第15讲　展开与折叠、命题与定理、尺规作图 2025年中考数学一轮专题复习练（山东）

1.(2023达州)下列图形中,是长方体表面展开图的是(C) 2.(2023岳阳)下列命题是真命题的是(B) A.同位角相等 B.菱形的四条边相等 C.正五边形是中心对称图形 D.单项式5ab2的次数是4 3.(2024广安)将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上,如图所示是它的一种展开图,则在原正方体上,与“共”字所在面相对的面上的汉字是(A) A.校 B.安 C.平 D.园 4.(2024枣庄)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图所示的是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“亮”字所在面相对的面上的汉字是(D) A.青 B.春 C.梦 D.想 5.(2024烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有(D) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(2023长春)如图所示,用直尺和圆规作∠MAN的平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是(B) A.AD=AE B.AD=DF C.DF=EF D.AF⊥DE 7.(2024聊城)如图所示,在△ABC中,若∠BAC=80°,∠ACB=70°,根据图中尺规作图的痕迹推断,以下结论错误的是(D) A.∠BAQ=40° B.DE=BD C.AF=AC D.∠EQF=25° 8.“如果|a|=|b|,那么a=b”的逆命题是　如果a=b,那么|a|=|b|　. 9.(2023荆州)如图所示,∠AOB=60°,点C在OB上,OC=2,P为∠AOB内一点.根据图中尺规作图痕迹推断,点P到OA的距离为　1　.  10.(2023鞍山)如图所示,在△ABC中,在CA,CB上分别截取CD,CE,使 CD=CE,分别以D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠ACB内交于点F,作射线CF,交AB于点M,过点M作MN⊥BC,垂足为N.若BN=CN,AM=4,BM=5,则AC的长为　6　.  11.(2023河南)如图所示,在△ABC中,点D在边AC上,且AD=AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE.求证:DE=BE. (1)解:如图所示,即为所求, (2)证明:∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE=∠DAE. ∵AB=AD,AE=AE, ∴△BAE≌△DAE(SAS).∴DE=BE. 12.(2023连云港)如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交边AC于点D,连接BD,过点C作CE∥AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作图:过点B作☉O的切线,交CE于点F(不写作法,保留作图痕迹,标明字母); (2)在(1)的条件下,求证:BD=BF. (1)解:方法不唯一,如图所示. (2)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. 又AB∥CE, ∴∠ABC=∠BCF. ∴∠BCF=∠ACB. ∵点D在以AB为直径的圆上, ∴∠ADB=90°. ∴∠BDC=90°. 又BF为☉O的切线, ∴∠ABF=90°. ∵AB∥CE, ∴∠BFC+∠ABF=180°. ∴∠BFC=90°. ∴∠BDC=∠BFC. ∵在△BCD和△BCF中, ∴△BCD≌△BCF(AAS). ∴BD=BF. 13.(2024济南)如图所示,在正方形ABCD中,分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点E和F,作直线EF,再以点A为圆心,以AD的长为半径作弧交直线EF于点G(点G在正方形ABCD内部),连接DG并延长交BC于点K.若BK=2,则正方形ABCD的边长为(D) A.+1 B. C. D.+1 14.有数学家发现:只用圆规可以完成一切尺规作图.请你利用数学家发现的结论,完成下面的作图题: 如图所示,已知☉O,A是☉O上一点,只用圆规将☉O的圆周四等分(按如下步骤完成,保留作图痕迹). ①以点A为圆心,OA长为半径,自点A起,在☉O上逆时针方向顺次截取==; ②分别以点A,点D为圆心,AC长为半径作弧,两弧交于☉O上方点E; ③以点A为圆心,OE长为半径作弧交☉O于G,H两点,即点A,G,D,H将☉O的圆周四等分. 解:如图所示,即点A,G,D,H把☉O的圆周四等分. (不是必须答题步骤,理由如下: 如图所示,连接AE,DE,AC,DC,OE,OH,OG,AH,AD,OB,AB,OC, 由作图,可得==,且OA=OB=AB, ∴△AOB为等边三角形. ∴∠AOB=60°. 同理,可得∠BOC=∠COD=60°, ∴∠AOB+∠BOC+∠COD=180°. ∴A,O,D三点共线. ∴AD为☉O的直径. ∴∠ACD=90°. 设CD=x,而∠DAC=30°, ∴AD=2x,AC=x. 由作图,可得DE=AE=AC=x, 而OA=OD=x, ∴EO⊥AD,OE==x. ∴由作图,可得AH=OE=x, 而OA=OH=x. ∴OA2+OH2=2x2=AH2. ∴∠AOH=90°. 同理∠AOG=90°=∠DOG=∠DOH. ∴点A,G,D,H把☉O的圆周四等分.) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.(2023达州)下列图形中,是长方体表面展开图的是( ) 2.(2023岳阳)下列命题是真命题的是( ) A.同位角相等 B.菱形的四条边相等 C.正五边形是中心对称图形 D.单项式5ab2的次数是4 3.(2024广安)将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上,如图所示是它的一种展开图,则在原正方体上,与“共”字所在面相对的面上的汉字是( ) A.校 B.安 C.平 D.园 4.(2024枣庄)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图所示的是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“亮”字所在面相对的面上的汉字是( ) A.青 B.春 C.梦 D.想 5.(2024烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(2023长春)如图所示,用直尺和圆规作∠MAN的平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是( ) A.AD=AE B.AD=DF C.DF=EF D.AF⊥DE 7.(2024聊城)如图所示,在△ABC中,若∠BAC=80°,∠ACB=70°,根据图中尺规作图的痕迹推断,以下结论错误的是( ) A.∠BAQ=40° B.DE=BD C.AF=AC D.∠EQF=25° 8.“如果|a|=|b|,那么a=b”的逆命题是 . 9.(2023荆州)如图所示,∠AOB=60°,点C在OB上,OC=2,P为∠AOB内一点.根据图中尺规作图痕迹推断,点P到OA的距离为 .  10.(2023鞍山)如图所示,在△ABC中,在CA,CB上分别截取CD,CE,使 CD=CE,分别以D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠ACB内交于点F,作射线CF,交AB于点M,过点M作MN⊥BC,垂足为N.若BN=CN,AM=4,BM=5,则AC的长为 .  11.(2023河南)如图所示,在△ABC中,点D在边AC上,且AD=AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE.求证:DE=BE. 12.(2023连云港)如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交边AC于点D,连接BD,过点C作CE∥AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作图:过点B作☉O的切线,交CE于点F(不写作法,保留作图痕迹,标明字母); (2)在(1)的条件下,求证:BD=BF. 13.(2024济南)如图所示,在正方形ABCD中,分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点E和F,作直线EF,再以点A为圆心,以AD的长为半径作弧交直线EF于点G(点G在正方形ABCD内部),连接DG并延长交BC于点K.若BK=2,则正方形ABCD的边长为( ) A.+1 B. C. D.+1 14.有数学家发现:只用圆规可以完成一切尺规作图.请你利用数学家发现的结论,完成下面的作图题: 如图所示,已知☉O,A是☉O上一点,只用圆规将☉O的圆周四等分(按如下步骤完成,保留作图痕迹). ①以点A为圆心,OA长为半径,自点A起,在☉O上逆时针方向顺次截取==; ②分别以点A,点D为圆心,AC长为半径作弧,两弧交于☉O上方点E; ③以点A为圆心,OE长为半径作弧交☉O于G,H两点,即点A,G,D,H将☉O的圆周四等分. 学科网（北京）股份有限公司 $$