专题02 多边形（含三角形）的边角计算-2024-2025学年七年级数学下册期末解答压轴题必刷专项训练（华东师大版）

专题02 多边形（含三角形）的边角计算 1．如图，，和相交于点，点在上，点在上，连接EF，使． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质： （1）由平行线的性质得到，则可证明，据此可证明； （2）由平行线的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，于点D，平分，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的平分线、高线，直角三角形的特征；能熟练利用三角形的内角和和直角三角形的特征求解是解题的关键． （1）由三角形的内角和定理得，由三角形的平分线即可求解； （2）由直角三角形的特征得，由角的和差得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴； （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ． 3．如图，将沿着翻折，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和定理，根据折叠的性质，平角的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴； 4．如图，是中边上的高线，若，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余，求得，进一步计算求解． 【详解】解：因为，， 所以． 因为， 所以． 5．如图，在中，是角平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由题得，得到，由是角平分线得到，，继而得到，计算即可． 【详解】解：由题意可得． ，， ， 平分， ， ， ． 6．一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个边形一个内角的度数． (2)求这个边形的内角和． 【答案】(1)该边形的一个内角的度数为 (2) 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为，所以，即可作答． （2）因为一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为，所以，算出这个多边形是九边形，结合多边形的内角和公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为， ∴， ∴该边形的一个内角的度数为； （2）解：∵一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为， ∴，， ∴， 则这个边形的内角和为． 7．如图，在中，D、E分别在、的延长线上，若，，，求． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，先求解，可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 8．如图，在中，，，分别是边上的点（不与端点重合），与相交于点，连接．若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定及性质．根据，推出，得到，由此可得结论． 【详解】是的一个外角（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）. （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 9．数学课上，李老师呈现小宇解答一道习题的过程和部分同学的反思，请你认真阅读，完成相应的任分． 已知：如图1，，点E是线段上一点，连接．求证：． 小宇的证明方法： 证明：如图2，过点E作． ．（依据①） ， ．（依据②） ． ， ． 完成解答后，李老师让同学们进行解题反思： 小星的反思是：若点E在线段的延长线上，与交于点G，如图3，此时原来的结论仍然成立． 小颖的反思是：若点E在线段AC的延长线上，上述结论发生变化，此时，与的数量关系为__________． 任务： (1)请写出上述证明过程中的依据①和依据②； (2)请证明图3中； (3)请补充小颖反思的结论中三个角的数量关系． 【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的推论及三角形内角和定理．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．三角形内角和定理：三角形三个内角的和是．构造平行线是解本题的关键． （1）根据平行线的性质及平行公理的推论回答即可； （2）如图，过点E作，根据平行公理的推论证得，利用平行线的性质证得，问题得证； （3）根据平行线的性质证，再根据三角形内角得定理证即可得证． 【详解】（1）解：①：两直线平行，内错角相等；②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （2）如图，过点E作，则 ， ， ， ； （3）， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，为的角平分线，为的高，与相交于点．若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线与高： （1）根据三角形内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义即可求解； （2）根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． （2）解：为的高，， 在直角三角形中，， ． 11．如图，在中，，边上的高，点为上一点，于点，于点．求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的面积，与高有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为边上的高，则，结合，故，因为，得，即可作答． 【详解】解：如图，连结． 边上的高， ∴， ∵于点，于点． ∴，， ∵， ． 又， ， ． 12．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）利用面积法求解即可． （2）求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵是的中线，， ∴． ∵是的高，的面积为80， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． 在中，，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵是的高，∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形面积，三角形中线、角平分线的概念，熟练掌握基础知识是解答本题的关键． 13．如图，，为上一点，． (1)求证：平分． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用平行得出，利用和三角形外角的性质得出，则可得出； （2）利用，得出，得出，则，结合即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 14．如图，在中，，，是边上的高线，平分，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和高等知识．先由三角形内角和定理求出，平分，得到．由是边上高线得到，即可求出的度数． 【详解】．解：∵，， ． ∵平分， ． ∵是边上高线， ， ． 15．【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 【答案】探究：见解析；应用：（1）；（2） 【分析】本题侧重考查三角形的外角性质及三角形内角和定理． 探究：连结，并延长，如图所示，先由外角的性质得①，②，再由①②即可得出结论； 应用：（1）先由三角形的内角和求出，得到，再由探究的结论得到，代入求值即可； （2）连结，由探究可知，，即可得到， 【详解】探究： 证明：连结，并延长，如图所示， 是的外角， ①， 是的外角， ②， ①②，得 ， 即； 应用： 解：（1），， ， ， 由探究可知； （2）连结，如图所示． 由探究可知③， ④， ③④，得 ， ． 16．已知：如图，射线，，点、在上，且满足，平分． (1)求的度数； (2)如果平行移动线段，其他条件不变，那么的值是否发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值． 【答案】(1) (2)不变，2 【分析】本题考查平行线的性质及其角平分线的定义，熟练运用角平分线的定义和平行线的性质是解题的关键； （1）根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，然后求出，计算即可得解； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得解. 【详解】（1）解：，． ． ∴， 平分， ． ， ． （2）解：不变． ， ． ， ． ， ． 17．【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数（用含x的式子表示）． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据三分线的定义和角的和差关系进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可； （3）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可． 【详解】（1），是的“三分线”， ， ． （2） ． ． 分别是邻三分线和邻三分线， ， ， ． ； （3）． ． 分别是邻三分线和邻三分线， ， ， ． ． 18．如图，已知D为的边延长线上一点，，垂足是F，交于点E，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据和求出，然后利用对顶角相等可知，在中利用三角形内角和即可求出的度数. 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 19．如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)与的位置关系为互相平行，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识． （1）根据同位角相等两直线平行得到  则，等量代换得到，即可证明； （2）根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）与的位置关系为互相平行． 证明：∵      又∵        （2）∵，， 又∵， 20．［问题初探］（1）观察“基础图”图1，试探究与，，之间的关系，并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下问题： ［类比分析］（2）如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，直接写出的结果． ［拓展探究］（3）如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角，与角平分线有关的计算： （1）作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； （3）先根据第1题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 【详解】解：（1），理由是： 过点A、D作射线， ∵， ∴， 即； （2）∵， 由（1）知：， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 21．如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质和已知条件证明，据此可证明； （2）先由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ． 22．由组成的线段图如图所示，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质及多边形的内角与外角，解答的关键是沟通外角和内角的关系．由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，，而，从而求出所求的角的和． 【详解】 解：如图： 由三角形外角可得：，， ， ， 23．如图，在四边形中，，延长至点，连接和的平分线相交于点与相交于点，已知． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)72° 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识点，理清角之间的关系是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得以及等量代换可得，进而得到即可证明结论； （2）由可得，进而得到，设，则．根据平行线的性质可得，然后解方程求得，进而完成解答． 【详解】（1）证明：， ． 平分平分， ， ． ， ， ， 又， ， ∴． （2）解：， ， ， ， 设，则． 又， ， ∴，解得， ． 24．如图，在中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，的面积为24． (1)求的长． (2)若，求与的周长差． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形的高和中线等知识． （1）根据三角形的面积求出，根据三角形中线即可求出的长； （2）根据三角形中线得到，的周长，的周长，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，的面积为24．交于点， ∴， 解得， ∵是边上的中线， ∴ （2）∵为的中点， ∴ ∵的周长，的周长， ∴与的周长差． 25．如图，在中，平分交于点F，点D，E分别在，的延长线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角定理等，解题的关键是熟练进行等量代换． （1）由角平分线的定义可得，由可得，等量代换可得，利用内错角相等、两直线平行，可证； （2）由可得，由平分可得，结合，可得，根据求出，最后根据三角形外角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 试卷第20页，共24页 试卷第21页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 多边形（含三角形）的边角计算 1．如图，，和相交于点，点在上，点在上，连接EF，使． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．如图，在中，于点D，平分，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 3．如图，将沿着翻折，若，求的度数． 4．如图，是中边上的高线，若，，求的度数． 5．如图，在中，是角平分线，，，求的度数． 6．一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个边形一个内角的度数． (2)求这个边形的内角和． 7．如图，在中，D、E分别在、的延长线上，若，，，求． 8．如图，在中，，，分别是边上的点（不与端点重合），与相交于点，连接．若，．求证：． 9．数学课上，李老师呈现小宇解答一道习题的过程和部分同学的反思，请你认真阅读，完成相应的任分． 已知：如图1，，点E是线段上一点，连接．求证：． 小宇的证明方法： 证明：如图2，过点E作． ．（依据①） ， ．（依据②） ． ， ． 完成解答后，李老师让同学们进行解题反思： 小星的反思是：若点E在线段的延长线上，与交于点G，如图3，此时原来的结论仍然成立． 小颖的反思是：若点E在线段AC的延长线上，上述结论发生变化，此时，与的数量关系为__________． 任务： (1)请写出上述证明过程中的依据①和依据②； (2)请证明图3中； (3)请补充小颖反思的结论中三个角的数量关系． 10．如图，为的角平分线，为的高，与相交于点．若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 11．如图，在中，，边上的高，点为上一点，于点，于点．求的值． 12．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 13．如图，，为上一点，． (1)求证：平分． (2)若，，求的度数． 14．如图，在中，，，是边上的高线，平分，求的度数． 15．【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 16．已知：如图，射线，，点、在上，且满足，平分． (1)求的度数； (2)如果平行移动线段，其他条件不变，那么的值是否发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值． 17．【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数（用含x的式子表示）． 18．如图，已知D为的边延长线上一点，，垂足是F，交于点E，，，求的度数．    19．如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 20．［问题初探］（1）观察“基础图”图1，试探究与，，之间的关系，并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下问题： ［类比分析］（2）如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，直接写出的结果． ［拓展探究］（3）如图3，平分，平分，若，，求的度数． 21．如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 22．由组成的线段图如图所示，求的度数． 23．如图，在四边形中，，延长至点，连接和的平分线相交于点与相交于点，已知． (1)证明：； (2)若，求的度数． 24．如图，在中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，的面积为24． (1)求的长． (2)若，求与的周长差． 25．如图，在中，平分交于点F，点D，E分别在，的延长线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 试卷第8页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$