专题03 二元一次方程组和它的解 同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册（华东师大版）

专题03二元一次方程组和它的解 （5知识点+7题型+过关检测） 【题型1 二元一次方程的定义】 2 【题型2 由二元一次方程的定义求参数】 4 【题型3 二元一次方程的解】 5 【题型4 用含一个的代数式表示另一个】 7 【题型5 判断是否是二元一次方程组】 8 【题型6 判断是否是二元一次方程组的解】 10 【题型7 已知二元一次方程组的解求参数】 13 1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的定义，能准确区分二元一次方程与一元一次方程、二元一次方程组与其他方程组的区别。 2. 掌握二元一次方程的解的特点，能判断一组数值是否为二元一次方程（组）的解，能根据二元一次方程的解的定义，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。 3. 能根据二元一次方程、二元一次方程组的定义求参数的值，能利用二元一次方程组的解求参数，规范解题步骤，做到言必有据。03 知识•梳理 知识点1：二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 核心要点（缺一不可）：① 含两个未知数（通常用x、y表示）；② 未知数的项的次数都是1（注意：是“项的次数”，不是“未知数的次数”，如xy=2中，xy的次数是2，不是二元一次方程）；③ 等号两边都是整式（分母中不含未知数，根号下不含未知数）。 示例：2x+y=3、x-3y=0是二元一次方程；x+1=5（只含1个未知数）、xy=4（项的次数为2）都不是二元一次方程。 知识点2：二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 核心特点：① 二元一次方程的解是“一对数”（如x=1，y=2），单独一个未知数的值不是方程的解；② 一个二元一次方程有无数个解，只要给定其中一个未知数的值，就能求出另一个未知数的值；③ 解的表示方法：通常写成“{x=a，y=b}”的形式（用大括号联立两个未知数的值）。 知识点3：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 核心方法：将二元一次方程看作一元一次方程，把其中一个未知数当作“已知数”，另一个当作“未知数”，通过移项、合并同类项、系数化为1，将其表示出来。 关键提醒：移项时要变号，系数化为1时要注意符号和分数运算，最终结果要简洁，不含多余括号。 知识点4：二元一次方程组的定义 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 核心要点（缺一不可）：① 方程组中一共含有两个未知数（所有方程共同含有的未知数，不能多也不能少）；② 每个方程都是一次方程（满足二元一次方程的定义，或一元一次方程但含这两个未知数中的一个）；③ 至少有两个方程（通常为两个）。 知识点5：二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 核心特点：① 方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程，缺一不可；② 一个二元一次方程组通常只有一个解（特殊情况有无数个解或无解，七年级暂不深入）；③ 解的表示方法与二元一次方程的解一致，写成的形式。 04 题型•汇总 【题型1 二元一次方程的定义】 解题思路 核心：紧扣二元一次方程的三个核心条件（含两个未知数、未知数的项的次数都是1、等号两边是整式），逐一判断每个选项是否同时满足这三个条件，缺一不可。 【典例1】．下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，依据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，解题的关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：首先是整式方程，方程中共含有两个未知数，所有含有未知数的项的次数都是． 【详解】解：由二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程， 、是不等式，不是方程，不符合定义，不符合题意； 、是代数式，不是等式，不属于方程，不符合定义，不符合题意； 、中含有两个未知数、，含未知数的项次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意； 、中、的次数为，不符合“含未知数的项次数为”的要求，不符合题意； 故选：． 跟随训练1．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意； C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意； D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意； 故选C． 跟随训练2．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程是含有两个未知数且未知数的最高次数为1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．方程含有两个未知数x和y，且未知数的次数均为1，是二元一次方程，符合题意； B．方程只含一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C．方程中项次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； D．方程只含一个未知数且最高次数为2，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：A． 跟随训练3．下列方程中，属于二元一次方程的是_______（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．解题的关键是正确理解二元一次方程的定义， 根据二元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：①符合二元一次方程的定义； ②最高次项的次数是2，故不符合二元一次方程的定义； ③还有3个未知数，故不符合二元一次方程的定义； ④符合二元一次方程的定义； 故属于二元一次方程的是①④． 故答案为：①④． 【题型2 由二元一次方程的定义求参数】 解题思路： 核心：根据二元一次方程的三个核心条件，列出关于参数的方程（或不等式），求解参数的值，同时注意排除使方程不符合条件的参数值。 【典例2】．关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义可知且，解方程即可得解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， ，， ，， ． 跟随训练1．若是关于、的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义求解，需要满足x，y的次数为1，x，y的系数不为0，据此列等式和不等式即可求出m的值． 【详解】解：∵原方程是关于x，y的二元一次方程， ∴需要满足两个条件： ① x的次数为1，即， 即或， 解得或； ② y的系数不能为0，即，得， ∴综上，. 跟随训练2．若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，整理方程后让含项的系数不为即可求解． 【详解】解：将方程整理得． 又该方程是关于，的二元一次方程． 含项的系数不能为，即． ． 故选：C． 跟随训练3．方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴且， 解得． 【题型3 二元一次方程的解】 解题思路： 核心：牢记二元一次方程的解的定义（使方程左右两边相等的一对未知数的值），分两种考查形式，针对性解题： 【典例3】．判断下列四组x，y的值，是二元一次方程的解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于A，时，， 是二元一次方程的解，符合题意； 对于B，时，， 不是二元一次方程的解，不符合题意； 对于C，时，， 不是二元一次方程的解，不符合题意； 对于D，时，， 不是二元一次方程的解，不符合题意． 跟随训练1．下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，不是方程的解； B．，不是方程的解； C．，是方程的解； D．，不是方程的解． 跟随训练2．已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知解代入方程得，再将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：已知是二元一次方程的一组解， 则， ∴ ． 跟随训练3．写出一个以 为解的二元一次方程：___________(写出一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】任意写一个关于x与y的一次二项式，再将代入计算出数值，即可得出关于x与y的二元一次方程． 【详解】解：∵把代入得， ∴以 为解的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【题型4 用含一个的代数式表示另一个】 解题思路： 核心：将二元一次方程转化为一元一次方程的形式，把需要表示的未知数当作“未知数”，另一个未知数当作“已知数”，通过移项、合并同类项、系数化为1求解。 【典例4】．将方程改写成用含的式子表示的形式，则__________． 【答案】 【分析】把看作已知数求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 跟随训练1．已知方程，请你用含的代数式表示，则_______． 【答案】 【分析】将含有的项移至方程的右边，再将的系数化为即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 跟随训练2．把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：∵， ∴两边同乘3去分母，得， ∴移项，得， ∴合并同类项，得， ∴系数化为1，得，即． 故选：C． 跟随训练3．已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的知识点是解二元一次方程，关键是解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的性质解题，可以把一个未知数看成已知数来处理．将x看成已知数，先移项，再将y系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：D． 【题型5 判断是否是二元一次方程组】 解题思路： 核心：紧扣二元一次方程组的两个核心条件（共含两个未知数、每个方程都是一次方程），逐一判断每个方程组是否同时满足这两个条件。 【典例5】．表示二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、方程组含有三个未知数，故本选项不符合题意； B、第二个方程的次数为2，故本选项不符合题意； C、的次数为2，故本选项不符合题意； D、符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意． 跟随训练1．下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．据此逐个判断即可． 【详解】①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②中，未知数的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ③方程组含x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故是二元一次方程组的有①④，一共2个． 跟随训练2．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有5个， 故选：D． 跟随训练3．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 【题型6 判断是否是二元一次方程组的解】 解题思路： 核心：牢记方程组的解的定义（同时满足方程组中每一个方程的一对未知数的值），必须逐一检验每个方程，不能遗漏。 【典例6】．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 跟随训练1．下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程，因此只需验证第二个方程的值是否匹配． 【详解】解：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程， 将代入各选项的第二个方程： ∵对于选项A：，不满足； 对于选项B：，不满足； 对于选项C：，满足； 对于选项D：，不满足． ∴只有选项C以为解． 故选：C． 跟随训练2．有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 跟随训练3．写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查构造二元一次方程组，根据二元一次方程组的解，进行构造即可． 【详解】解：由题意，可以构造的方程组为： ； 故答案为：（答案不唯一）． 【题型7 已知二元一次方程组的解求参数】 解题思路： 核心：利用“方程组的解同时满足每个方程”的特点，将解代入方程组，转化为关于参数的一元一次方程，求解参数。 【典例7】．已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵​是方程的解， ∴ 解得： 跟随训练1．已知是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．5 D．-5 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴将，代入方程得， 移项整理得， 解得：． 跟随训练2．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据和方程求出的值，再将和的值代入方程求出 【详解】解：， 且， .． 将代入， 得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 跟随训练3．小明求得方程组的解为，则表示的数为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据方程组的解求参数，将代入第一个方程求出 x 的值，再将 x 和 y 的值代入第二个方程求解． 【详解】解：由题意得，方程组的解中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 05 过关•检测 1．下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数，所含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，项的次数是2，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； B、，同时满足三个条件，是二元一次方程，符合题意； C、，只含有一个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； D、，不是整式，不属于整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意． 2．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 【答案】A 【分析】先设出两种奖品的购买数量，根据总价列出二元一次方程并化简，然后通过分析变量的取值范围和正整数要求，逐一找出所有有效的正整数解，统计解的数量即可得到方案数． 【详解】解：设购买奖品件，奖品件，其中、为正整数． 根据总费用为元，可列方程：， 将方程变形为用表示的形式：． 因为为正整数，所以必须是正偶数： 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，为负数，不符合条件； 综上，共有3种不同的购买方案． 3．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】运用二元一次方程的解的定义进行计算、求解． 【详解】解：把代入得：， 解得． 4．“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，求所需圈舍的间数．求得的结果有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】设小圈舍x间，大圈舍y间，根据总鹿数列出二元一次方程，结合x，y为非负整数，即可求出解的个数． 【详解】解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间， 依题意得：， ∴， ∵x，y均为非负整数， ∴，得， 又∵x为整数， ∴为偶数， ∵30是偶数， ∴为偶数，即y为偶数， ∴y可取0，2，4，6，8，10，共6个不同取值，对应6组不同解， ∴共有6种结果． 5．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，下列选项中，不是方程的正整数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解的验证，解题的关键是掌握二元一次方程的解的意义． 通过将各选项的x、y值代入方程，判断等式是否成立即可确定不是解的选项． 【详解】解：∵把选项A的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴A是方程的正整数解； ∵把选项B的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴B是方程的正整数解； ∵把选项C的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴C不是方程的正整数解； ∵把选项D的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴D是方程的正整数解． 故选：C． 6．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解．将代入方程，即可求得被遮盖的的数值；将方程组的解代入，即可求得该处被遮盖的数值． 【详解】解：将代入方程，得 ． 解得：． 所以，方程组的解为． 将代入，得 ． 所以，被遮盖的前后两个数分别为5、1． 故选：C． 7．若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 8．方程的解是，则_______，_______． 【答案】 1 0 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴ 解得． 9．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________． 【答案】 4 【分析】根据的解为得到，解关于和的二元一次方程组即可． 【详解】解：∵的解为， ∴， 解得：． 10．小张买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵，小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，则红笔每支______元，蓝笔每支______元． 【答案】 13 4 【分析】本题考查二元一次方程的解，正确掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据题意，列出二元一次方程，再通过排除法，笔价不能是35的因数或18的因数，从而判断出满足题意的二元一次方程的解即可求解． 【详解】解：设红笔单价为x元，蓝笔单价为y元， 根据题意，可得，， x，y都是正整数，且， 满足条件的解有8个，分别为， ，，，，，，，， 他无论怎样买都不能恰好把35元用完， x和y不能为35的因数，即不能为1，5或7， ， 如果 x和y 中有一个或两个是18的因数，则存在购买的个数使得费用为18元， 那么每种笔再多买一个即17元，总花费为元， x和y 不能为18的因数，即不能为1、2、3、6、9， 满足条件的解只有， 验证：设购买红笔a个，蓝笔b个， 根据题意可得，，此方程没有非负整数解， 即当红笔每支13元，蓝笔每支4元时，小张无论怎样买都不能恰好把35元用完． 故答案为：13；4． 11．已知是方程的解，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的整体求值，解决本题的关键是将解代入方程． 将解代入方程可得，进而求值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴代数式． 故答案为 ：． 12．如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字与个位数字的乘积恰好等于它的百位数字与十位数字组成的两位数，则称这个数为“调控数”．如：3186，，是“调控数”；又如：4297，，不是“调控数”．若一个“调控数”为，则这个数为___________；对一个“调控数”，若记为，记为，且为整数，则满足条件的“调控数”M的最小值是___________． 【答案】 5153 【分析】本题考查了整式的加减的应用，新定义计算，二元一次方程的解，整除的应用；根据定义可得，进而得出，即可求解；根据定义可得，根据已知可得，，则，根据整除可得能被19整除，得到或38，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵是“调控数” ∴ 解得： ∴这个数为； ∵对一个“调控数”， ∴， ∴， ∴ ∵为整数， ∴为整数 ∴能被19整除 ∵，，且都为整数， ∴ ∴或38 当时，或或， ∴当时，，不符合题意； 当时，， ∴， ∴此时“调控数”M为5153； 当时，，不符合题意； 当时， ∴， ∴， ∴此时“调控数”M为7568 ∴满足条件的“调控数”M的最小值是5153． 故答案为：，5153． 13．已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 14．定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 15．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【答案】 【分析】小刚看错了系数，但他的解仍然满足不含的方程①；小华没看错任何系数，他的解同时满足方程①和②．因此，我们可以将这两组解分别代入对应的方程，得到一个关于、、的三元一次方程组，解出、、的值后，再计算的平方根． 【详解】解：把代入①，得．③ 把代入①，得．④ ④③，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和三元一次方程组的解法，解题关键是理解“看错系数”的含义，即看错的系数不影响未看错的方程，从而将两组解代入正确的方程，建立新的方程组求解． 16．已知是一个三位数，其中a，b，c分别为百位、十位、个位上的数字，且（n为正整数）． (1)当时，用含a的代数式表示n的值； (2)说明可以被3整除； (3)若（k为整数），说明k除以3的余数为1． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三位数的表示方法以及整除的性质： （1）根据题意可得该三位数为，从而得到，即可解答； （2）根据题意可得，从而得到，即可解答； （3）根据题意可得为奇数，从而得到n为奇数，可设，可得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴该三位数为， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴可以被3整除； （3）解：根据题意得：， ∵为奇数， ∴为奇数， ∴n为奇数， ∴可设，其中m为正整数， ∴， ∴， ∴k除以3的余数为1． 17．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，方程的解的概念，掌握将方程变形为指定形式，利用方程的解求参数是解题的关键． （1）将方程变形为的形式，通过系数化得到和的值，从而确定相伴系数对； （2）根据相伴系数对写出方程形式，再将已知解代入方程，解出的值，最后代入得到具体的二元一次方程． 【详解】（1）解：∵方程可变形为 ∴其“相伴系数对”为 （2）方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 是该方程的一个解， ， 解得， 这个二元一次方程是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二元一次方程组和它的解 （5知识点+7题型+过关检测） 【题型1 二元一次方程的定义】 2 【题型2 由二元一次方程的定义求参数】 2 【题型3 二元一次方程的解】 3 【题型4 用含一个的代数式表示另一个】 3 【题型5 判断是否是二元一次方程组】 4 【题型6 判断是否是二元一次方程组的解】 4 【题型7 已知二元一次方程组的解求参数】 5 1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的定义，能准确区分二元一次方程与一元一次方程、二元一次方程组与其他方程组的区别。 2. 掌握二元一次方程的解的特点，能判断一组数值是否为二元一次方程（组）的解，能根据二元一次方程的解的定义，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。 3. 能根据二元一次方程、二元一次方程组的定义求参数的值，能利用二元一次方程组的解求参数，规范解题步骤，做到言必有据。03 知识•梳理 知识点1：二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 核心要点（缺一不可）：① 含两个未知数（通常用x、y表示）；② 未知数的项的次数都是1（注意：是“项的次数”，不是“未知数的次数”，如xy=2中，xy的次数是2，不是二元一次方程）；③ 等号两边都是整式（分母中不含未知数，根号下不含未知数）。 示例：2x+y=3、x-3y=0是二元一次方程；x+1=5（只含1个未知数）、xy=4（项的次数为2）都不是二元一次方程。 知识点2：二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 核心特点：① 二元一次方程的解是“一对数”（如x=1，y=2），单独一个未知数的值不是方程的解；② 一个二元一次方程有无数个解，只要给定其中一个未知数的值，就能求出另一个未知数的值；③ 解的表示方法：通常写成“{x=a，y=b}”的形式（用大括号联立两个未知数的值）。 知识点3：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 核心方法：将二元一次方程看作一元一次方程，把其中一个未知数当作“已知数”，另一个当作“未知数”，通过移项、合并同类项、系数化为1，将其表示出来。 关键提醒：移项时要变号，系数化为1时要注意符号和分数运算，最终结果要简洁，不含多余括号。 知识点4：二元一次方程组的定义 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 核心要点（缺一不可）：① 方程组中一共含有两个未知数（所有方程共同含有的未知数，不能多也不能少）；② 每个方程都是一次方程（满足二元一次方程的定义，或一元一次方程但含这两个未知数中的一个）；③ 至少有两个方程（通常为两个）。 知识点5：二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 核心特点：① 方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程，缺一不可；② 一个二元一次方程组通常只有一个解（特殊情况有无数个解或无解，七年级暂不深入）；③ 解的表示方法与二元一次方程的解一致，写成的形式。 04 题型•汇总 【题型1 二元一次方程的定义】 解题思路 核心：紧扣二元一次方程的三个核心条件（含两个未知数、未知数的项的次数都是1、等号两边是整式），逐一判断每个选项是否同时满足这三个条件，缺一不可。 【典例1】．下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 跟随训练1．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 跟随训练2．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3．下列方程中，属于二元一次方程的是_______（填序号）． ①；②；③；④． 【题型2 由二元一次方程的定义求参数】 解题思路： 核心：根据二元一次方程的三个核心条件，列出关于参数的方程（或不等式），求解参数的值，同时注意排除使方程不符合条件的参数值。 【典例2】．关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．若是关于、的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 跟随训练2．若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 跟随训练3．方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为______． 【题型3 二元一次方程的解】 解题思路： 核心：牢记二元一次方程的解的定义（使方程左右两边相等的一对未知数的值），分两种考查形式，针对性解题： 【典例3】．判断下列四组x，y的值，是二元一次方程的解的是（  ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3．写出一个以 为解的二元一次方程：___________(写出一个即可)． 【题型4 用含一个的代数式表示另一个】 解题思路： 核心：将二元一次方程转化为一元一次方程的形式，把需要表示的未知数当作“未知数”，另一个未知数当作“已知数”，通过移项、合并同类项、系数化为1求解。 【典例4】．将方程改写成用含的式子表示的形式，则__________． 跟随训练1．已知方程，请你用含的代数式表示，则_______． 跟随训练2．把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3．已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 【题型5 判断是否是二元一次方程组】 解题思路： 核心：紧扣二元一次方程组的两个核心条件（共含两个未知数、每个方程都是一次方程），逐一判断每个方程组是否同时满足这两个条件。 【典例5】．表示二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 跟随训练2．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 跟随训练3．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【题型6 判断是否是二元一次方程组的解】 解题思路： 核心：牢记方程组的解的定义（同时满足方程组中每一个方程的一对未知数的值），必须逐一检验每个方程，不能遗漏。 【典例6】．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 跟随训练1．下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 跟随训练3．写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 【题型7 已知二元一次方程组的解求参数】 解题思路： 核心：利用“方程组的解同时满足每个方程”的特点，将解代入方程组，转化为关于参数的一元一次方程，求解参数。 【典例7】．已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 跟随训练1．已知是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．5 D．-5 跟随训练2．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 跟随训练3．小明求得方程组的解为，则表示的数为___________． 05 过关•检测 1．下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 3．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．3 4．“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，求所需圈舍的间数．求得的结果有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 5．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，下列选项中，不是方程的正整数解的是（   ） A． B． C． D． 6．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 7．若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 8．方程的解是，则_______，_______． 9．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________． 10．小张买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵，小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，则红笔每支______元，蓝笔每支______元． 11．已知是方程的解，则代数式的值为______． 12．如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字与个位数字的乘积恰好等于它的百位数字与十位数字组成的两位数，则称这个数为“调控数”．如：3186，，是“调控数”；又如：4297，，不是“调控数”．若一个“调控数”为，则这个数为___________；对一个“调控数”，若记为，记为，且为整数，则满足条件的“调控数”M的最小值是___________． 13．已知是二元一次方程组的解，求的值． 14．定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 15．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 16．已知是一个三位数，其中a，b，c分别为百位、十位、个位上的数字，且（n为正整数）． (1)当时，用含a的代数式表示n的值； (2)说明可以被3整除； (3)若（k为整数），说明k除以3的余数为1． 17．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $