2025年中考数学复习：反比例函数

2025年中考数学复习：反比例函数 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•滨海新区校级期末）已知函数的图象上有三点，则y1，y2，y3的大小关系（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 2．（2024秋•琼中县期末）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　　） A．等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 B．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 C．等式两边可以交换 D．相等关系可以传递 3．（2024秋•礼县期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C．y＝5x2 D． 4．（2025•浦东新区一模）下列四个函数中，图象经过原点的是（　　） A． B． C．y＝x2+2x D．y＝（x+1）2 5．（2024秋•长沙期末）下列关系式中的两个量成反比例的是（　　） A．圆的面积与它的半径 B．正方形的周长与它的边长 C．路程一定时，速度与时间 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 6．（2024秋•河西区期末）下列函数中，当x＞0时，y随着x的增大而增大的是（　　） A．y＝﹣x﹣3 B． C．y＝x2﹣3 D．y＝﹣x2﹣3 7．（2024秋•普陀区期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（　　） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为﹣10 C．当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大 D．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣5，y2）在该函数的图象上，那么y1＞y2 8．（2024秋•贵阳期末）如图，过点P（﹣1，0）作两条直线，分别交函数，的图象于A，B两点，连接AB．若AB∥x轴，则△ABP的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024秋•天府新区期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象分布在第一、三象限 B．图象经过点（1，1） C．过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 10．（2024秋•浦东新区校级期末）已知函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么它和函数y＝﹣kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•本溪期末）如图所示在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，A（﹣8，4），点B和点D分别在x轴和y轴上，CD＝5，反比例函数过点C，则反比例函数解析式为　 　． 12．（2024秋•郑州校级期末）如图，点A是反比例函数y（x＞0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，且△ABP的面积为6，则k＝　 　． 13．（2024秋•雁塔区校级期末）若直线y＝﹣2x的图象与反比例函数的图象交于（x1，y1），（x2，y2）两点，且（y2﹣y1）（x1﹣x2）＝16，则k＝　 　． 14．（2024秋•秦都区期末）如图，已知平行四边形的顶点B、C、D分别在y轴和x轴上，点A在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，若OB＝2OC＝4，OD＝5，则k的值为 　 　． 15．（2024秋•天府新区期末）如图，直线AB与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点M且满足，连接AO并延长交反比例函数图象于点C，连接BC，若△ABC的面积为24，则k的值为 　 　． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•集美区期末）为提升居住品质，某小区计划对中庭进行改造，物业规划出一块边长分别是a米，b米的长方形空地，建设羽毛球场和半圆形儿童乐园两个功能区，剩余部分种植绿植．设计师给出的方案如图所示，羽毛球场的边长分别是m米，n米，儿童乐园的直径是b米． （1）若该空地的面积为300平方米，判断a，b是否成反比例关系； （2）小区业主要求该空地改造后有一半以上面积是功能区，若设计师规划的尺寸满足：，，．你认为该设计方案是否符合要求？若符合，请说明理由；若不符合，请给出一个符合要求的设计方案． 17．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，矩形ABEF与反比例函数的图象相交于C，D两点，点C的坐标（m，2），点D的坐标为（1，m+3）． （1）求反比例函数的表达式； （2）若AB＝9，在反比例函数图象上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得△PFC的面积是矩形ABEF面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2024秋•香洲区期末）如图，已知点P是反比例函数图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数图象上点A、点B，连接OA，OB． （1）若点P的横坐标为1，则△PAB的面积为 　 　，△OAB的面积为 　 　； （2）随着点P在反比例函数图象上运动时，△OAB的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出△OAB的面积． 19．（2024秋•太仓市期末）利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式：（m0+x）•l＝M•（a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 如图，秤盘与零刻度线的距离AC为3厘米，零刻线与末刻线的距离CD为50厘米，秤盘质量m0＝10克，秤砣质量M＝50克．某兴趣小组利用等式（m0+x）•l＝M•（a+y）制作简易杆秤． （1）确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l，a的值； （2）确定杆秤的最大称重质量：根据（1）中l，a的值，求y关于x的函数解析式，并求杆秤的最大称重质量（秤砣移至末刻线D处，秤得的物体质量）； （3）制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段CD平均分成10份（格），标注刻度值，则点E处应标注的刻度值为 　 　克． （4）该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了60克的秤砣进行称重，称得重物的质量为500克，则该重物的实际质量为 　 　克． 20．（2024秋•温州期末）【项目】小车沿斜面运动中路程s与时间t的关系． 图1是小车从斜面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米．小温和小州共同填写了如下实验记录表． t（秒） 0 2 3 …… s（分米） 0 4 9 …… （1）小温发现，路程s与时间t可采用一次函数、反比例函数、二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图2中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出s关于t的函数表达式． （2）若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个5秒和第二个5秒通过的路程之差． （3）小州说：把单位时间设为1秒，还可以研究第t秒内通过的路程s′（分米）与第t秒之间的函数关系． 请写出一个路程s′（分米）与第t秒之间的结论，并通过计算说明理由． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C C C D B C A 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•滨海新区校级期末）已知函数的图象上有三点，则y1，y2，y3的大小关系（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断． 【解答】解：∵k2+1＞0， ∴函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∴点在第三象限，B（1，y2），C（4，y3）在第一象限， ∴y1＜0＜y3＜y2． 故选：B． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解答此题的关键． 2．（2024秋•琼中县期末）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　　） A．等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 B．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 C．等式两边可以交换 D．相等关系可以传递 【考点】反比例函数的应用；有理数的除法．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题目中的变形，可知依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 【解答】解：去分母得IR＝U，那么其变形的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的应用、等式的性质，解答本题的关键是明确等式的性质二，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 3．（2024秋•礼县期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C．y＝5x2 D． 【考点】反比例函数的定义．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【解答】解：A．符合反比例函数的定义，符合题意； B．不符合反比例函数的定义，不符合题意； C．该函数属于二次函数，不符合题意； D．该函数不属于反比例函数，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知“一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数”是解题关键． 4．（2025•浦东新区一模）下列四个函数中，图象经过原点的是（　　） A． B． C．y＝x2+2x D．y＝（x+1）2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】C 【分析】令x＝0，函数值也等于0，则图象经过原点． 【解答】解：A、令x＝0，则y，故不符合题意； B、x＝0无意义，故不符合题意； C、x＝0，则y＝0，故符合题意； D、x＝0，则y＝1，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查函数图象上的点，掌握函数图象上的点的坐标适合函数解析式是解题的关键． 5．（2024秋•长沙期末）下列关系式中的两个量成反比例的是（　　） A．圆的面积与它的半径 B．正方形的周长与它的边长 C．路程一定时，速度与时间 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 【考点】反比例函数的定义．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；符号意识；应用意识． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义解答即可． 【解答】解：A、圆的面积＝π×半径2，不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、正方形的周长＝边长×4，不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、路程s一定时，速度v和时间t的关系s＝vt，是反比例函数，故本选项符合题意； D、长方形一条a边确定时，周长s与另一边b的关系s＝2×（a+b），不是反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．要注意：反比例函数的判断：判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 6．（2024秋•河西区期末）下列函数中，当x＞0时，y随着x的增大而增大的是（　　） A．y＝﹣x﹣3 B． C．y＝x2﹣3 D．y＝﹣x2﹣3 【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】C 【分析】分别根据反比例函数的性质，一次函数的性质及二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、一次函数y＝﹣x﹣3中， ∵k＝﹣1＜0， ∴y随着x的增大而减小，不符合题意； B、反比例函数y中， ∵k＝3＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一项象限内y随x的增大而减小，不符合题意； C、二次函数y＝x2﹣3中， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，﹣3）， ∴当x＞0时，y随着x的增大而增大，符合题意； D、二次函数y＝﹣x2﹣3中， ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（0，﹣3）， ∴当x＞0时，y随着x的增大而减小，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，一次函数的性质及二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 7．（2024秋•普陀区期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（　　） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为﹣10 C．当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大 D．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣5，y2）在该函数的图象上，那么y1＞y2 【考点】反比例函数的性质；反比例函数的定义．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】D 【分析】根据k＜0，利用反比例函数的性质一一判断即可． 【解答】解：∵y， ∴k0， ∴函数图象在二，四象限，在每个象限y随x的增大而增大，故选项A，B，C错误，选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的性质，反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 8．（2024秋•贵阳期末）如图，过点P（﹣1，0）作两条直线，分别交函数，的图象于A，B两点，连接AB．若AB∥x轴，则△ABP的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的图象；反比例函数的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵AB∥x轴， ∴S△AOB＝S△PAB2． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2024秋•天府新区期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象分布在第一、三象限 B．图象经过点（1，1） C．过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【解答】解：A、反比例函数k＝﹣1，图象分布在第二、四象限，选项说法错误，不符合题意； B、当x＝1时，y＝﹣1≠1，故选项说法错误，不符合题意； C、过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1，选项说法正确，符合题意； D、当x1＜0＜x2时，y1＞y2，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键． 10．（2024秋•浦东新区校级期末）已知函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么它和函数y＝﹣kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的性质；正比例函数的图象；正比例函数的性质．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】A 【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，在确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【解答】解：∵函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴k＞0， ∴双曲线在第一、三象限， ∴函数y＝﹣kx的图象经过第二、四象限， 故选：A． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，图象所在象限受k的影响． 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•本溪期末）如图所示在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，A（﹣8，4），点B和点D分别在x轴和y轴上，CD＝5，反比例函数过点C，则反比例函数解析式为　y　． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】如图，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，过C作CH⊥x轴于H，设BC与y轴交于G，得到AE＝4，OE＝8，根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，∠ABC＝∠DCB＝90°，根据勾股定理得到，求得OB＝5，根据全等三角形的性质得到CF＝BE＝3，根据矩形的性质得到OH＝CF＝3，求得BH＝8，根据相似三角形的性质得到C（3，6），设反比例函数解析式为，将C（3，6）代入即可得解． 【解答】解：如图，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，过C作CH⊥x轴于H，设BC与y轴交于G， 由条件可知AE＝4，OE＝8， 由条件可知CD＝AB＝5，∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴， ∴OB＝OE﹣BE＝5， ∵∠BOG＝∠GCD＝90°，∠CGD＝∠BGO， ∴∠OBG＝∠CDG， ∴∠BAE＝∠OBG＝∠CDF， ∵∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴△CDF≌△BAE（AAS）， ∴CF＝BE＝3， ∵∠CHO＝∠HOF＝∠CFO＝90°， ∴四边形CHOF是矩形， ∴OH＝CF＝3， ∴BH＝8， ∵∠CHB＝∠AEB＝90°，∠CBH＝∠BAE， ∴△BCH∽△ABE， ∴， ∴， ∴CH＝6， ∴C（3，6）， 设反比例函数解析式为， ∴k＝18， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 12．（2024秋•郑州校级期末）如图，点A是反比例函数y（x＞0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，且△ABP的面积为6，则k＝　﹣12　． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】﹣12． 【分析】由AB⊥y轴，则AB∥OP，故S△ABO＝S△ABP，然后根据比例系数的几何意义即可求解． 【解答】解：由条件可知AB∥OP， ∴S△ABO＝S△ABP|k|＝6， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 13．（2024秋•雁塔区校级期末）若直线y＝﹣2x的图象与反比例函数的图象交于（x1，y1），（x2，y2）两点，且（y2﹣y1）（x1﹣x2）＝16，则k＝　﹣4　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】﹣4． 【分析】由直线y＝﹣2x与反比例函数的图象都关于原点对称，可得（x1，y1），（x2，y2）两点也关于原点对称，则有x2＝﹣x1，y2＝﹣y1，再代入（y2﹣y1）（x1﹣x2）＝16整理得x1y1＝﹣4，再利用反比例函数的解析式即可求解． 【解答】解：∵直线y＝﹣2x的图象与反比例函数的图象都关于原点对称，且交于（x1，y1），（x2，y2）两点， ∴x2＝﹣x1，y2＝﹣y1， 由条件可知（﹣y1﹣y1）（x1+x1）＝16， 整理得：x1y1＝﹣4， ∵（x1，y1）在反比例函数的图象上， ∴k＝x1y1＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 14．（2024秋•秦都区期末）如图，已知平行四边形的顶点B、C、D分别在y轴和x轴上，点A在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，若OB＝2OC＝4，OD＝5，则k的值为 　12　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】12． 【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD＝OD﹣OC＝3，进而可得A（3，4），将其代入即可求出k的值． 【解答】解：由条件可知OC＝2，CD＝OD﹣OC＝3， ∵平行四边形的顶点B、C、D分别在y轴和x轴上， ∴AB＝CD＝OD﹣OC＝3，∠ABO＝∠BOC＝90°， ∴A（3，4）， 把A（3，4）代入，得： ， 解得：k＝12， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，两直线平行同旁内角互补，求反比例函数解析式，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键． 15．（2024秋•天府新区期末）如图，直线AB与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点M且满足，连接AO并延长交反比例函数图象于点C，连接BC，若△ABC的面积为24，则k的值为 　16　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】16． 【分析】分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为E，F，利用相似三角形的性质得出AE＝2BF，据此表示出点A和点B的坐标，进而表示出点C的坐标，最后利用△ABC的面积得出△BCO的面积，并据此列出等式即可解决问题． 【解答】解：分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为E，F， 则△AEM∽△BFM． 又因为， 所以， 即AE＝2BF． 令点B的坐标为（）， 则点A的坐标为（）． 因为A，C关于原点对称， 所以点C坐标为（）． 连接OB， 因为△ABC的面积为24， 所以△BCO面积为12． 过点C作x轴的垂线，垂足为P， 由S△COP+S梯形CBFP＝S△BCO+S△BOF，且S△COP＝S△BOF得， S梯形CBFP＝S△BCO＝12， 所以， 解得k＝16． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•集美区期末）为提升居住品质，某小区计划对中庭进行改造，物业规划出一块边长分别是a米，b米的长方形空地，建设羽毛球场和半圆形儿童乐园两个功能区，剩余部分种植绿植．设计师给出的方案如图所示，羽毛球场的边长分别是m米，n米，儿童乐园的直径是b米． （1）若该空地的面积为300平方米，判断a，b是否成反比例关系； （2）小区业主要求该空地改造后有一半以上面积是功能区，若设计师规划的尺寸满足：，，．你认为该设计方案是否符合要求？若符合，请说明理由；若不符合，请给出一个符合要求的设计方案． 【考点】反比例函数的应用；一元二次方程的应用．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）是成反比例关系，理由见详解； （2）改设计方案符合要求，理由见详解． 【分析】（1）根据长方形的面积公式可得ab＝300，然后根据反比例关系的定义可进行求解； （2）分别得出羽毛球场和儿童乐园的面积，然后用长方形的面积减去羽毛球场和儿童乐园的面积之和，进而问题可求解． 【解答】解：（1）根据长方形的面积公式可得ab＝300， 因为a、b乘积一定，所以它们成反比例关系； （2）长方形面积为， 羽毛球场的面积为， 儿童乐园的面积为， ∴功能区的面积为， ∵， ∴该设计方案符合要求． 【点评】本题考查列代数式，整式加减的应用，解题的关键是理解题意列出代数式． 17．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，矩形ABEF与反比例函数的图象相交于C，D两点，点C的坐标（m，2），点D的坐标为（1，m+3）． （1）求反比例函数的表达式； （2）若AB＝9，在反比例函数图象上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得△PFC的面积是矩形ABEF面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的判定与性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）存在，或． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出m，可得点C、D坐标，继而求出反比例函数解析式； （2）先求出矩形的面积，进一步求得△PFC的面积，再设，则根据三角形面积公式得到，解方程求出m值可得点P坐标． 【解答】解：（1）由条件可知k＝2m＝m+3， ∴m＝3， ∴C（3，2）、D（1，6）， ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数解析式为； （2）存在， ∵C（3，2）、D（1，6）， ∴BE＝2， ∵AB＝9， ∴S矩形ABEF＝2×9＝18，FC＝7， ∴S△PFC＝9， 设，则， 即， 解得或， ∴或． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 18．（2024秋•香洲区期末）如图，已知点P是反比例函数图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数图象上点A、点B，连接OA，OB． （1）若点P的横坐标为1，则△PAB的面积为 　4　，△OAB的面积为 　8　； （2）随着点P在反比例函数图象上运动时，△OAB的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出△OAB的面积． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】（1）4；8； （2）△OAB的面积不发生变化，始终等于8，理由见解答过程． 【分析】（1）延长AP交x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，依题意得点P（1，2），四边形CDBP是矩形，四边形ABDC是梯形，点A（1，6），点B（3，2），则AC＝6，OC＝1，BD＝PC＝2，OD＝3，BP＝CD＝2，PA＝4，由此可得△PAB的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义得S△AOC＝S△BOD＝3，S梯形ABDC＝8，由此得S△OAB＝S梯形ABDC＝8； （2）延长AP交x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，设点P，则点A，点B，同理可证明四边形CDBP是矩形，四边形ABDC是梯形，则OC＝a，AC，BD＝PC，OD＝3a，CD＝BP＝2a，S梯形ABDC（AC+BD）•CD＝8，由（1）可知S△OAB＝S梯形ABDC＝8． 【解答】解：（1）延长AP交x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示： ∵点P的横坐标为1，且点P在反比例函数的图象上， ∴点P（1，2）， ∵PA平行y轴，PB平行y轴， ∴PA⊥PB，AC⊥x轴，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2， ∴四边形CDBP是矩形，四边形ABDC是梯形， 又∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点A（1，6），点B（3，2）， ∴AC＝6，OC＝1，BD＝PC＝2，OD＝3， ∴BP＝CD＝OD﹣OC＝2，PA＝AC﹣PC＝4， ∴S△PABPA•PB4， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△AOC＝S△BOD3， S梯形ABDC（AC+BD）•CD8， ∴S△OAB＝S△AOC+S梯形ABDC﹣S△BOD＝S梯形ABDC＝8， 故答案为：4；8； （2）△OAB的面积不发生变化，始终等于8，理由如下： 设点P的坐标为， 则点A的横坐标为a，点B的纵坐标为， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点B， 同理可证明：四边形CDBP是矩形，四边形ABDC是梯形， 则OC＝a，AC，BD＝PC，OD＝3a， ∴CD＝BP＝OD﹣OC＝2a， ∴S梯形ABDC（AC+BD）•CD8， 由（1）可知：S△OAB＝S梯形ABDC＝8． 【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 19．（2024秋•太仓市期末）利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式：（m0+x）•l＝M•（a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 如图，秤盘与零刻度线的距离AC为3厘米，零刻线与末刻线的距离CD为50厘米，秤盘质量m0＝10克，秤砣质量M＝50克．某兴趣小组利用等式（m0+x）•l＝M•（a+y）制作简易杆秤． （1）确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l，a的值； （2）确定杆秤的最大称重质量：根据（1）中l，a的值，求y关于x的函数解析式，并求杆秤的最大称重质量（秤砣移至末刻线D处，秤得的物体质量）； （3）制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段CD平均分成10份（格），标注刻度值，则点E处应标注的刻度值为 　600　克． （4）该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了60克的秤砣进行称重，称得重物的质量为500克，则该重物的实际质量为 　602　克． 【考点】反比例函数的应用；单项式乘多项式．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）； （2），最大称重质量为1000克； （3）600； （4）602． 【分析】（1）由l+a＝3知，l＝3﹣a，再把m0＝10，x＝0，M＝50，l＝3﹣a，y＝0代入（m0+x）•l＝M•（a+y），求出a＝0.5，l＝2.5； （2）将m0＝10，M＝50，a＝0.5，l＝2.5代入（m0+x）•l＝M•（a+y），求得，当y＝50时可求出杆秤的最大称重质量； （3）求出每一刻度的称重，再乘以6即可； （4）先计算出称重时y值的长度为25cm，再代入公式求解即可． 【解答】解：（1）∵l+a＝3， ∴l＝3﹣a， 把m0＝10，x＝0，M＝50，l＝3﹣a，y＝0代入（m0+x）•l＝M•（a+y）： （10+0）×（3﹣a）＝50（a+0）， ∴a＝0.5， ∴l＝3﹣0.5＝2.5； （2）将m0＝10，M＝50，a＝0.5，l＝2.5代入（m0+x）•l＝M•（a+y）， （10+x）×2.5＝50（0.5+y）， ∴； 当y＝50时，即， ∴x＝1000， （3）1000÷10×6＝600克， 故答案为：600； （4）由（1）知，l＝2.5cm，a＝0.5cm， 当重物质量为500克时， （10+500）×2.5＝50（0.5+y）， ∴y＝25cm， 而小组成员错误称量时，y值的长度为25cm，用了60克的秤砣进行称重， 所以有：（10+m）×2.5＝60（0.5+25）， 解得，m＝602， 故答案为：602． 【点评】本题主要考查一次函数的应用、解一元一次方程，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键． 20．（2024秋•温州期末）【项目】小车沿斜面运动中路程s与时间t的关系． 图1是小车从斜面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米．小温和小州共同填写了如下实验记录表． t（秒） 0 2 3 …… s（分米） 0 4 9 …… （1）小温发现，路程s与时间t可采用一次函数、反比例函数、二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图2中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出s关于t的函数表达式． （2）若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个5秒和第二个5秒通过的路程之差． （3）小州说：把单位时间设为1秒，还可以研究第t秒内通过的路程s′（分米）与第t秒之间的函数关系． 请写出一个路程s′（分米）与第t秒之间的结论，并通过计算说明理由． 【考点】反比例函数的图象；二次函数的应用．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）二次函数，s＝t2（t≥0）； （2）50分米； （3）s′＝2t﹣1． 【分析】（1）在图2中描点画图，即可判断采用的函数模型，再利用待定系数法求出s关于t的函数表达式即可； （2）先求出小车在斜面上第一个5秒通过的路程，再算出小车在斜面上第二个5秒通过的路程，作差即可解答； （3）根据第t秒通过的路程等于前t秒通过的路程减去前（t﹣1）秒通过的路程列式化简即可解答． 【解答】解：（1）将题中给出的实验数据在图中描点，依次连接各点，如图所示： 可以采用的函数模型是二次函数， 设路程s与时间t的函数关系式为：y＝at2+bt+c（a≠0）， 将（0，0），（2，4），（3，9）代入，得：， 解得， ∴路程s与时间t的函数关系式为：s＝t2（t≥0）； （2）当t＝5时，s＝52＝25（分米）， 当t＝10时，s＝102＝100（分米）， ∴第2个5秒小车通过的路程为：100﹣25＝75（分米）， ∴路程差为：75﹣25＝50（分米）； （3）第1秒通过的路程＝12＝1（分米）， 第2秒通过的路程＝22﹣12＝3（分米）， 第3秒通过的路程＝32﹣22＝5（分米）， ……， 第t秒通过的路程＝t2﹣（t﹣1）2＝2t﹣1（分米）， ∴第t秒内通过的路程s′（分米）与第t秒之间的函数关系为s′＝2t﹣1． 【点评】本题考查了画二次函数图象、用待定系数法求二次函数解析式、根据自变量求函数值，求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 考点卡片 1．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 2．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 3．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 4．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 5．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 6．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 7．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 8．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 9．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 10．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 11．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 12．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 13．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 14．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 15．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 16．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 17．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 18．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 19．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 20．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 21．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$