第20讲　矩形、菱形、正方形 2025年中考数学一轮专题复习练（山东）

1.(2024泸州)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定▱ABCD为矩形的是(D) A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 2.(2024成都)如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(C) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 3.(2024聊城)要检验一个四边形的桌面是否为矩形,可行的测量方案是(C) A.测量两条对角线是否相等 B.度量两个角是否是90° C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D.测量两组对边是否分别相等 4.(2023兰州)如图所示,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG等于(C) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 5.(2023宜宾)如图所示,在边长为6的正方形ABCD中,M为对角线BD上的一点,连接AM并延长交CD于点P,连接CM.若 PM=PC,则AM的长为(C) A.3(-1) B.3(3-2) C.6(-1) D.6(3-2) 6.(2023武威)如图所示,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,BE⊥AB,DF⊥CD,垂足分别为B,D.若AB=6 cm,则 EF=　2　cm.  7.(2024德阳)如图所示,四边形ABCD是矩形,△ADG是正三角形,点F是GD的中点,点P是矩形ABCD内一点,且△PBC是以BC为底的等腰三角形,则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是　2　.  8.(2024潍坊)小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸,折完后,发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合,那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 　∶1　.  9.(2024济南)如图所示,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上两点,连接DE,DF,∠ADF=∠CDE.求证:AE=CF. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴DA=DC. ∴∠DAC=∠DCA. ∵∠ADF=∠CDE, ∴∠ADF-∠EDF=∠CDE-∠EDF. ∴∠ADE=∠CDF. 在△DAE和△DCF中, ∴△DAE≌△DCF(ASA). ∴AE=CF. 10.(2023永州)如图所示,已知四边形ABCD为平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5. (1)△AOB是直角三角形吗?请说明理由. (2)求证:四边形ABCD是菱形. (1)解:△AOB是直角三角形.理由如下: ∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8, ∴BO=BD=4. ∵OA2+OB2=32+42=52=AB2, ∴△AOB是直角三角形. (2)证明:由(1),得△AOB是直角三角形, ∴∠AOB=90°,即AC⊥BD. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是菱形. 11.(2023乐山)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作 DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF. (1)求证:四边形ECFD是矩形; (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离. (1)证明:∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形ECFD为平行四边形. ∵∠C=90°, ∴四边形ECFD是矩形. (2)解:∵∠C=90°,CF=2,CE=4, ∴EF==2. 设点C到EF的距离为h. ∵S△CEF=CE·CF=EF·h, ∴2×4=2h.∴h=. ∴点C到EF的距离为. 12.(2024淄博)如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,E为AD边的中点,连接CE,交对角线BD于点F.若∠DEF=∠DFE,则这个菱形的面积为(B) A.16 B.6 C.12 D.30 13.(2023潍坊)如图所示,在直角坐标系中,菱形OABC的顶点A的坐标为(-2,0),∠AOC=60°.将菱形OABC沿x轴向右平移 1个单位长度,再沿y轴向下平移 1个单位长度,得到菱形O′A′B′C′,其中点B′的坐标为(A) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-,1) D.(-,-1) 14.(2024泸州)如图所示,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则OM+FG的最小值是(B) A.4 B.5 C.8 D.10 15.(2023怀化)如图所示,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F. (1)求证:△BOF≌△DOE; (2)连接BE,DF,求证:四边形EBFD是菱形. 证明:(1)如图所示.∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC. ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵O是BD的中点, ∴BO=DO. 在△BOF和△DOE中, ∴△BOF≌△DOE(AAS). (2)∵△BOF≌△DOE, ∴ED=BF. 又ED∥BF, ∴四边形EBFD是平行四边形. ∵EF⊥BD, ∴四边形EBFD是菱形. 16.(推理能力)(2024威海)(1)将两张长为8,宽为4的矩形纸片如图(1)所示叠放. ①判断四边形AGCH的形状,并说明理由; ②求四边形AGCH的面积. (2)如图(2)所示,在矩形ABCD和矩形AFCE中,AB=2,BC=7,CF=,求四边形AGCH的面积. 解:(1)①四边形AGCH为菱形.理由如下: ∵四边形ABCD,AECF都是矩形, ∴AH∥CG,AG∥HC. ∴四边形AGCH为平行四边形. ∵∠D=∠E=90°,∠AHE=∠CHD,AE=DC, ∴△AEH≌△CDH(AAS). ∴AH=HC. ∴四边形AGCH为菱形. ②设AH=CG=x,则DH=AD-AH=8-x, 由①,得AH=HC,∴HC=AH=x. 在Rt△CDH中,HC2=DH2+DC2, 即x2=(8-x)2+16, 解得x=5. ∴四边形AGCH的面积为5×4=20. (2)连接AC(图略),可得矩形ABCD和矩形AFCE对角线相等, ∴AC2=AB2+BC2=AE2+EC2=69. ∴EC=8. 设AH=CG=y,则HD=7-y. 在Rt△AEH中,EH==, 在Rt△CDH中, CH==. ∵EC=EH+CH=8, ∴y=3. ∴四边形AGCH的面积为3×2=6. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.(2024泸州)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定▱ABCD为矩形的是( ) A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 2.(2024成都)如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( ) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 3.(2024聊城)要检验一个四边形的桌面是否为矩形,可行的测量方案是( ) A.测量两条对角线是否相等 B.度量两个角是否是90° C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D.测量两组对边是否分别相等 4.(2023兰州)如图所示,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG等于( ) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 5.(2023宜宾)如图所示,在边长为6的正方形ABCD中,M为对角线BD上的一点,连接AM并延长交CD于点P,连接CM.若 PM=PC,则AM的长为( ) A.3(-1) B.3(3-2) C.6(-1) D.6(3-2) 6.(2023武威)如图所示,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,BE⊥AB,DF⊥CD,垂足分别为B,D.若AB=6 cm,则 EF= cm.  7.(2024德阳)如图所示,四边形ABCD是矩形,△ADG是正三角形,点F是GD的中点,点P是矩形ABCD内一点,且△PBC是以BC为底的等腰三角形,则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是 .  8.(2024潍坊)小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸,折完后,发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合,那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 .  9.(2024济南)如图所示,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上两点,连接DE,DF,∠ADF=∠CDE.求证:AE=CF. 10.(2023永州)如图所示,已知四边形ABCD为平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5. (1)△AOB是直角三角形吗?请说明理由. (2)求证:四边形ABCD是菱形. 11.(2023乐山)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作 DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF. (1)求证:四边形ECFD是矩形; (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离. 12.(2024淄博)如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,E为AD边的中点,连接CE,交对角线BD于点F.若∠DEF=∠DFE,则这个菱形的面积为( ) A.16 B.6 C.12 D.30 13.(2023潍坊)如图所示,在直角坐标系中,菱形OABC的顶点A的坐标为(-2,0),∠AOC=60°.将菱形OABC沿x轴向右平移 1个单位长度,再沿y轴向下平移 1个单位长度,得到菱形O′A′B′C′,其中点B′的坐标为( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-,1) D.(-,-1) 14.(2024泸州)如图所示,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则OM+FG的最小值是( ) A.4 B.5 C.8 D.10 15.(2023怀化)如图所示,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F. (1)求证:△BOF≌△DOE; (2)连接BE,DF,求证:四边形EBFD是菱形. 16.(推理能力)(2024威海)(1)将两张长为8,宽为4的矩形纸片如图(1)所示叠放. ①判断四边形AGCH的形状,并说明理由; ②求四边形AGCH的面积. (2)如图(2)所示,在矩形ABCD和矩形AFCE中,AB=2,BC=7,CF=,求四边形AGCH的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$