6.1 二元一次方程组和它的解-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

6.1 二元一次方程组和它的解 一、二元一次方程 方程中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。二元一次方程的一般形式为ax+by=c（其中a、b、c为常数，并且a、b均不为0）。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。 二、二元一次方程组 两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。 巩固课内例1:比赛积分问题 1．某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（    ） A．15种 B．11种 C．5种 D．3种 【答案】D 【分析】本题设出胜的场数为x，平的场数为y，那么负的场数为（15-x-y），那么以积分作为等量关系列出方程． 【详解】解：设胜的场数为x，平的场数为y，那么负的场数为（15-x-y）， 3x+y+0（15-x-y）=33， y=33-3x， x，y为正整数或0，x+y≤15， ，，， 故选：D． 【点睛】本题考查积分问题，设出不同的情况，然后根据题目所给的条件限制求出解． 2．足球起源于我国古代“蹴鞠”，2024年6月，在乌兰察布市举行的内蒙古自治区第十六届中学生运动会高中组足球项目比赛中，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，根据比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队获胜的场数有 种可能． 【答案】3 【分析】考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设该队获胜x场，平y场，则负场，根据题意列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数及，即可求出结论． 【详解】解：设该队获胜x场，平y场，则负场， 依题意，得：， ∴， ∴，，，，， 又∵， ∴该队可能获胜2场、3场或4场． 故该队获胜的场数有3种可能， 故答案为：3． 3．在一次篮球选拔赛中，12支篮球队进行循环赛，规定每队赢一场得2分，输一场得1分，比赛弃权得0分．如果某队参加全部的11场比赛，共得17分，那么这支球队输了几场，赢了几场？ 【答案】这支球队输了5场，赢了6场 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．首先设这支球队输了x场，赢了y场，由题意得等量关系：输的场数+胜的场数，输场得分+胜场得分分，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设这支球队输了x场，赢了y场． ， 解得：， 答：这支球队输了5场，赢了6场． 巩固课内例2:面积问题 1．如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 2．用一根长12厘米的铁丝围成长方形或正方形（接头处忽略不计），有 种不同的围法（边长取整厘米数），其中面积最大的是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．根据长方形的周长公式，得出长宽，进而得到长和宽的可能取值，即可求解． 【详解】解：由题意可知，（长宽）， 则长宽， 因为边长取整厘米数， 所以长和宽的可能取值为和、和、和，面积分别为、、， 所以有种不同的围法，其中面积最大的是平方厘米， 故答案为：，． 3．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）由题意得，求出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得：， ∴ 由（1）得， ∴ 类型一、二元一次方程的定义 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数且含有未知数的项最高次数是1的方程组叫做二元一次方程组．依据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】解：A．方程组是二元一次方程组，与要求不符； B．方程组是二元一次方程组，与要求不符； C．方程组中，含有未知数的项最高次数不是1，不是二元一次方程组，符合要求； D．方程组是二元一次方程组，与要求不符． 故选：C． 2．写出一个二元一次方程，使这个方程与所组成的方程组的解为，这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的定义及二元一次方程组解的定义， 根据二元一次方程的解的定义求得的值，然后写出一个符合题意的方程即可． 【详解】解：∵的一组解为， ∴， 解得：， 则它的解为， 那么所组成的方程组的解为的二元一次方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握系数不等于且次数等于的知识点是解题关键． 根据二元一次方程的定义可得、项的系数不等于且次数等于从而得到关于、的不等式及方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得或， 又， ， ，的值分别为，． 类型二、二元一次方程组的定义 1．下列方程组是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可． 【详解】解：中含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，则A不符合题意； 中不是整式，则B不符合题意； 中的次数不是1，则C不符合题意； 符合二元一次方程组的定义，则A符合题意； 故选：D． 2．请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：依题意，∵ ∴满足二元一次方程组，使该方程组无解． 故答案为：（答案不唯一） 3．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 类型三、列二元一次方程组 1．为积极响应国家“双碳”目标，进一步加强劳动及美育教育，某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，女生植树数量比男生植树数量少24棵，设女生植树x棵，男生植树y棵，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 设女生植树x棵，男生植树y棵，根据男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，女生植树数量比男生植树数量少24棵，列方程组求解即可． 【详解】解：设女生植树x棵，男生植树y棵，根据题意得： 故选：B． 2．有一块长方形土地，长是宽的2倍，如果长减少80米，宽增加20米，这块长方形土地就可以变成一块正方形土地，设该长方形土地的长为x米，宽为y米，则可以列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设长方形土地的长为x米，宽为y米，根据“长是宽的2倍，如果长减少80米，宽增加20米，这块长方形土地就可以变成一块正方形土地”列方程组即可． 【详解】解：设长方形土地的长为x米，宽为y米， 列方程组为， 故答案为：． 3．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 类型一、二元一次方程的解 1．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．14 B．11 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解题的关键．把和的值代入方程即可求出与的关系式，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，把代入， 得 ∴ 故选：B． 2．已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据是方程的解得出，然后代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故答案为：． 3．已知是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解满足方程得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：把代入方程， 得， ． 类型二、二元一次方程组的解 1．已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案． 【详解】解：A.把代入得：，，故该选项符合题意； B. 把代入得：，，故该选项不合题意； C. 把代入得：，故该选项不合题意； D. 把代入得：，故该选项不合题意． 故选：A． 2．判断 （填“是”或“不是”）方程组的解． 【答案】不是 【分析】将代入到方程组中去检验即可． 【详解】解：把分别代入到两个方程中，看左、右两边的值是否相等即可，可发现它不是方程的解，不是方程的解，所以它不是这个方程组的解． 故答案为：不是． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的步骤是关键． 3．方程组的解是否满足？满足的一对x，y的值是否是方程组的解？ 【答案】满足，不一定 【分析】根据“方程组”的解的定义，可知方程组的解是方程组中每个方程的解，而二元一次方程有无数个解，并不都是方程组的解． 【详解】满足，不一定． ∵的解既是方程的解，也满足， ∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程的解有无数组， 如，，不满足方程组． 因此满足的一对的值不一定是方程组的解． 【点睛】此题考查二元一次方程的解的定义和二元一次方程组的解的定义的区别：二元一次方程组的解一定是每个二元一次方程的解，其中一个二元一次方程的解不一定是方程组的解． 类型一、已知二元一次方程组的解求参 1．若是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识点．根据二元一次方程的解的定义把x、y的值代入方程，得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：把代入关于x、y的二元一次方程中， 可得：， 解得． 故选：B． 2．已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求整式的值，二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，将代入方程组，解关于、的二元一次方程组，即可求解；理解二元一次方程组解的定义，会解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解方程组得， ， 故答案为：． 3．已知关于的二元一次方程组的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．把代入方程组求得a、b的值，即可求得的值． 【详解】解：把代入二元一次方程组得，， 解得， ∴． 类型二、二元一次方程的解看错问题 1．若关于，的二元一次方程组的解为则被遮住的两个数和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解满足方程组，是解答本题的关键． 将代入，解出的值，即为，再将，同时代入，即可求得的值． 【详解】解：已知，将代入，得， 解得，即为， 将，同时代入，得，即， 故选：C． 2．已知方程组的解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解的定义得到满足方程，于是把代入得到，可解出y的值，再将代入，求得●为6，即可求解．使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的未知数的值叫二元一次方程组的解． 【详解】解：把代入得，解得， ∴▲为． 再把代入，得， ∴●为6， ∴ 故答案为：4． 3．甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，， 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②， 得， 即，． 类型三、整体代入 1．若k为整数，则使得方程的解也是整数的k值为（    ） A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 【答案】D 【分析】先把原方程变形为，得出，然后求出2001的因数有16个． 【详解】解：原方程变形得：， ， 为整数， 的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001，，，，，，，，． 共有16个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是排除法． 2．若方程组有正整数解，则整数k的值是 . 【答案】-3，-2，-1，2 【分析】由②得x=2y，再代入①得4y+ky=6，即可得到，最后根据方程组有正整数解即可得到整数k的值. 【详解】， 由②得x=2y， 把x=2y代入①得4y+ky=6， 解得， ∵方程组有正整数解 ∴k=－3，－1，±2. 故答案为-3，-2，-1，2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的整数解，解题的关键是根据代入法把方程组转化为方程，再根据方程组有正整数解解题. 3．阅读下面的学习材料： 我们知道，一般情况下式子与“”是不相等的（均为整数），但当取某些的特定整数时，可以使这两个式子相等，我们把使“”成立的数对“”叫做“好数对”，记作，例如，当时，有成立，则数对“”就是一对“好数对”，记作． 解答下列问题： （1）通过计算，判断数对“”是否是“好数对”： （2）求“好数对”中x的值： （3）对于“好数对”，如果（k为整数），求b的值（直接写出答案，用含k的代数式表示） 【答案】（1）“3，4”不是“好数对”；（2）18；（3） 【分析】（1）令，，代入验证，判断出“3，4”是否是“好数对”即可． （2）首先根据数对“，”是“好数对”，可得：；然后根据解一元一次方程的方法，求出的值是多少即可． （3）设，是一对“好数对”，则，应是满足的整数，如果为整数），则． 【详解】解：（1）令，， 则，， ， ， 故数对“3，4”不是“好数对”． （2）数对“，”是“好数对”， ， ， 解得． （3）设，是一对“好数对”， 则，应是满足的整数， 如果为整数）， 则． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程、解一元一次方程的方法和应用，以及“好数对”的含义和判断，要熟练掌握． 类型四、新定义 1．若关于x、y的方程组的解为则方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先将所求的方程组进行变形，根据已知方程组的解可得，进行计算即可解答． 【详解】， ， ∵关于x、y的方程组的解为， ， 解得：， 即方程组的解是， 故选：B． 2．已知关于 x，y 的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据原方程组变形得，，可得，即可求解． 【详解】解：把变形得，， ∵关于 x，y 的方程组的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”．提出了各自的想法，甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解．”乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试．”请你参考他们的讨论，求出这个题目的正确答案． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的含义是解题的关键． 先把所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可． 【详解】解：将方程组化简得， ， 解得． 1．定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（  ） A．有且只有一组解 B．有无数组解 C．无解 D．有且只有两组解 【答案】B 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解题中定义． 根据“”表示出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴有无数组可以满足， 故选：B． 2．下列选项是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 【详解】解：A．，不是等式，故不是二元一次方程； B．中含未知数项的次数是2，故不是二元一次方程；     C．含3个未知数，故不是二元一次方程； D．是二元一次方程； 故选D． 3．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 4．如果方程组的解为．那么被“”遮住的两个数分别为（　　） A．3，10 B．4.10 C．10，4 D．10，3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入，求出，再代入，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：， 把代入，得：； 故选C． 5．对于任意实数，，定义关于“@”的一种运算如下：．如．则方程的整数解是 ．（写出三对整数解） 【答案】或或 【分析】本题考查了解二元一次方程．已知等式利用题中的新定义化简得到方程，求得整数解即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， ∴或或． 故答案为：或或． 6．在方程中，用的代数式表示，得 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质，对方程进行变形，即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为“”，得， 故答案为：． 7．新趋势▪结论开放请写出一个以，为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程组的解为．这样的方程组可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据二元一次方程组的解的定义，所写方程组为、的和与差的两个方程即可． 【详解】解：方程组可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 8．已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，两式相加得：，根据的和为6，整体代入即可得到k的值，熟练掌握二元一次方程组的解，解一元一次方程并知道将整体代入是解决此题的关键． 【详解】解：两式相加得：， ∴， ∵的和为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题∶ (1)下列两位数30，52，77中，“互异数”为 ；________． (2)若“互异数”满足，求所有“互异数”． 【答案】(1)52，6 (2)14或23或32或41 【分析】（1）根据题目中“互异数”的定义进行判断；再根据的定义计算即可； （2）设“互异数”b的个位数字为x，十位数字为y，根据题目中“互异数”的定义列式求出，即可得到所有“互异数”b的值； 【详解】（1）解：由“互异数”的定义得，两位数30，52，77中，“互异数”为52， ， 故答案为：52，6； （2）解：设“互异数”b的个位数字为x，十位数字为y， 则， 整理得：， ∴或或或， ∴所有“互异数”b的值为14或23或32或41． 【点睛】本题考查了新定义、二元一次方程的整数解、整式的加减运算，解答本题的关键是理解新定义及其运算方法． 10．甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值． 【答案】， 【分析】此题考查的是二元一次方程组的解，解答此题先要根据题意列出方程，然后求解．甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙将一个方程中的写成了相反数，把他解得答案代入方程，求、的值． 【详解】解：由题意得： 把代入 得：， 解得：， 方程组为， 因为乙将一个方程中的写成了相反数， 所以把代入方程组得：， 把代入方程得：． 11．已知甲种物品每个重4kg，乙种物品每个重7kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76kg． (1)列出关于x，y的二元一次方程； (2)若，则______ (3)若乙种物品有8个，则甲种物品有______个 【答案】(1) (2)4 (3)5 【分析】（1）根据总重量相等列出方程即可； （2）将代入原方程，求出答案即可； （3）将代入原方程，求出答案即可． 【详解】（1）根据题意可知； （2）当时，， 解得． 故答案为：4； （3）将代入关系式，得， 解得． 所以甲种物品有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解二元一次方程的解是解题的关键． 12．解方程组时，小红同学把看错了，得到的错误解是，而正确的解是；求、的值． 【答案】， 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把小红的解代入第一个方程，计算即可． 【详解】解：把和代入， 得：， 解得：， ，． 13．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，，…，都是方程的解，在解决实际问题中只需求出符合条件的解即可． 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x，y为正整数，运用尝试法可以知道， 方程的正整数解为或． 问题： (1)求方程的正整数解； (2)七年级地理科学兴趣小组共16人（男生9人，女生7人），前往云南普者黑对喀斯特岩溶地貌进行观测研究．活动期间入住当地民宿，已知民宿有两人间和三人间两种房间可供选择，其中两人间140元一天，三人间180元一天．请你运用所学知识设计出最为合理的住宿方案，并进行简要说明． 【答案】(1)或． (2)最为合理的住宿方案为入住4间三人间，2间两人间 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用： （1）仿照题意进行求解即可； （2）先求出三人间的人均费用比两人间的人均费用低，则男生入住3间三人间，设7名女生入住m间三人间，n间两人间，则，求出方程的非负整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴y一定是偶数， ∴当时，， 当时，， ∴方程的正整数解为或． （2）解：∵， ∴三人间的人均费用比两人间的人均费用低， ∴9名男生应该都入住三人间， 设7名女生入住m间三人间，n间两人间， 由题意得，， ∴， ∵m、n为非负整数， ∴当时，， 综上所述，最为合理的住宿方案为入住4间三人间，2间两人间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 二元一次方程组和它的解 一、二元一次方程 方程中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。二元一次方程的一般形式为ax+by=c（其中a、b、c为常数，并且a、b均不为0）。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。 二、二元一次方程组 两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。 巩固课内例1:比赛积分问题 1．某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（    ） A．15种 B．11种 C．5种 D．3种 2．足球起源于我国古代“蹴鞠”，2024年6月，在乌兰察布市举行的内蒙古自治区第十六届中学生运动会高中组足球项目比赛中，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，根据比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队获胜的场数有 种可能． 3．在一次篮球选拔赛中，12支篮球队进行循环赛，规定每队赢一场得2分，输一场得1分，比赛弃权得0分．如果某队参加全部的11场比赛，共得17分，那么这支球队输了几场，赢了几场？ 巩固课内例2:面积问题 1．如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．用一根长12厘米的铁丝围成长方形或正方形（接头处忽略不计），有 种不同的围法（边长取整厘米数），其中面积最大的是 平方厘米． 3．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 类型一、二元一次方程的定义 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．写出一个二元一次方程，使这个方程与所组成的方程组的解为，这个方程可以是 ． 3．已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 类型二、二元一次方程组的定义 1．下列方程组是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 2．请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解 ． 3．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 类型三、列二元一次方程组 1．为积极响应国家“双碳”目标，进一步加强劳动及美育教育，某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，女生植树数量比男生植树数量少24棵，设女生植树x棵，男生植树y棵，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．有一块长方形土地，长是宽的2倍，如果长减少80米，宽增加20米，这块长方形土地就可以变成一块正方形土地，设该长方形土地的长为x米，宽为y米，则可以列方程组为 ． 3．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 类型一、二元一次方程的解 1．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．14 B．11 C．7 D．4 2．已知是方程的解，则代数式的值为 ． 3．已知是方程的解，求的值． 类型二、二元一次方程组的解 1．已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 2．判断 （填“是”或“不是”）方程组的解． 3．方程组的解是否满足？满足的一对x，y的值是否是方程组的解？ 类型一、已知二元一次方程组的解求参 1．若是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D． 2．已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 3．已知关于的二元一次方程组的解是，求的值． 类型二、二元一次方程的解看错问题 1．若关于，的二元一次方程组的解为则被遮住的两个数和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知方程组的解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，则 ． 3．甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 类型三、整体代入 1．若k为整数，则使得方程的解也是整数的k值为（    ） A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 2．若方程组有正整数解，则整数k的值是 . 3．阅读下面的学习材料： 我们知道，一般情况下式子与“”是不相等的（均为整数），但当取某些的特定整数时，可以使这两个式子相等，我们把使“”成立的数对“”叫做“好数对”，记作，例如，当时，有成立，则数对“”就是一对“好数对”，记作． 解答下列问题： （1）通过计算，判断数对“”是否是“好数对”： （2）求“好数对”中x的值： （3）对于“好数对”，如果（k为整数），求b的值（直接写出答案，用含k的代数式表示） 类型四、新定义 1．若关于x、y的方程组的解为则方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于 x，y 的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ． 3．两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”．提出了各自的想法，甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解．”乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试．”请你参考他们的讨论，求出这个题目的正确答案． 1．定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（  ） A．有且只有一组解 B．有无数组解 C．无解 D．有且只有两组解 2．下列选项是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 4．如果方程组的解为．那么被“”遮住的两个数分别为（　　） A．3，10 B．4.10 C．10，4 D．10，3 5．对于任意实数，，定义关于“@”的一种运算如下：．如．则方程的整数解是 ．（写出三对整数解） 6．在方程中，用的代数式表示，得 ． 7．新趋势▪结论开放请写出一个以，为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程组的解为．这样的方程组可以是 ． 8．已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 9．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题∶ (1)下列两位数30，52，77中，“互异数”为 ；________． (2)若“互异数”满足，求所有“互异数”． 10．甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值． 11．已知甲种物品每个重4kg，乙种物品每个重7kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76kg． (1)列出关于x，y的二元一次方程； (2)若，则______ (3)若乙种物品有8个，则甲种物品有______个 12．解方程组时，小红同学把看错了，得到的错误解是，而正确的解是；求、的值． 13．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，，…，都是方程的解，在解决实际问题中只需求出符合条件的解即可． 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x，y为正整数，运用尝试法可以知道， 方程的正整数解为或． 问题： (1)求方程的正整数解； (2)七年级地理科学兴趣小组共16人（男生9人，女生7人），前往云南普者黑对喀斯特岩溶地貌进行观测研究．活动期间入住当地民宿，已知民宿有两人间和三人间两种房间可供选择，其中两人间140元一天，三人间180元一天．请你运用所学知识设计出最为合理的住宿方案，并进行简要说明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$