解． 【详解】解：， ，得，即 又∵， ∴， 解得：， 故答案为：2． 3．已知方程组的解满足方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将与联系立方程组求解，再将解代入方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意重新联立方程组，得 由②，得．③ 将③代入①，得，解得． 将代入③，得． 所以原方程组的解为 因为方程组的解满足方程， 所以将代入，解得， 所以的值为5． 类型二、二元一次方程组的解互为相反数 1．若关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据相反数的定义得到，则可得到，据此求出，再把代入原方程组中含k的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解互为相反数， ∴， 把③代入①得：，解得， 把代入③得：， 把代入②得：， 解得， 故选：D． 2．当 时，方程组的解互为相反数． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由方程组的解互为相反数得到，即，代入方程组的解即可求出的值． 【详解】解：由题意得，把代入方程得， 整理得， 把②代入①，得 ， ∴时，原方程组的解互为相反数， 故答案为：． 3．李宁准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“□”印刷不清楚．张老师说该题标准答案的结果x，y是一对相反数，通过计算说明原题中“□”是几？ 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于a的方程是解题的关键；把代入，求出y，再求出x，最后求出答案即可； 【详解】解：设原题中“□”是为a， x、y是一对相反数， 把代入得： ， 解得： ， ， 方程组的解是 ， 代入得： ， 解得： ， 原题中“□”是． 类型三、二元一次方程组的相同解 1．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 2．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了方程组的解，先求出第二个方程组的解，代入第一个方程组，求得新方程组的解即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入得入， 解得：， 故答案为：，． 3．已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，代数式求值，解题的关键是正确求出方程组的解． （1）根据二元一次方程组的解法即可求出答案． （2）将代入，然后根据a,b的值即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程组， 得， 它们的相同解是； （2）把代入 得 解得 所以． 类型一、二元一次方程组错解复原 1．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 2．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，根据题意可得满足方程，满足方程，据此求出a、b的值，再解原方程求出x、y的值即可． 【详解】解：把代入，解得， 把代入，解得， ∴原方程组为 解得， ∴， 故答案为：7． 3．甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解. 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．将错解分别代入未看错的方程中得到新的方程组，得到的值，即可求出原方程组的正确解． 【详解】解：由题意可知是的解， 于是可得，解得， 同理可得， 故原方程组为， 由①，得③， 把③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为． 类型二、整体代入 1．若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据题意，得到，求解即可． 【详解】解：关于方程组（其中是常数）的解为， 方程组的解为， 解得，， 故选：． 2．已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意可把新方程中的看作整体，相当于方程组中的x和y，对应值是3和2，构造新方程组即可． 【详解】解：根据已知可得： ， 解得：， 故答案为：． 3．在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组； （1）设，，则方程组可化为，再进一步解方程组即可； （2）设，，则方程组可化为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：的解为， 的解为， 设，， 则方程组可变为：， ，解得：． （2）解：设，， 则可变为：， 的解为， 的解为， 即， 解得： 类型三、新定义 1．对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意列出方程组求解是解题的关键．根据新定义运算的公式，列出x，y的方程组计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 两式相加得：， ∴． 故选：C． 2．对，定义一种新运算▲，规定：（其中，均为非零常数），例如：．已知．则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，理解新运算的定义是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴ 故答案为： ． 3．新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析 (2)或6 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据方程，即可得到，即可得出结论； （2）先解二元一次方程组，根据新定义，得到关于的绝对值方程，进行求解即可． 【详解】（1）具有“邻好关系”．理由如下：方程组 由②得． 所以方程组的解具有“邻好关系”； （2）解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即． 所以或， 所以或6． 类型四、二元一次方程组的整数解 1．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，涉及解二元一次方程组，先由加减消元法解得，，再由题意，分类讨论即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②①得，解得； 将代入①得； 若关于的方程组的解为整数， 当取时满足题意， 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 满足条件的所有整数的值的和为， 故选：C． 2．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程组的解求参数，先求出方程组的解，根据方程组的解为整数，为整数可得或或或或或，进而求出的值即可得到满足条件的所有整数，据此即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴或，，，，， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 3．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 1．已知二元一次方程组，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相减求出的值即可． 【详解】解：， ①②得：， 故选：B． 2．对于任意有理数、，定义新运算：（其中、是常数）．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．11 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义和解二元一次方程组及代数式求值，解题关键是理解新定义的含义．根据已知条件和新定义，列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入求解即可． 【详解】解：，且，， 即 解得 ． 故选B． 3．已知关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及整体代换的思想在解题中的应用，掌握以上知识点是解答本题的关键． 将两个方程相加，得到，再将代入，即可求出的值． 【详解】解：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 故选：C． 4．二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，由方程①得，再代入方程②可得答案． 【详解】解： 由①得③， 把③代入②，得， 故答案为：． 5．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则常数的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解，熟练掌握消元法解二元一次方程组是解题的关键．利用加减消元法解二元一次方程组可得，结合方程组的也是二元一次方程的解，即可求出常数的值． 【详解】解：， 得，， 解得：， 代入到②，得， 解得：， 方程组的解为， 由题意得，也是方程的解， ， 解得：， 常数的值为2． 故答案为：2． 6．丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 【详解】解：由题意可设方程组为， ， ， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 7．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 分别将两个二元一次方程标记为和，可得，解得，再将代入，得到，解得，于是得解． 【详解】解：， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， 原方程组的解为． 8．已知方程组与方程组的解相同，求a、b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组求出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与方程组的解相同， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为， 把别代入和， 得方程组， 解这个方程组得， ． 9．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了②中的b，解得试求的值. 【答案】0 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．根据题意将看错的解分别代入没看错的方程得到新的二元一次方程组，求出的值即可得到答案． 【详解】解：将代入②，解得， 将代入①，解得， 将，代入， 原式． 10．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①，② (2)或0 【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$