精品解析：河南省许昌市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

XCS2024—2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学 注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 4. 如图，四边形内接于．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2＝16 D. （x+1）2＝16 8. 熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，y与x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 6 1 m … 下面有四个论断： ①抛物线的顶点为； ②； ③关于x的方程的解为，； ④当时，y的值为正．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________． 12. 请你写出一个顶点在 x轴上的二次函数表达式________. 13. 快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 14. 如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是________． 15. 如图，在正方形中，，点O为的中点，点E在上，且，将绕点A在平面内旋转，点E的对应点为点F，连接，，当时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知方程有两个不相等的实数根， （1）求m的取值范围； （2）当时，求方程的根． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，将绕点O顺时针旋转得到． （1）请在图中画出； （2）与是否关于某点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点P． 18. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求密度：关于体积的函数解析式； （2）当时，求二氧化碳的密度的取值范围． 19. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 20. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：． 21. 某公园草坪上有一个喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，喷水头P距离地面，喷出的水流在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距离地面．建立如图1所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水流距喷水头的水平距离，是水流距地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，这个喷水装置的喷头P能左右旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求出它能喷灌的草坪的面积（结果用含的式子表示）． 22. 如图，已知为的直径，点C在上，点D为圆外一点，连接、、．给出下列条件：①是的切线；②；③是的切线． （1）请在上述三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，并给出证明． （2）在（1）的条件、结论下，延长交的延长线于点E，延长交的延长线于点F，若，，则的长为______． 23. 在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”． （1）如图，已知抛物线． ①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______； ②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值； （2）已知点在抛物线上，若“抛物圆”的“扁度”值不超过3，请直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ XCS2024—2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学 注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，由此问题可求解． 【详解】解：由题意可知点关于原点的对称点的坐标为， 故选：B． 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直接开平法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．先移项，再直接开平方，即可求解． 【详解】解：， 移项，得：， 直接开平方，得：， 即方程的解为：，， 故选：C． 3. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 4. 如图，四边形内接于．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可求得的度数． 【详解】因为，四边形内接于， 所以，=180°- 故选：C 【点睛】考核知识点：圆的内接四边形．熟记圆的内接四边形性质是关键． 5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为， 故选：D． 6. 如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解． 【详解】解：矩形的面积为4， ． 过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限， ． ． 故选：B． 7. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2＝16 D. （x+1）2＝16 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】解：x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0， （x﹣1）2＝4， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 8. 熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接， ， ， 是等边三角形 ， 该镜子的直径为8cm， 故选: Ｃ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 故选：D． 10. 已知二次函数，y与x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 6 1 m … 下面有四个论断： ①抛物线的顶点为； ②； ③关于x的方程的解为，； ④当时，y的值为正．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质．根据表格，即可判断出抛物线的对称轴，从而得到顶点坐标，即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；根据表格中函数值为时，对应的x的值，即可判断③；根据二次函数的增减性即可判断④． 【详解】解：①根据表格可知：当和时，对应的函数值相同，都是， 抛物线的对称轴为， ∴抛物线的顶点为，故①正确； ②根据抛物线的对称性可知：当和时，对应的函数值相同， ∴，故②错误； ③由表格可知：对于二次函数，当时，对应的x的值为1或3， ∴关于的方程的解为，，故③正确； ④由表格可知：当时，y随x的增大而减小， ∵，且抛物线过点， ∴当时，， ∴当时，的值为正，故④正确． 综上，正确的有①③④． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________． 【答案】六 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n． 由题意得，＝60°， ∴n＝6， 故答案为：六． 【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角＝． 12. 请你写出一个顶点在 x轴上的二次函数表达式________. 【答案】y=x2（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：答案不唯一，如：．故答案为（答案不唯一）． 13. 快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 【详解】解：∵智能机器人的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， 设反比例函数解析式为，代入得： ， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 14. 如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程． 设宽为，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程． 【详解】解：设宽为，根据题意，得 ． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，点O为的中点，点E在上，且，将绕点A在平面内旋转，点E的对应点为点F，连接，，当时，的长为______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，旋转的性质，根据正方形的性质得出当时，F在上，然后分两种情况，根据勾股定理分别进行求解即可． 【详解】解：四边形为正方形，O为的中点， 经过O，且， 当时，F在上， 如图所示有两种情况： ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ， 的长为1或3， 故答案为：1或3． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知方程有两个不相等的实数根， （1）求m的取值范围； （2）当时，求方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）由题意可得，求解即可； （2）当时，原方程为，再利用公式法解方程即可得解． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， ∴； 【小问2详解】 解：当时，原方程为， ，，； ； ， ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，将绕点O顺时针旋转得到． （1）请在图中画出； （2）与是否关于某点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点P． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图和中心对称的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质，并结合相关性质正确的作图． （1）将的三顶点绕原点顺时针旋转，然后顺次连接即可得到； （2）结合与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：与是中心对称图形， 连接，交点为，如图， 点坐标为． 18. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求密度：关于体积的函数解析式； （2）当时，求二氧化碳的密度的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）利用反比例函数的增减性，结合自变量取值范围即可求出密度的取值范围． 【小问1详解】 解：由密度与体积是反比例函数关系， 设， 将点代入， 得：， 解得：， 即关于体积的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，， 即， ∴二氧化碳的密度的取值范围为． 19. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【小问1详解】 解：∵小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：记恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有等可能的结果中，满足事件M的结果有2种， ∴ 20. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ ∴ 同理： ∵ ∴,即． 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质可得，同理可得：，然后根据即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角等知识点，理解圆周角定理是解答本题的关键． 21. 某公园草坪上有一个喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，喷水头P距离地面，喷出的水流在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距离地面．建立如图1所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水流距喷水头的水平距离，是水流距地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，这个喷水装置的喷头P能左右旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求出它能喷灌的草坪的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，得到喷灌区域的半径为，再利用扇形面积公式可得结论． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， ∴喷灌区域的半径为， ∴喷灌的草坪的面积． 22. 如图，已知为的直径，点C在上，点D为圆外一点，连接、、．给出下列条件：①是的切线；②；③是的切线． （1）请在上述三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，并给出证明． （2）在（1）的条件、结论下，延长交的延长线于点E，延长交的延长线于点F，若，，则的长为______． 【答案】（1） 选取①②为题设，③为结论， 连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 选取②③为题设，①为结论， 连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 选取①③为题设，②为结论， 连接， ∵是的切线，是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ , ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）选取①②为题设，③为结论，连接，利用平行线的性质结合等边对等角求得，再证明，求得，即可证明结论成立； 选取②③为题设，①为结论，方法同上； 选取①③为题设，②为结论，连接，证明，推出，证明是的中位线，即可得到； （2）连接，先证明，设，在中，求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵和是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，即的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”． （1）如图，已知抛物线． ①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______； ②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值； （2）已知点在抛物线上，若“抛物圆”的“扁度”值不超过3，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①4，6；② （2） 【解析】 【分析】（1）①点，则点，得到半径，则，求出，即可求解；②若点点A横坐标为t，则点，则点，参考①即可求解； （2）根据点A在抛物线上得到，将抛物线解析式变式得到顶点坐标为，即点，进而求解． 【小问1详解】 解：①如图，设线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段为，则点N（O）重合，点，则点， 则圆M的半径，则， 由点B的坐标知，，则， 故答案为：4，6； ②若点A横坐标为t，则点，则点， 则圆M的直径为， 则， 则，解得：（舍去）或， 即； 【小问2详解】 点在抛物线上， ，即， 其顶点坐标为，即点， 则点，则圆M的半径为 则， 则， ， 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和圆的基本的性质，理解新定义等，数形结合是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $