精品解析：广东省肇庆市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

高新区2024-2025学年第一学期义务教育阶段九年级数学教学质量检测 满分120分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 2. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 5，6，1 B. 5，， C. 5，6， D. 5，，1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且)，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可解答． 【详解】解：由原方程得：， ∴二次项系数为5，一次项系数为，常数项为， 故选：B． 3. 对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向上 B. 对称轴是x＝2 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】A．a=﹣1＜0，故抛物线开口向下，故错误； B．函数对称轴x1，故错误； C．当x＞1时，y随x的增大而减小，正确； D．△=b2﹣4ac=4﹣4×4=﹣12＜0，图象与x轴无交点，故错误． 故选C． 点睛】本题考查了二次函数图象的基本性质，是一道基本题，难度不大． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：B． 5. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理的应用． 连接，由垂径定理及圆心角定理可得，再利用圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ） A. 只闭合个开关 B. 只闭合个开关 C. 只闭合个开关 D. 闭合个开关 【答案】B 【解析】 【分析】观察电路发现，闭合或闭合或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案． 【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路， 只闭合个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意； 闭合个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意； 只闭合个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意； 只闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意． 故选B． 【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关键． 7. 如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则下列说法错误的是（ ） A. 点O是正六边形的中心 B. 正六边形的边长是2 C. 正六边形的中心角是 D. 正六边形的边心距 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的性质，是正六边形的外接圆可判断选项A，连接，证明是等边三角形可判断B，C；由勾股定理求出可判断D 【详解】解：∵是正六边形的外接圆， ∴点O是正六边形的中心，故选项A正确，不符合题意； 连接，如图， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的边长是2，故选项B正确，不符合题意； ∴正六边形的中心角是，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴选项D错误，符合题意； 故选：D． 8. 在直角坐标系中，将点关于原点的对称点得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，根据关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称点得到的点的坐标． 故选：A． 9. 已知方程的两个实数根分别是m，n，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系求解作答即可． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别是m，n， ∴， 故选：A． 10. 函数与的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据二次函数的图象与系数的关系及一次函数的性质作出判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，，二次函数开口向上，一次函数过二、三、四象限， ②当时，，二次函数开口向下，一次函数过一、二、四象限， 由各选项的图象可以看出，选项正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数图象综合判断，不等式的性质，二次函数的图象与系数的关系，根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若x=是一元二次方程的一个根，则n的值为 ____． 【答案】． 【解析】 【分析】把代入到一元二次方程中求出的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，牢记方程的解满足方程，代入即可是解决此类问题的关键． 12. 将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线是， 故答案为：． 13. 一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长是，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是圆锥的侧面积公式的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题的形式出现，难度一般． 利用圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积=母线底面半径计算即可． 【详解】由题意得：圆锥的侧面积， 故答案为：． 14. 如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转角等于 _____度． 【答案】60 【解析】 【分析】根据题意由旋转的性质可得∠BAD=∠CAP，即可求∠BAC=∠DAP=60°，即可求解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵将△ABD经过一次逆时针旋转后到△ACP的位置， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠PAC+∠CAD=60°， ∴∠DAP=60°； 故旋转角度60度. 故答案为：60． 【点睛】本题考查旋转的性质，注意掌握变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心． 15. 图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径为4英寸，碗底与平行，倒汤时碗底与桌面夹角为，则汤的横截面积（图3阴影部分）为______ 平方英寸． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积．延长与交于点，设的中点为，连接，过点作交于点，根据平行线的性质可求，则，阴影部分的面积扇形的面积的面积． 【详解】解：延长与交于点，设的中点为，连接，过点作交于点， 与成角为，， ， ∵， ， ， ， 英寸， 英寸， 在中，，， ， ， （平方英寸）， （平方英寸）， 平方英寸， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 把抛物线化成顶点式，并写出顶点坐标． 【答案】； 【解析】 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 17. 关于的方程有两个不等的实数根．求的取值范围． 【答案】的取值范围是 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】∵关于的方程有两个不等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 18. 如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据切线的性质和切线长定理得到，，然后根据直角三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【小问1详解】 解：∵小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：记恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有等可能的结果中，满足事件M的结果有2种， ∴ 20. 某服装店的一款衬衫，每件成本为50元．经市场调研，该款衬衫每件售价为60元时，每个月可销售200件：若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件， （1）若这个服装店某月销售该款衬衫150件，求每件衬衫的售价提高了多少元？ （2）若这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，求每件衬衫的售价提高了多少元？ 【答案】（1）5元 （2）4元或6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据“若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件”，列式计算即可； （2）设每件衬衫的售价提高了元，根据“若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件，这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元”，列方程计算即可． 【小问1详解】 解：元， 答：每件衬衫的售价提高了5元； 【小问2详解】 设每件衬衫的售价提高了元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每件衬衫的售价提高了4元或6元． 21. 如图所示，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将ΔADE绕点E旋转180°得到ΔCFE，连接AF，CD． (1)求证四边形ADCF是菱形； (2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）28． 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形； （2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案． 详解】解：（1）∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE， ∴AE=CE，DE=EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵D、E分别为AB，AC边上的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∵∠ACB=90°， ∴∠AED=90°， ∴DF⊥AC， ∴四边形ADCF是菱形； （2）在Rt△ABC中，BC=8，AC=6， ∴AB=10， ∵D是AB边上的中点， ∴AD=5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴AF=FC=AD=5， ∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质；旋转的性质． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件先证明，然后利用即可证明． （2）由（1）可得，由已知条件可得，得出，推出，再由平行线的性质可得． （3）连接，可得，且，进一步求得和，即可求得． 【小问1详解】 证明：∵以为直径的交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【小问3详解】 解：连接，如图， ∵，且以为直径 ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； 【答案】（1）抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线；（2）当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小；（3） 【解析】 【分析】（1）把B（6，0）代入抛物线中求出抛物线解析式，即可求出抛物线对称轴； （2）连接PC，PA，PB，先求出点C的坐标为（0，3），由A、B关于直线对称，得到PA=PB，则△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB，故要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小，则当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置，，求出直线BC的解析式为，令x=2，则，即可得到的坐标为（2，2），则当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小； （3）设M点坐标为（m，），由MN∥y轴，且N在直线BC上，得到N点坐标为（m，），则，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过B（6，0）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式， ∴抛物线对称轴为直线； （2）如图所示，连接PC，PA，PB， ∵点C是抛物线与y轴的交点， ∴点C的坐标为（0，3）， ∵A、B是抛物线与x轴的交点， ∴A、B关于直线对称， ∴PA=PB， ∴△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB， ∴要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小， ∴当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置， 设直线BC解析式为， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， 令x=2，则， ∴的坐标为（2，2）， ∴当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小； （3）如图所示，设M点坐标为（m，）， ∵MN∥y轴，且N在直线BC上， ∴N点坐标为（m，）， ∴ ， ∵， ∴当时，MN有最大值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数对称性—最短路径问题，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高新区2024-2025学年第一学期义务教育阶段九年级数学教学质量检测 满分120分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 5，6，1 B. 5，， C. 5，6， D. 5，，1 3. 对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向上 B. 对称轴x＝2 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件是（ ） A. 只闭合个开关 B. 只闭合个开关 C. 只闭合个开关 D. 闭合个开关 7. 如图，半径为2是正六边形的外接圆，则下列说法错误的是（ ） A. 点O是正六边形的中心 B. 正六边形的边长是2 C. 正六边形的中心角是 D. 正六边形的边心距 8. 在直角坐标系中，将点关于原点的对称点得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程的两个实数根分别是m，n，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 函数与的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若x=是一元二次方程的一个根，则n的值为 ____． 12. 将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线是____________________． 13. 一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长是，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是_______． 14. 如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转角等于 _____度． 15. 图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径为4英寸，碗底与平行，倒汤时碗底与桌面夹角为，则汤的横截面积（图3阴影部分）为______ 平方英寸． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 把抛物线化成顶点式，并写出顶点坐标． 17. 关于的方程有两个不等的实数根．求的取值范围． 18. 如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 20. 某服装店的一款衬衫，每件成本为50元．经市场调研，该款衬衫每件售价为60元时，每个月可销售200件：若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件， （1）若这个服装店某月销售该款衬衫150件，求每件衬衫的售价提高了多少元？ （2）若这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，求每件衬衫的售价提高了多少元？ 21. 如图所示，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将ΔADE绕点E旋转180°得到ΔCFE，连接AF，CD． (1)求证四边形ADCF是菱形； (2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF周长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求长． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $