2025年中考数学复习：锐角三角函数

2025年中考数学复习：锐角三角函数 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•蜀山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝3，AB＝5，则cos∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•本溪期末）一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝20°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角度数为（　　） A．160° B．120° C．110° D．90° 3．（2024秋•莱阳市期末）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A．点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和C之间的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 4．（2025•浦东新区一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在4×4的网格中，点A、B、C都在格点上，那么∠BAC的正切值是（　　） A． B． C．2 D． 5．（2024秋•永春县期末）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL为（　　）km． A．8sin53° B．8cos53° C． D．8tan53° 6．（2025•金山区一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024秋•碑林区期末）周末许老师参加骑行爬山活动，他沿着坡度为的山坡上坡骑行前进了1800m，则许老师所在的位置升高了（　　） A．900m B．1000m C． D． 8．（2024秋•灞桥区校级期末）将Rt△ABC的边长都扩大为原来的3倍，则cosA的值（　　） A．变大 B．不变 C．变小 D．无法判断 9．（2024秋•灞桥区校级期末）如图，△ABC的顶点在正方形网格的交点上，则tanC的值为（　　） A．1 B． C． D． 10．（2024秋•揭阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，一个山坡的坡度，则坡角α的度数为　 　． 12．（2024秋•梁溪区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinA的值为 　 　． 13．（2024秋•盐湖区校级期末）如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为α，则sinα的值是　 　． 14．（2025•浦东新区一模）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度i＝ 　 　． 15．（2025•嘉定区一模）如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高AB＝6m，坡面AC的坡度i＝1：，则至少需要红地毯　 　m． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•溧阳市期末）在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：tan60°＝ 　 　，tan30°＝ 　 　； 发现结论：tanα 　 　（填“＝”或“≠”）； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形：于是延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，所以得到，即转化为求∠D的正切值，那么 　 　； （3）在△ABC中，∠A为锐角，，∠B＝2∠A，．求S△ABC的值． 17．（2024秋•本溪期末）如图1，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图2，是其侧面示意图，OC⊥MN，AB可绕点O旋转，O是AB的中点，测得AB＝16厘米． （1）正常放置时，∠AOC＝30°，求此时点A到OC的距离； （2）如图3，AB绕点O逆时针旋转到A1B1的位置，此时∠A1OC＝53°，求点A在竖直方向上升的高度（结果精确0.1厘米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，1.73） 18．（2024秋•拱墅区期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座AB放置在水平桌面上，通过调节点C，点D处的角度，控制托盘EF的位置．电脑机身和屏幕分别用线段EG，GH表示，CD＝16cm，EG＝GH＝21cm，ED＝5cm． （1）若∠ACD＝60°，∠CDG＝90°． ①为使屏幕与桌面保持垂直，求∠EGH的度数． ②求点H到桌面的最大距离（不计材料的厚度）． （2）在（1）的情况下，保持∠CDG＝90°，并逐渐减小∠ACD的度数．圆圆同学说：“点G到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点G到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由． 19．（2025•浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB．点D是边AB的中点，过点D作CD的垂线，与边BC相交于点E． （1）求线段CE的长； （2）求sin∠BDE的值． 20．（2025•浦东新区一模）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 测量项目 CD α β 方案一 10m 12° 11.5° 方案二 1.3m 12° 11.7° 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰AB的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比角度 sin cos tan cot 12° 0.208 0.978 0.213 4.705 11.5° 0.199 0.980 0.204 4.915 11.7° 0.203 0.979 0.207 4.829 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：　 　． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D D A A B B B 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•蜀山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝3，AB＝5，则cos∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义；余角和补角；勾股定理．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求得BC的长度，然后根据同角的余角相等求得∠B＝∠ACD，再利用锐角三角函数定义的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC4，∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴cos∠ACD＝cos∠B， 故选：B． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，余角和补角，勾股定理，结合已知条件求得BC的长度及∠ACD＝∠B是解题的关键． 2．（2024秋•本溪期末）一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝20°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角度数为（　　） A．160° B．120° C．110° D．90° 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到∠3＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠α+∠1＝90°，求得∠2＝∠1＝90°﹣20°＝70°，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图， 由题意可得： ∠3＝90°， ∵重力G的方向竖直向下， ∴∠α+∠1＝90°， ∴∠2＝∠1＝90°﹣20°＝70°， ∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠β+∠2＝180°， ∴∠β＝180°﹣∠2＝180°﹣70°＝110°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，正确进行计算是解题关键． 3．（2024秋•莱阳市期末）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A．点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和C之间的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，如图，根据方向角的定义和平角的定义可计算出∠BAC＝75°，再计算出∠CAH＝30°，接着在Rt△ABH中利用等腰直角三角形的性质计算出AH＝BH＝3km，然后在Rt△ACH中利用∠CAH＝30°计算出CHkm，最后计算BH+CH即可． 【解答】解：过A点作AH⊥BC于H点，如图， ∵点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向， ∴∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°， ∵∠ABC＝90°，∠AHB＝90°， ∴∠BAH＝45°， ∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°， 在Rt△ABH中，∵∠B＝45°， ∴AH＝BHAB33（km）， 在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°， ∴CHAH3（km）， ∴BC＝BH+CH＝（3）km． 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角，然后运用解直角三角形解决问题． 4．（2025•浦东新区一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在4×4的网格中，点A、B、C都在格点上，那么∠BAC的正切值是（　　） A． B． C．2 D． 【考点】解直角三角形．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据所给网格，连接BC得出BC与AC垂直，再结合正切的定义即可解决问题． 【解答】解：连接BC，如图所示， 则BC⊥AC． 令小正方形网格的边长为a， 则由勾股定理得， BC； AC． 在Rt△ABC中， tan∠BAC． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，通过连接BC构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 5．（2024秋•永春县期末）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL为（　　）km． A．8sin53° B．8cos53° C． D．8tan53° 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据题意可得：AL⊥LR，然后在Rt△ALR中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AL⊥LR， 在Rt△ALR中，LR＝8km，∠ARL＝53°， ∴AL＝LR•tan53°＝8tan53°（km）， ∴这枚火箭此时的高度AL为8tan53°km， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2025•金山区一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求得BC的长度，然后利用锐角三角函数定义的定义逐项判断即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC， sinB，则A符合题意； cosB，则B不符合题意； cotB，则C不符合题意； tanB，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键． 7．（2024秋•碑林区期末）周末许老师参加骑行爬山活动，他沿着坡度为的山坡上坡骑行前进了1800m，则许老师所在的位置升高了（　　） A．900m B．1000m C． D． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据坡度与坡角的关系求出坡角，再根据含30°角的直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：设斜坡的坡角为α， ∵坡度为1：， ∴tanα， ∴α＝30°， ∴许老师所在的位置上升的高度为：1800＝900（m）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确理解坡度与坡角的关系是解题的关键． 8．（2024秋•灞桥区校级期末）将Rt△ABC的边长都扩大为原来的3倍，则cosA的值（　　） A．变大 B．不变 C．变小 D．无法判断 【考点】锐角三角函数的定义．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；模型思想． 【答案】B 【分析】利用相似变换可判断∠A没有发生变化，则根据余弦的定义得到∠A的余弦值不变． 【解答】解：∵Rt△ABC的边长都扩大为原来的3倍， ∴∠A没有发生变化， ∴cosA的值不变． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解余弦的定义是解决问题的关键． 9．（2024秋•灞桥区校级期末）如图，△ABC的顶点在正方形网格的交点上，则tanC的值为（　　） A．1 B． C． D． 【考点】解直角三角形．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝6， ∴tanC， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 10．（2024秋•揭阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【考点】同角三角函数的关系．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题意设BC＝4x，AB＝5x，根据勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：由条件可知， 设BC＝4x，AB＝5x， ， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，一个山坡的坡度，则坡角α的度数为　30°　． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】30°． 【分析】根据坡度＝坡角的正切值计算即可． 【解答】解：根据坡度＝坡角的正切值计算如下： 由题意得， ∴∠α＝30° 故答案为：30°． 【点评】本题考查了坡度的定义，特殊角的三角函数值，掌握坡度＝坡角的正切值是解题关键． 12．（2024秋•梁溪区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinA的值为 　　． 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】． 【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后根据正弦的定义即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∴sinA， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键． 13．（2024秋•盐湖区校级期末）如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为α，则sinα的值是　　． 【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的证明．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】． 【分析】根据“弦图”已知数据求得每个直角三角形的斜边长为13，进而根据正弦的定义，即可求解． 【解答】解：在直角三角形中，两条直角边长分别为5，12， 由勾股定理得：斜边长为， ∵直角三角形的较小的锐角为α， ∴边长为5所对的直角三角形的锐角， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角形函数的定义． 14．（2025•浦东新区一模）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度i＝ 　1：　． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】1：． 【分析】由勾股定理可得此人行走的水平距离，进而根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比解答． 【解答】解：由勾股定理得此人行走的水平距离为， ∴那么这个斜坡的坡度i＝1：． 故答案为：1：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解答本题的关键． 15．（2025•嘉定区一模）如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高AB＝6m，坡面AC的坡度i＝1：，则至少需要红地毯　14　m． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【专题】应用题． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据坡面AC的坡度i＝1：，求出BC的长度，从而利用平移的知识可得地毯的长度＝AB+BC，继而得出答案． 【解答】解：∵AB＝6m，坡面AC的坡度i＝1：， ∴BC＝68m， 故可得地毯的长度＝AB+BC＝6+8＝14m． 故答案为：14． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，利用坡度求出BC的长度是解答本题的关键，另外要掌握平移的运用． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•溧阳市期末）在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：tan60°＝ 　　，tan30°＝ 　　； 发现结论：tanα 　≠　（填“＝”或“≠”）； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形：于是延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，所以得到，即转化为求∠D的正切值，那么 　　； （3）在△ABC中，∠A为锐角，，∠B＝2∠A，．求S△ABC的值． 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】（1）；；≠； （2）； （3）6． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可得出答案，根据tan60°≠2tan30°即可得出答案； （2）延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，则∠D＝1/2∠ABC，先求出BD＝AB＝5，则CD＝BC+BD＝9，然后在Rt△ACD中，根据正切函数的定义tanD，由此可得的值； （3）过点C作CD⊥AB于点D，在DA上截取DE＝DB，连接CE，则CE＝CB，再证明∠A＝∠ECA得AE＝CE，在Rt△ACD中，tanA，可设CD＝a，AD＝3a，则DE＝3a﹣AE，DE＝DB＝3a﹣AE，AB＝6a﹣AE，由此得AE＝CE，DE，在Rt△CDE中，由勾股定理可求出，然后根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积． 【解答】解：（1）根据特殊角的三角函数值得：tan60°，tan30°， ∵tan60°≠2tan30°， ∴； 故答案为：；；≠； （2）延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，如图1所示： ∴∠D＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠D， ∴∠D∠ABC， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB＝√5， ∴BD＝AB＝5， ∴CD＝BC+BD＝4+5＝9， 在Rt△ACD中，tanD， ∴， 故答案为：； （3）过点C作CD⊥AB于点D，在DA上截取DE＝DB，连接CE，如图2所示： ∴CD是线段BE的垂直平分线， ∴CE＝CB， ∴∠B＝∠CED， ∵∠CED＝∠A+∠ECA，∠B＝2∠A， ∴2∠A＝∠A+∠ECA， ∴∠A＝∠ECA， ∴AE＝CE， 在Rt△ACD中，tanA， ∴设CD＝a，AD＝3a， ∴DE＝AD﹣AE＝3a﹣AE， ∴DE＝DB＝3a﹣AE， ∴AB＝AE+DE+BE＝AE+3a﹣AE+3a﹣AE＝6a﹣AE， ∵AB， ∴， ∴AE＝CE， ∴DE＝3a﹣AE， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2＝CD2+DE2， ∴， 整理得：， 解得：，a＝0（不合题意，舍去）， ∴CD， ∴S△ABCAB•CD6． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用勾股定理进行运算是解决问题的关键． 17．（2024秋•本溪期末）如图1，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图2，是其侧面示意图，OC⊥MN，AB可绕点O旋转，O是AB的中点，测得AB＝16厘米． （1）正常放置时，∠AOC＝30°，求此时点A到OC的距离； （2）如图3，AB绕点O逆时针旋转到A1B1的位置，此时∠A1OC＝53°，求点A在竖直方向上升的高度（结果精确0.1厘米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，1.73） 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】（1）4cm； （2）2.1厘米． 【分析】（1）作AD⊥OC于点D，根据已知易得：OA＝OB＝8cm，然后在Rt△AOD中，利用锐角三角函数求出AD＝AOsin∠AOC的长； （2）作A1E⊥OC于点E，根据在Rt△A1OE中，可求OE＝OA1•cos∠A1OE＝4.8cm，然后在Rt△AOD中，，即可解答． 【解答】解：（1）作AD⊥OC于点D， ∴∠ADO＝90°． 由题意可得： OA＝OB8cm． 在Rt△AOD中，∠ADO＝90°，∠AOC＝30°， ∵， ∴． （2）作A1E⊥OC于点E， ∴∠A1EO＝90°． 在Rt△A1OE中，∠A1EO＝90°，∠A1OC＝53°， ∵， 又∵OA＝OA1， ∴OE＝OA1•cos∠A1OE≈8×0.6＝4.8cm． 在Rt△AOD中， ∵， ∴， ∴． 答：点A在竖直方向上升的高度约为2.1厘米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2024秋•拱墅区期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座AB放置在水平桌面上，通过调节点C，点D处的角度，控制托盘EF的位置．电脑机身和屏幕分别用线段EG，GH表示，CD＝16cm，EG＝GH＝21cm，ED＝5cm． （1）若∠ACD＝60°，∠CDG＝90°． ①为使屏幕与桌面保持垂直，求∠EGH的度数． ②求点H到桌面的最大距离（不计材料的厚度）． （2）在（1）的情况下，保持∠CDG＝90°，并逐渐减小∠ACD的度数．圆圆同学说：“点G到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点G到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由． 【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用．版权所有 【专题】数形结合；解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】（1）①∠EGH＝120°； ②点H到桌面的最大距离为（29+8）cm； （2）点点同学说得对，理由见解答部分． 【分析】（1）①易得CDE＝90°，∠BMG＝90°，根据四边形的外角和是360°可得∠EGH的度数； ②作DN⊥GM于点N，DH⊥AB于点H，分别求得GN和DH的长，再加上HG的长度，即为点H到桌面的最大距离； （2）判断出点G到桌面的距离的表示方法，取几个特殊值代入可得点G到桌面的距离，即可判断哪位同学的说法正确． 【解答】解：（1）①延长HG交AB于点M，则∠BMG＝90°， ∵∠CDG＝90°， ∴CDE＝90°， ∵四边形的外角和为360°，∠ACD＝60°， ∴∠EGH＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°； ②作DN⊥GM于点N，DH⊥AB于点H， ∴∠DNG＝90°，∠DHC＝90°， ∵∠ACD＝60°，CD＝16cm， ∴DH＝CD•sin60°＝8（cm）， ∵EG＝21cm，ED＝5cm， ∴DG＝21﹣5＝16（cm）， ∵∠EGH＝120°， ∴∠DGN＝60°， ∴GN＝16×cos60°＝8（cm）， ∵GH＝21cm， ∴点H到桌面的最大距离为：21+8+8（29+8）cm， 答：点H到桌面的最大距离为（29+8）cm； （2）点点同学的说法正确．理由如下： 设∠ACD＝α，则∠DGH＝180°﹣α， ∴∠DGN＝α， ∴点G到桌面的距离为：GN+DH＝16×cosα+16×sinα， 当∠ACD＝60°时，点G到桌面的距离为（8+8）cm， 当∠ACD＝45°时，点G到桌面的距离为：16×cos45°+16×sin45°＝16（cm）， 当∠ACD＝30°时，点G到桌面的距离为：16×cos30°+16×sin30°＝（88）cm， ∵8+816， ∴点G到桌面的距离先变大，后变小． ∴点点同学说得对． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所求的线段合理分割，整理到直角三角形中，是解决本题的关键． 19．（2025•浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB．点D是边AB的中点，过点D作CD的垂线，与边BC相交于点E． （1）求线段CE的长； （2）求sin∠BDE的值． 【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定理求出CE； （2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝10，cosB， ∴， ∴AB＝10， ∴BC＝8， ∴AC6， 又∵D为AB中点， ∴AD＝BD＝CDAB＝5， ∴∠DCB＝∠B， ∴cos∠DCB，cos∠B， ∴， ∴CE； （2）作EF⊥AB交AB于F， 由（1）知CE， 则BE＝8，DE， 设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x， 在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝（）2﹣（5﹣x）2， 在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝（）2﹣x2， ∴（5﹣x）2x2， 解得x， ∴EF2＝（）2﹣（）2， EF， ∴sin∠BDE． 【点评】本题主要考查解直角三角形和斜边上的中线，关键是直角三角形中，正弦、余弦的应用． 20．（2025•浦东新区一模）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 测量项目 CD α β 方案一 10m 12° 11.5° 方案二 1.3m 12° 11.7° 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰AB的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比角度 sin cos tan cot 12° 0.208 0.978 0.213 4.705 11.5° 0.199 0.980 0.204 4.915 11.7° 0.203 0.979 0.207 4.829 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：　测量有误差（答案不唯一）　． 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【专题】数形结合；运算能力；应用意识． 【答案】（1）方案一，AB≈48.3米；方案二：AB≈46.2米； （2）测量有误差（答案不唯一）． 【分析】（1）选择方案一，设BC长x米，根据α的正切值表示出AB的长，进而根据β的正切值为相等关系列出方程求解即可；选择方案二，设BC为x米，根据β的正切值表示出AE的长，进而根据α的正切值为相等关系列出方程求解即可； （2）可从测量的角度出发回答问题． 【解答】解：（1）选择方案一： 由题意得：AB⊥BD， ∴∠B＝90°， 设BC长x米，则BD长（x+10）米， ∵∠α＝12°， ∴AB＝x•tanα≈0.213x米， ∵∠β＝11.5°， ∴（x+10）•tan11.5°＝0.213x， 即0.204（x+10）＝0.213x， 解得：x≈226.67， ∴AB≈48.3米； 选择方案二： 由题意得：∠AED＝∠ABC＝90°． 设BC为x米，则DE为x米． ∵β＝11.7°， ∴AE＝x•tanβ≈0.207x米， ∵α＝12°， ∴AB＝x•tanα≈0.213x米， 由题意得：BE＝CD＝1.3米， ∴0.207x+1.3＝0.213x， 解得：x≈216.67， ∴AB≈46.2米． （2）测量有误差（答案不唯一）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．应用所给角的正切值表示出相应线段的长度或得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键． 考点卡片 1．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 2．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 3．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 4．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 5．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 6．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 7．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 8．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 9．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA或sinA＝tanA•cosA． 10．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 11．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 12．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 13．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 14．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$