精品解析：安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题

安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测 数学试题（合肥一模） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合B，再利用交集运算求解. 【详解】，， 故选：C 2. 设，若为实数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先计算化简，结合为实数求解. 【详解】因为  为实数， 可得 故选：A. 3. 记为等差数列的前n项和.若，则（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】 ， 故选：C 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法求解. 【详解】解：由 ，解得 ， 所以函数 的定义域为 ， 因为，所以函数为奇函数，排除C项； 设，显然该函数单调递增，故当时，， 则当时，，故， 当时，，故， 当时，，故，故排除D项； 当时，，故，故排除B项. 故选：A. 5. 已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式计算得到，从而得到与的夹角. 【详解】 ，  ，且，，，  ， ，  ，  ，且 ，  ，即与的夹角为 故选: 6. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二倍角公式化简，再代入正切值求解 【详解】因为， 所以 故选： 7. 已知P为圆上的动点不在坐标轴上，过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定几何体，并表示体积公式，结合导数求解. 【详解】设，不妨设， 则过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周， 所得几何体为同底等高的一个圆柱体与圆锥的组合体，底面半径为，高为， 则所得几何体的体积为， 令，， 由，可得， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得最大值， 即时，取得最大值，此时， 所以线段的长度为 故选：C 8. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与0的大小关系分两种情况讨论，结合导数求解即可. 【详解】分以下两种情况讨论： ①当时，或， ， 则， （i）当时，，单调递减， 此时，； （ii）对于， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以； 由（i）（ii）得： ②当时，或， 则， ， （i）当时，，单调递增，所以， （ii）对于， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以； 由（i）（ii）得： 由①②得： 故选：B. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法： （1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值； （2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值； 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，P是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. C. 四面体的体积为定值 D. 存在点P，使得平面平面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可判断A；由线线垂直证线面垂直，再证线线垂直可判断B；根据直线与平面的位置关系可判断C；建系可判断D. 【详解】对于A，因为，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以，故B正确； 对于C，因为平面，， 所以与平面相交，即点P到平面的距离h不是定值， 因为，为定值，所以四面体的体积不为定值，故C错误； 对于D，以A为坐标原点，分别以AB，AD，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，，，，设， 则，，，， 设平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 若存在点P，使得平面平面， 则， 因为，所以无解， 所以不存在点P，使得平面平面，故D错误. 故选：AB. 10. 某同学两次实验得到的数据如下表.实验一所得的样本相关系数为，Y关于x的经验回归方程为；实验二所得的样本相关系数为，u关于v的经验回归方程为，下列结论中正确的是（ ） 实验一 x 2 3 4 5 6 y 12 10 9 7 4 实验二 v 4 6 8 10 12 u 8 10 11 13 16 参考公式：样本相关系数，. A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接根据已知条件及平均数，相关系数等的计算公式求解判断即可. 【详解】解：，，A正确； ，B正确； ，， ，C错误； ，， ， ， 所以，D正确. 故选： 11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线有4个顶点 C. 曲线与直线有4个交点 D. 曲线上动点到原点距离的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据新定义曲线的知识对选项进行分析，结合图象来确定正确答案. 【详解】对于A，将交换方程依然成立，所以曲线关于对称，A正确； 对于B，易得曲线有四条对称轴轴，轴，直线， 直线，共有8个顶点，B错误； 对于C，由得， 即， 可得， 对于方程，，  则方程有两不等实根，且方程的根不为0和3， 所以方程有4个不等实根， 从而曲线C与直线有4个交点，C正确； 对于D，由得， ， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为， 曲线C上动点P到原点距离的最小值，D错误； 故选：AC 【点睛】思路点睛： 遇到关于新定义曲线性质的问题，首先要明确新定义的内涵和要求.对于各选项，根据曲线方程的特点，分别从对称性、顶点个数、与直线的交点个数以及动点到定点距离最值等角度出发，运用相应的数学知识和方法进行分析.如判断对称性利用交换坐标法，求交点个数通过联立方程求解，求最值借助均值不等式等，逐步得出结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为_______，（用数字作答） 【答案】-80 【解析】 【分析】直接利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】在的展开式中，的系数为 故答案为：-80 13. 袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨对三个小球进行标记，记为1，2，3号，分析第一次取出的小球标号，求出相应的概率，即可得解. 【详解】不妨对三个小球进行标记，记为1，2，3号， 若第一次取出的是1号球，两次操作之后袋子里面只剩1号球； 若第一次取出的是2号球，则第二次操作时袋子中有1，2号球，若要让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为； 若第一次取出的是3号球，则第二次操作时袋子中有1，2，3号球，若让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为； 综上，袋中剩下2个小球的概率为. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的__________倍. 【答案】 【解析】 【分析】通过设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到一些关系式，再结合向量关系求出相关量，进而计算三角形面积并求出它们之间的比例关系. 【详解】设直线， 代入抛物线C方程，消元可得， 设，， 则，，， 由，得，，，则， 因为， ， 所以 ， 由抛物线定义得，， 则， 得， 所以， 即， 又， 则 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 （1）证明：； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）证明：由正弦定理及，知， 即， 所以， 所以或， 因为B，，所以，即 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件及正弦定理可得，结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式可得，最后结合B，C的范围可证得结论. （2）由已知条件及（1）可求出，然后利用正弦定理及二倍角公式化简所求式，进而得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，又为锐角三角形， 所以，， 故，所以，得， 故 16. 如图，在正三棱台中，， （1）若，证明：平面； （2）若三棱台的高为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图所示，过点作，交BC于点E， 易知四边形为平行四边形. 所以，，所以 又，所以，即故， 同理可得 又直线与相交，且直线与都在平面内， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，交BC于点E，进而求出相关边长，可证得，，进而可证得到结论； （2）以AB的中点O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.取线段中点F，求出平面与平面的法向量，进而可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以AB的中点O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴， 过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.取线段中点F， ，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 故 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 故， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为 17. 已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，，证明： 【答案】（1）当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）证明：由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，， 所以， ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性. （2）由函数有两个极值点，确定a的范围，代入函数值，构造函数，利用函数单调性求解. 【小问1详解】 由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. 【小问2详解】 略 18. 已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 （1）求曲线T的方程； （2）若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】（1） （2） （ⅰ）要证， 只要证线段的中点与线段的中点重合. 设，，其中， 由条件，直线l的斜率存在，设l的方程为 因为直线l与圆相切， 所以，即 联立，消去y并整理得， 所以， 从而线段的中点横坐标为 又直线与直线和交点的横坐标分别为和， 则线段中点的横坐标为， 所以 （ⅰⅰ）由条件，，即， 所以， 由题意知，， 所以 ， 即为定值 【解析】 【分析】（1）根据定义确定曲线T为双曲线，求解a，b，c即可； （2）（ⅰ）设直线方程与双曲线方程联立结合韦达定理线段的中点即为线段中点得解；（ⅱ）运用斜率公式表示，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 设圆，的交点为M，则，， 因为，所以， 故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线， 从而，，即，， 故曲线T的方程为 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点； （2）联立直线与曲线方程，得到一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题关系转化为韦达定理的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 正整数的划分在置换群及其表示理论研究中有着重要应用.设k，n为正整数.若正整数序列满足，且，，则称为n的一个k部划分.记为n的所有k部划分的个数. （1）计算：，； （2）证明：； （3）证明： 【答案】（1）， （2） 设，，，是n的一个k部划分.分两种情形讨论. ①若，则，，，为的一个部划分. 故满足的n的所有k部划分有 ②若，则，，，为的一个k部划分. 故满足的n的所有k部划分有个. 综上可知， （3） 由（2）可知， ， ， … ， 上述各式左右对应相加可得 ， 又因为， 所以 【解析】 【分析】（1）结合新定义直接求解； （2）等于1或者大于1分类讨论求解； （3）结合（2）中结论，利用累加法求解. 【小问1详解】 的所有3部划分为：，， 5的所有2部划分为：， 所以， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测 数学试题（合肥一模） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，若为实数，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 记为等差数列的前n项和.若，则（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 7. 已知P为圆上的动点不在坐标轴上，过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，P是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. C. 四面体的体积为定值 D. 存在点P，使得平面平面 10. 某同学两次实验得到的数据如下表.实验一所得的样本相关系数为，Y关于x的经验回归方程为；实验二所得的样本相关系数为，u关于v的经验回归方程为，下列结论中正确的是（ ） 实验一 x 2 3 4 5 6 y 12 10 9 7 4 实验二 v 4 6 8 10 12 u 8 10 11 13 16 参考公式：样本相关系数，. A. B. C. D. 11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线有4个顶点 C. 曲线与直线有4个交点 D. 曲线上动点到原点距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为_______，（用数字作答） 13. 袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为__________. 14. 已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的__________倍. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 （1）证明：； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 16. 如图，在正三棱台中，， （1）若，证明：平面； （2）若三棱台的高为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，，证明： 18. 已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 （1）求曲线T的方程； （2）若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 19. 正整数的划分在置换群及其表示理论研究中有着重要应用.设k，n为正整数.若正整数序列满足，且，，则称为n的一个k部划分.记为n的所有k部划分的个数. （1）计算：，； （2）证明：； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $