精品解析：广东省湛江市2024-2025学年高一上学期期末调研考试数学试卷

湛江市2024-2025学年度第一学期期末调研考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第一册． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案信息点．作答非选择题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；答案不能答在试卷上．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的一个零点所在区间为（    ） A. B. C. D. 3. 清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A. B. C. D. 8. 函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列等式成立的是（    ） A B. C. D. 10. 函数的部分图象如图，则（ ） A. 最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 在上有2个零点 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数单调递增区间为 C. 当时，方程有三个不等实根 D. 当且仅当时，方程有两个不等实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 命题，则是_____． 13. 已知，则____________. 14. 若，满足对任意，都有成立，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 （1）计算； （2）计算； （3）已知，求式子的值． 16. 已知． （1）若，求的值； （2）若，且，求实数的值． 17. （1）已知，求最大值； （2）若正数x，y满足，求的最小值. 18. 已知函数的最小正周期为，其中． （1）求的值； （2）当时，求函数的单调区间； （3）求函数在区间上值域． 19. 已知函数的定义域，且对任意，当时，恒成立，则称为上的函数. （1）若定义在上的函数为减函数，判断是否为上的函数，并说明理由； （2）若为上的函数，且，求不等式的解集； （3）若为上的函数，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湛江市2024-2025学年度第一学期期末调研考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第一册． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案信息点．作答非选择题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；答案不能答在试卷上．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解． 【详解】由已知， 故选：B． 2. 函数的一个零点所在区间为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题易得,结合函数零点存在性定理可得到答案. 【详解】由题意知， ， ， ， ， ， 因为， 所以是函数的零点所在的一个区间. 故选：C. 3. 清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】少年强则国强；国强不一定少年强， 所以“国强”是“少年强”的必要条件. 故选：B 4. 函数图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值即可判断. 【详解】的定义域为， ，为奇函数，排除C、D； ，排除A. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式，可得，计算化简，即可得答案. 【详解】由，得， 所以． 故选：B 6. 已知函数，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由定义法得到函数在上单调递增，然后求自变量的范围，从而得到正确结论. 【详解】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 7. 某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，时，求时的值. 【详解】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，， 则再经过6年，，. 故选：D 8. 函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数过定点求出定点坐标，再利用常值代换法，借助于基本不等式即可求得. 【详解】由的图象恒过定点，可得，，则； 因， 当且仅当时等号成立， 由，可解得， 故当时，的最小值为8. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列等式成立的是（    ） A. B. C D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用公式对每个选项进行三角恒等变换，计算结果，即可判断. 【详解】因为，A项正确； ，B项正确； ，C项错误； ，D项正确. 故选：ABD. 10. 函数的部分图象如图，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 在上有2个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用五点法确定函数的解析式，然后根据正弦函数性质判断各选项． 【详解】由题意，，，又，∴， 由五点法，， 所以， 最小正周期为，A正确； ，B正确； 时，，在此区间是递减，C错； 结合选项B和周期知，D正确， 故选：ABD． 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数单调递增区间为 C. 当时，方程有三个不等实根 D. 当且仅当时，方程有两个不等实根 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的解析式求出，再求出即可判断A；根据函数的图象，利用数形结合的数学思想即可判断B、C、D. 【详解】A：，所以，故A正确； B：作出函数的图象，如图，由图象可知，函数在和上单调递增， 但不连续，所以不能用“”的符号，故B错误； C：由图象可知，当时，函数与的图象有3个交点，方程有3个不等的实根，故C正确； D：由图象可知，当或时，函数与的图象有2个交点，方程有2个不等的实根，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 命题，则是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得结果. 【详解】因为命题为全称量词命题，则是. 故答案为：． 13. 已知，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】分子分母同除以，求解即可. 【详解】由， 解得. 故答案为：. 14. 若，满足对任意，都有成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在上是增函数，则每一段都是增函数，且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解. 【详解】函数的定义域为， 对任意，都有成立， 则函数是上的单调递增函数， 解得， 的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算； （2）计算； （3）已知，求式子的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算的性质进行求解即可； （2）根据对数的运算性质进行求解即可； （3）运用完全平方公式，结合指数运算的性质进行求解即可. 【详解】（1） ； （2），， ； （3），，， 且， ，. 16. 已知． （1）若，求的值； （2）若，且，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，平方化简可得，计算即可得答案. （2）由题意得，可得或，根据的范围，可求得的值，代入即可得答案. 【小问1详解】 由，可得 所以，即， 所以 【小问2详解】 由，可得， 解得或， 而，所以，解得， 所以． 17. （1）已知，求的最大值； （2）若正数x，y满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求得正确答案. （2）先化简已知条件，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）由于，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. （2）依题意，正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以最小值为. 18. 已知函数的最小正周期为，其中． （1）求的值； （2）当时，求函数的单调区间； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2）函数的单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用求得. （2）根据三角函数单调区间的求法，求得在区间上的单调区间. （3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，，所以，可得， 【小问2详解】 由（1）可知， 当，有，， 当，可得， 故当时，函数单调减区间为，单调增区间为． 【小问3详解】 当，有，， 可得， 有， 故函数在区间上的值域为． 19. 已知函数的定义域，且对任意，当时，恒成立，则称为上的函数. （1）若定义在上的函数为减函数，判断是否为上的函数，并说明理由； （2）若为上的函数，且，求不等式的解集； （3）若为上的函数，求的取值范围. 【答案】（1）为上的函数，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据减函数确定，，得到答案. （2）变换得到，构造新函数，确定函数单调递减，得到，得到，解得答案. （3）确定在上为减函数，换元，得到，解得答案. 【小问1详解】 设任意，且，因为定义在上的函数为减函数， 所以，所以. 因为，且，所以，则， 所以恒成立，故为上的函数. 【小问2详解】 ，得， 为上的函数，故在上为减函数. 因为，所以. 因为，所以，即， 所以，解得， 则的解集为. 【小问3详解】 为上的函数， 所以在上为减函数. 设，则在上为减函数， 则，即，因为为上的增函数，且，所以， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$