广东省深圳实验学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷

第 1页（共 28页） 2023-2024学年广东省深圳实验学校九年级（下）开学数学试卷 一、单选题（共 10小题，每小题 3分，共 30分） 1．（3分）如果+160元表示增加 160元，那么﹣60元表示（ ） A．增加 100元 B．增加 60元 C．减少 60元 D．减少 220元 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．（3分）小强把一个六位数表示成了“35×104”，则用科学记数法表示这个六位数应为（ ） A．3.5×105 B．0.35×106 C．3.5×106 D．350×103 4．（3分）2022年北京冬奥会的单板 U形技巧资格赛中，谷爱凌滑完后，六名裁判打分如下： 成绩 94 96 97 次数 2 3 1 则六名裁判所打分数的中位数为（ ） A．94 B．95.5 C．96 D．97 5．（3分）如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于 E，AE＝EB＝EC＝a，且 a是一元二次方程 x2+2x﹣3 ＝0的根，则平行四边形 ABCD的面积为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（3分）下列计算中，正确的是（ ） A．a2+a3＝a5 B．（a2）5＝（﹣a5）2 C．（a3b2）3＝a6b5 D．a2•a3＝a6 7．（3分）下列命题是真命题的是（ ） A．如果 a2＝b2，那么 a＝b B．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 C．两互补的角一定是邻补角 D．如果两角是同位角，那么这两角一定相等 第 2页（共 28页） 8．（3分）已知甲车行驶 30千米与乙车行驶 40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶 12千米， 若设甲车的速度为 x千米/时，依题意列方程正确的是（ ） A． 30 � = 40 �+12 B． 30 �+12 = 40 � C． 30 �−12 = 40 � D． 30 � = 40 �−12 9．（3分）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬 1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了 1000m，该坡角为 30°，则他耗能（ ）（参考数据： 3 ≈1.732， 2 ≈1.414） A．58J B．159J C．1025J D．1732J 10．（3分）如图，正方形 ABCD的边长为 8cm，动点 E从点 C出发沿边 CB向终点 B以 2cm/s的速度运动， 同时动点 F从点 C出发沿边 CD向终点 D以 1cm/s的速度运动．设运动时间为 x（s），当 x＞0 时，以 CE，CF为边作矩形 CFHE，设正方形 ABCD去掉矩形 CFHE 后剩余部分的面积为 y（cm2），则 y与 x 之间的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共 5小题，每小题 3分，共 15分） 11．（3分）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30秒，绿灯亮 25秒，黄灯亮 5秒．当你抬头看信 号灯时，是黄灯的概率是 ． 12．（3分）已知多项式 m2﹣2m+7的值是 16，则多项式 4m2﹣8m﹣7的值为 ． 第 3页（共 28页） 13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为 ． 14．（3分）如图，若函数 y＝﹣x与� =− 4�的图象交于 A、B两点，过点 A作 AC垂直于 y轴，垂足为点 C， 则△BOC的面积为 ． 15．（3分）如图，点 E是正方形 ABCD边 AB上的一点，已知∠DEF＝45°，EF分别交边 AC，CD于点 G， F，且满足 AG•DF＝3 2，则 EG的长为 ． 三、解答题（共 7小题，第 16，17题 5分，第 18题 7分，第 19，20题 8分，第 21题 10分，第 22题 12 分.共 55分） 16．（5分）计算：( − 1)2024 + ( 12 ) −1 − 2024 ÷ (2024 − �)0． 17．（5分）先化简，再求值(� + 2) ÷ (4 + 4+� 2 � )，其中 x＝2023． 18．（7分）秦岭和合南北、泽被天下，是我国的中央水塔，是中华民族的祖脉和中华文化的重要象征．保 护好秦岭，就是保护我们的家园．某校组织全校学生进行了一场“保护秦岭生态环境”的知识竞答活动， 根据竞答结果，随机抽取了 200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为 100分，大于 80分的为优秀） 第 4页（共 28页） 进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表． 200名学生知识竞答成绩频数表 组别 频数 频率 A组（60.5～70.5） a 0.3 B组（70.5～80.5） 30 0.15 C组（80.5～90.5） 50 b D组（90.5～100.5） 60 0.3 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接写出 a＝ ，b＝ ；并将频数分布直 方图补充完整； （2）所抽取的 200名学生竞答成绩的中位数落在 组； （3）若该校共有 1000名学生，请估计本次知识竞答成绩为“优秀” 的学生人数． 19．（8分）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，2019年猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统 计：2019年 12月份猪肉价格比 2019年年初上涨了 30%，某市民 2019年 12月 3日在某超市购买 1千克 猪肉花了 52元． （1）问：2019年年初猪肉的价格为每千克多少元？ （2）某超市将进货价为每千克 39元的猪肉，按 2019年 12月 3日价格出售，平均一天能销售出 100千 克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降 1元，其日销售量就增加 10千克，超市为了实现销售猪肉每天 有 1320元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？ 第 5页（共 28页） 20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，且 AB＝6，过点 B作⊙O的切线 BM，以点 M为圆心，BM的长为半 径画弧，交⊙O于点 C（不与 B点重合），连接 AC并延长，交 BM的延长线于点 D． （1）求证：MC是⊙O的切线． （2）填空：①当 MC＝ 时，四边形 BOCM是正方形； ②当 MC＝ 时，三角形 CDM是等边三角形． 21．（10分）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周 长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为 4，周长为 m，相邻的两边长为 x、y，则 x•y＝4，2（x+y）＝m，即 y= 4�，y＝﹣x+ � 2， 那么满足要求的（x，y）应该是函数 y= 4�与 y＝﹣x+ � 2的图象在第 象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数 y= 4�（x＞0）的图象； ②在同一平面直角坐标系中直接画出 y＝﹣x的图象，则 y＝﹣x+�2的图象可以看成是由 y＝﹣x的图象 向右平移 个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线 y＝﹣x，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数 y= 4�（x＞0）的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 ， 周长 m的值为 ； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长 m的取值范围． 第 6页（共 28页） （4）【结论运用】 面积为 10的矩形的周长 m的取值范围为 ． 22．（12分）如图，在等腰 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D在线段 BC的中垂线上，连接 BD、 CD． （1）如图 1，若∠BDC＝120°时，连接 AD并延长交 BC于点 F，若 AB＝6，求△ACD的面积； （2）如图 2，连接 AD，若∠ADC＝90°，过点 B作 BE⊥AD于点 G，交 AC于点 H，过点 C作 CE⊥BC 交 BH的延长线于点 E．求证：�� + �� = 2��； （3）在等腰 Rt△ABC内部有一点 P，连接 PA、PB、PC，将△ABP沿直线 AB翻折至△ABP所在平面内 得到△ABQ，连接 CQ，当 1 2 �� + �� + 5 2 ��取得最小值时，请直接写出 �� �� 的值． 第 7页（共 28页） 2023-2024学年广东省深圳实验学校九年级（下）开学数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C C B B A B D 一、单选题（共 10小题，每小题 3分，共 30分） 1．（3分）如果+160元表示增加 160元，那么﹣60元表示（ ） A．增加 100元 B．增加 60元 C．减少 60元 D．减少 220元 【分析】利用相反意义量的定义判断即可． 【解答】解：如果+160元表示增加 160元，那么﹣60元表示减少 60元， 故选：C． 【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键． 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，正确，符合题意； C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合． 第 8页（共 28页） 3．（3分）小强把一个六位数表示成了“35×104”，则用科学记数法表示这个六位数应为（ ） A．3.5×105 B．0.35×106 C．3.5×106 D．350×103 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数．确定 n的值时，要看把 原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可． 【解答】解：35×104＝3.5×105， 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要确定 a的值以及 n的值． 4．（3分）2022年北京冬奥会的单板 U形技巧资格赛中，谷爱凌滑完后，六名裁判打分如下： 成绩 94 96 97 次数 2 3 1 则六名裁判所打分数的中位数为（ ） A．94 B．95.5 C．96 D．97 【分析】根据中位数的定义进行计算即可．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果 数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间 两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【解答】解：将六名裁判所打分数从小到大排列，排在中间的两个数均为 96，故中位数为 96+96 2 =96（分）， 故选：C． 【点评】本题考查中位数，掌握中位数的定义是正确解答的关键． 5．（3分）如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于 E，AE＝EB＝EC＝a，且 a是一元二次方程 x2+2x﹣3 ＝0的根，则平行四边形 ABCD的面积为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】通过解方程求得 a的值，然后利用平行四边形的面积公式来求平行四边形 ABCD的面积． 【解答】解：∵a是一元二次方程 x2+2x﹣3＝0的根， ∴a2+2a﹣3＝0，得 第 9页（共 28页） （a+3）（a﹣1）＝0， 解得，a＝﹣3（不合题意，舍去），或 a＝1， ∴AE＝EB＝EC＝1， ∴BC＝BE+EC＝2， ∴平行四边形 ABCD的面积为：BC•AE＝2×1＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、解一元二次方程﹣因式分解法．解方程时，注意方程的根 a是 正数． 6．（3分）下列计算中，正确的是（ ） A．a2+a3＝a5 B．（a2）5＝（﹣a5）2 C．（a3b2）3＝a6b5 D．a2•a3＝a6 【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐 一判断即可． 【解答】解：A．a2与 a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B．（a2）5＝（﹣a5）2，正确； C．（a3b2）3＝a9b6，故本选项不合题意； D．a2•a3＝a5，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是 解答本题的关键． 7．（3分）下列命题是真命题的是（ ） A．如果 a2＝b2，那么 a＝b B．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 C．两互补的角一定是邻补角 D．如果两角是同位角，那么这两角一定相等 【分析】根据平方的意义，对顶角性质，邻补角概念，同位角概念等逐项判断． 【解答】解：如果 a2＝b2，那么 a＝±b，故 A是假命题，不符合题意； 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故 B是真命题，符合题意； 两互补的角不一定是邻补角，故 C是假命题，不符合题意； 如果两角是同位角，那么这两角可能相等，故 D是假命题，不符合题意； 第 10页（共 28页） 故选：B． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理． 8．（3分）已知甲车行驶 30千米与乙车行驶 40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶 12千米， 若设甲车的速度为 x千米/时，依题意列方程正确的是（ ） A． 30 � = 40 �+12 B． 30 �+12 = 40 � C． 30 �−12 = 40 � D． 30 � = 40 �−12 【分析】首先根据甲车的速度为 x千米/小时，可以表示出乙车的速度为（x+12）千米/小时，再根据甲车 行驶 30千米与乙车行驶 40千米所用时间相同，即可列出相应的分式方程． 【解答】解：甲车的速度为 x千米/小时，则乙车的速度为（x+12）千米/小时， 由题意得： 30 � = 40 �+12 ， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应 的方程． 9．（3分）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬 1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了 1000m，该坡角为 30°，则他耗能（ ）（参考数据： 3 ≈1.732， 2 ≈1.414） A．58J B．159J C．1025J D．1732J 【分析】根据题意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 某人爬了 1000m，该坡角为 30°，则他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025− 32 ）≈159 （J）， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．（3分）如图，正方形 ABCD的边长为 8cm，动点 E从点 C出发沿边 CB向终点 B以 2cm/s的速度运动， 同时动点 F从点 C出发沿边 CD向终点 D以 1cm/s的速度运动．设运动时间为 x（s），当 x＞0 时，以 CE，CF为边作矩形 CFHE，设正方形 ABCD去掉矩形 CFHE 后剩余部分的面积为 y（cm2），则 y与 x 第 11页（共 28页） 之间的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 【分析】分两种情况进行讨论，当 0≤x≤4 时或当 4＜x≤8 时分别表示面积 y与 x的关系式，再利用一 次函数与二次函数的图象进行判断即可． 【解答】解：由题意得：CE＝2x cm，CF＝x cm， ∴DF＝（8﹣x）cm， 当 0≤x≤4时， y＝8×8﹣2x•x＝64﹣2x2， 当 4＜x≤8时， y＝8（8﹣x）＝64﹣8x， ∴y= −2�2 + 64(0 ≤ � ≤ 4) −8� + 64(4＜� ≤ 8) ， 故符合题意的图象为 D． 故选：D． 【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解答的关键是对 x的范围进行讨论，求出相应的函数解析 式． 二、填空题（共 5小题，每小题 3分，共 15分） 第 12页（共 28页） 11．（3分）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30秒，绿灯亮 25秒，黄灯亮 5秒．当你抬头看信 号灯时，是黄灯的概率是 1 12 ． 【分析】根据题意可得：在 1分钟内，红灯亮 30秒，绿灯亮 25秒，黄灯亮 5秒，故抬头看信号灯时， 是黄灯的概率是 5 60 = 1 12 ． 【解答】解：P（黄灯亮）= 560 = 1 12． 故答案为： 1 12 ． 【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 事件 A出现 m种可能，那么事件 A的概率 P（A）= ��． 12．（3分）已知多项式 m2﹣2m+7的值是 16，则多项式 4m2﹣8m﹣7的值为 29 ． 【分析】根据题意可得 m2﹣2m+7＝16，可化为 4m2﹣8m＝36，再代入多项式 4m2﹣8m﹣7中即可得出答 案． 【解答】解：由 m2﹣2m+7＝16， 可得 m2﹣2m＝9， 给等式两边同时乘以 4，即 4m2﹣8m＝36， 则 4m2﹣8m﹣7＝36﹣7＝29． 故答案为：29． 【点评】本题主要考查了代数式的求值，应用整体思想是解决本题的关键． 13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为 75° ． 【分析】由 AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ADB＝90°，又由在同圆或等 圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABD的度数，继而求得∠BAD的度数． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACD＝15°， ∴∠ABD＝∠ACD＝15°， 第 13页（共 28页） ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝75°． 故答案为：75°． 【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直 角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键． 14．（3分）如图，若函数 y＝﹣x与� =− 4�的图象交于 A、B两点，过点 A作 AC垂直于 y轴，垂足为点 C， 则△BOC的面积为 2 ． 【分析】正比例函数与反比例函数图象若有交点，必为两个，且关于原点对称，即△AOC和△BOC是同 底等高的两个三角形，都等于|k|的一半． 【解答】解：依题意：△AOC和△BOC是同底等高的两个三角形，都等于 1 2 |k|＝2． 故△BOC的面积为 2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了反比例函数 � = ��中 k的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x轴、y轴垂线， 所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S的关 系即 S= 12|k|． 15．（3分）如图，点 E是正方形 ABCD边 AB上的一点，已知∠DEF＝45°，EF分别交边 AC，CD于点 G， F，且满足 AG•DF＝3 2，则 EG的长为 3 ． 【分析】先判定 A、E、G、D四点共圆，从而得出是等腰直角三角形，则�� = 2��，再证明，得出 �� �� = �� �� ， 即�� ⋅ �� = �� ⋅ �� = 3 2，把 EG＝DG，�� = 2��代入即可求出 EG的长． 第 14页（共 28页） 【解答】解：∵正方形 ABCD， ∴∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAC＝∠CAD＝45°， ∵∠DEF＝45°， ∴∠DEG＝∠CAD， ∴A、E、G、D四点共圆，如图， ∴∠DGE＝180°﹣∠EAD＝180°﹣90°＝90°， ∵∠DEF＝45°， ∴∠DEG＝∠EDG＝45°， ∴EG＝DG，�� = 2��， ∴∠DGF＝90°， ∴∠GFD+∠GDF＝90°， ∵∠ADG+∠GDF＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠GFD， ∵∠DEG＝∠GAD＝45°， ∴ �� �� = �� �� ，即 DG•ED＝AG•DF＝3 2， ∵EG＝DG，�� = 2��， ∴EG• 2EG＝3 2， ∴ED＝EG= 3， 故答案为： 3． 【点评】本题考查正方形的性质，四点共圆，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理， 相似三角形的判定与性质，得出 A、E、G、D四点共圆是解题的关键． 三、解答题（共 7小题，第 16，17题 5分，第 18题 7分，第 19，20题 8分，第 21题 10分，第 22题 12 分.共 55分） 16．（5分）计算：( − 1)2024 + ( 12 ) −1 − 2024 ÷ (2024 − �)0． 第 15页（共 28页） 【分析】先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，然后计算加减法即可． 【解答】解： ( − 1)2024 + ( 12 ) −1 − 2024 ÷ (2024 − �)0 ＝1+2﹣2024 ＝﹣2021． 【点评】本题主要考查了实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是关键． 17．（5分）先化简，再求值(� + 2) ÷ (4 + 4+� 2 � )，其中 x＝2023． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最 简结果，把 x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝（x+2）÷ 4�+4+� 2 � ＝（x+2）• � (�+2)2 = ��+2， 当 x＝2023时，原式= 20232025． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（7分）秦岭和合南北、泽被天下，是我国的中央水塔，是中华民族的祖脉和中华文化的重要象征．保 护好秦岭，就是保护我们的家园．某校组织全校学生进行了一场“保护秦岭生态环境”的知识竞答活动， 根据竞答结果，随机抽取了 200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为 100分，大于 80分的为优秀） 进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表． 200名学生知识竞答成绩频数表 组别 频数 频率 A组（60.5～70.5） a 0.3 B组（70.5～80.5） 30 0.15 C组（80.5～90.5） 50 b D组（90.5～100.5） 60 0.3 第 16页（共 28页） 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接写出 a＝ 60 ，b＝ 0.25 ；并将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取的 200名学生竞答成绩的中位数落在 C 组； （3）若该校共有 1000名学生，请估计本次知识竞答成绩为“优秀”的学生人数． 【分析】（1）根据抽查总人数与 B、C、D组的人数求出 a值，根据频率等于频数除以总数运用 C组人 数与抽查总人数求出 b的值； （2）根据中位数是抽查总人数按从小到大排序第 100 与第 101 位置的数的平均数，推导第 100个与第 101个数落在的数据组； （3）根据学校的学生数与 8（0分）以上的分率求出优秀人数． 【解答】解：（1）a＝200﹣30﹣50﹣60＝60，b＝50÷200＝0.25； 补全频数分布直方图如下： 故答案为：60；0.25； （2）∵60+30＜100，60+30+50＞101， ∴中位数落在 C组， 故答案为：C； （3）1000×（0.25+0.3）＝550（名）， 第 17页（共 28页） 答：本次知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数为 550名． 【点评】本题主要考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，频数（率）分布表，中位数，解决 问题的关键是熟练掌握频率与频数的关系，频数分布表与频数分布直方图的特征和互补性，中位数的意 义及计算方法，运用频数分布表对全部进行估计． 19．（8分）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，2019年猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统 计：2019年 12月份猪肉价格比 2019年年初上涨了 30%，某市民 2019年 12月 3日在某超市购买 1千克 猪肉花了 52元． （1）问：2019年年初猪肉的价格为每千克多少元？ （2）某超市将进货价为每千克 39元的猪肉，按 2019年 12月 3日价格出售，平均一天能销售出 100千 克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降 1元，其日销售量就增加 10千克，超市为了实现销售猪肉每天 有 1320元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？ 【分析】（1）设 2019年初猪肉的价格为每千克 x元，根据增长率问题得出关于 x的一元一次方程，解之 即可得出结论； （2）设猪肉的售价应该下降 y元，则每日可售出（100+10y）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售 数量，即可得出关于 y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设今年年初猪肉的价格为每千克 x元， 依题意，得：（1+30%）x＝52， 解得：x＝40． 答：今年年初猪肉的价格为每千克 40元； （2）设猪肉的售价应该下降 y元，则每日可售出（100+10y）千克， 依题意，得：（52﹣39﹣y）（100+10y）＝1320， 整理，得：y2﹣3y+2＝0， 解得：y1＝2，y2＝1． ∵让顾客得到实惠， ∴y＝2． 答：猪肉的售价应该下降 2元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系， 正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，且 AB＝6，过点 B作⊙O的切线 BM，以点 M为圆心，BM的长为半 第 18页（共 28页） 径画弧，交⊙O于点 C（不与 B点重合），连接 AC并延长，交 BM的延长线于点 D． （1）求证：MC是⊙O的切线． （2）填空：①当 MC＝ 3 时，四边形 BOCM是正方形； ②当 MC＝ 3 时，三角形 CDM是等边三角形． 【分析】（1）连接 OC，OM，证明△OBM≌△OCM（SSS），由全等三角形的性质得出∠OBM＝∠OCM， 由切线的性质得出∠OBM＝90°，得出 OC⊥CM，则可得出结论； （2）①证出 MC＝BM＝OB＝OC，根据菱形的判定得出四边形 BOCM为菱形，则可得出结论； ②证出 BM＝CM＝DM，求出 BD的长，得出∠D＝60°，由等边三角形的判定可得出结论． 【解答】（1）证明：连接 OC，OM， 由画图可知 BM＝CM， 在△OBM和△OCM， �� = �� �� = �� �� = �� ， ∴△OBM≌△OCM（SSS）， ∴∠OBM＝∠OCM， 又∵BM是圆 O的切线， ∴OB⊥BM， ∴∠OBM＝90°， ∴∠OCM＝90°， ∴OC⊥CM， ∵OC为半径， ∴MC是⊙O的切线． 第 19页（共 28页） （2）解：①当 CM＝3时，四边形 BOCM是正方形． ∵MC＝BM＝3，OB＝OC＝3， ∴MC＝BM＝OB＝OC， ∴四边形 BOCM为菱形， 又∵∠OBM＝90°， ∴四边形 BOCM为正方形； 故答案为 3． ②当 CM= 3时，三角形 CDM是等边三角形． 连接 BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∵CM＝BM= 3， ∴∠BCM＝∠CBM， ∵∠BCM+∠CMD＝90°，∠CBM+∠D＝90°， ∴∠CMD＝∠D， ∴CM＝DM， ∴BM＝DM， ∴BD＝2 3， ∴tanD= ���� = 6 2 3 = 3， ∴∠D＝60°， ∵CM＝DM， ∴△CDM为等边三角形． 故答案为 3． 【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定 与性质和菱形、正方形的判定方法；熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 第 20页（共 28页） 21．（10分）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周 长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为 4，周长为 m，相邻的两边长为 x、y，则 x•y＝4，2（x+y）＝m，即 y= 4�，y＝﹣x+ � 2， 那么满足要求的（x，y）应该是函数 y= 4�与 y＝﹣x+ � 2的图象在第 一 象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数 y= 4�（x＞0）的图象； ②在同一平面直角坐标系中直接画出 y＝﹣x的图象，则 y＝﹣x+�2的图象可以看成是由 y＝﹣x的图象 向右平移 � 2 个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线 y＝﹣x，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数 y= 4�（x＞0）的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 （2，2） ， 周长 m的值为 8 ； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长 m的取值范围． （4）【结论运用】 面积为 10的矩形的周长 m的取值范围为 m≥4 10 ． 【分析】（1）由 x＞0，y＞0，可得（x，y）在第一象限； （2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出 y＝﹣x+�2与 x轴的交点坐标，即可求解； 第 21页（共 28页） （3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图 象可求解； （4）联立方程组，可得 2x2﹣mx+20＝0，由根的判别式可求解． 【解答】解：（1）∵x，y都是边长，周长为 m， ∴x＞0，y＞0，m＞0， ∴满足要求的（x，y）应该是函数 y= 4�与 y＝﹣x+ � 2的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①y=− 4�的图象如图所示： ②y＝﹣x的图象如图所示， ∵y＝﹣x+�2与 x轴的交点为（ � 2 ，0）， ∴y＝﹣x+�2的图象可以看成是由 y＝﹣x的图象向右平移 � 2 个单位长度得到， 故答案为： � 2 ； （3）①联立方程组可得： � =− � +�2 � = 4� ， 整理得：x2− 12mx+4＝0， ∵两图象有唯一交点， ∴Δ= 14m 2﹣16＝0， ∴m＝8， 第 22页（共 28页） ∴x2− 12 ×8x+4＝0， 解得：x＝2， ∴交点坐标为（2，2）， 故答案为：（2，2），8； ②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8；1个交点时，m＝8； （4）设相邻的两边长为 x、y，则 x•y＝10，2（x+y）＝m，即 y= 10� ，y＝﹣x+ � 2， 联立方程组可得： � = 10� � =− � +�2 ， 整理得：2x2﹣mx+20＝0， ∵两函数有交点， ∴Δ＝m2﹣4×2×20≥0， ∴m≥4 10． 【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探 究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大． 22．（12分）如图，在等腰 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D在线段 BC的中垂线上，连接 BD、 CD． （1）如图 1，若∠BDC＝120°时，连接 AD并延长交 BC于点 F，若 AB＝6，求△ACD的面积； （2）如图 2，连接 AD，若∠ADC＝90°，过点 B作 BE⊥AD于点 G，交 AC于点 H，过点 C作 CE⊥BC 交 BH的延长线于点 E．求证：�� + �� = 2��； （3）在等腰 Rt△ABC内部有一点 P，连接 PA、PB、PC，将△ABP沿直线 AB翻折至△ABP所在平面内 得到△ABQ，连接 CQ，当 1 2 �� + �� + 5 2 ��取得最小值时，请直接写出 �� �� 的值． 第 23页（共 28页） 【分析】（1）过 D作 DE⊥BC，交 BC于 E，可求 BE＝3，由 DE＝BE•tan∠DBC 可求 DE，再根据 S△ACD ＝S△ABC﹣S△ABD﹣S△BCD即可求解； （2）在线段 AF上截取 FM＝EH，过 C点作 CN⊥BE，交 BE于 N，可证△ABE≌△BCE，从而可证△ ABE≌△BCE，再证四边形 CDGN是矩形和△BGM≌△CNH，即可得证； （3）过 C作 CD⊥PC，使�� = 12��，作 CE⊥AC，使�� = 1 2��，可证△DCE∽△PCA，可得�� = 1 2��， 当 B、P、D、E在一条直线上时，BP+PD+DE 的值最小，即 1 2 �� + �� + 5 2 �� 的值最小；再过 C作 CS⊥BE，交 BE于 S，过 E作 ER⊥BC交 BD的延长线于 R，过 Q作 QT⊥CB，交 CB的延长线于 T，可 证△CBS∽△EBR，从而可求 �� = 1010 � 2，可证△APB≌△BCS，可得�� = 1010 �，证△BTQ∽△BRE， 设 QT＝m，可求 � = 110 �，可求 �� = 11 10 � �� = 170 10 �． 【解答】（1）解：如图，过 D作 DE⊥BC，交 BC于 E， ∵D点在 BC的中垂线上， ∴BD＝CD， ∵∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵AB＝BC， ∴�� = 12�� = 3， ∴DE＝BE•tan∠DBC= 3 × 33 = 3， ∠ABC＝90°， ∴DE∥AB， ∴S△ACD＝S△ABC﹣S△BDD﹣S△BCD =− 12�� 2 − 12�� ⋅ �� − 1 2�� ⋅ �� = 12 ×6 2− 12 ×6×3− 1 2 ×6× 3 第 24页（共 28页） ＝9﹣3 3； （2）证明：在线段 AF上截取 FM＝EH，过 C点作 CN⊥BE，交 BE于 N，如图： ∠ABC＝90°，BE⊥AD，AB＝BC， ∴∠BCE＝∠ABC＝∠BGM＝90°，∠BCA＝45°， ∴∠FBG+∠ABG＝90°，∠FBG+∠BFG＝90°，∠ECH＝45°， ∴∠ABG＝∠BFG， ∵EC⊥BC， ∴AB∥EC， ∴∠ABG＝∠CEH， ∴∠BFG＝∠CEH，即∠BFM＝∠CEH， 在△ABE和△BCE中， ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� ， ∴△ABE≌△BCE（ASA）， ∴BF＝CE， 在△BFM 和△CEH中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△BFM≌△CEH（SAS）， ∴∠FBM＝∠ECH＝45°，∠BMF＝∠CHE，BM＝CH， ∵D在 BC的中垂线上， ∴BD＝CD， ∴∠DBC＝∠BCD， 第 25页（共 28页） ∵AD⊥CD， ∴∠DGN＝∠CDG＝∠CNG＝90°， ∴四边形 CDGN是矩形， ∴DG＝CN，GN∥CD， ∴∠CHE＝∠DCH， ∴∠CHE＝45°+∠DCB， ∴∠BMF＝45°+∠DCB， ∵∠DBM＝∠FBM+∠DBC＝45°+∠DBC， ∴∠DBM＝∠BMD， ∴BD＝DM， 在△BGM 和△CNH 中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△BGM≌△CNH（AAS）， ∴BG＝CN， ∴BG＝DG， ∴BD= 2BG， ∴DM= 2BG， ∴DF+FM= 2BG， ∴EH+DF= 2BG； （3）解：如图，过 C作 CD⊥PC，使 �� = 12��，作 CE⊥AC，使 �� = 1 2��， ∴PD= ��2 + ��2 = 52 PC'， ∠ACD+∠DCE＝90°， ∠ACD+∠ACP＝90°， 第 26页（共 28页） �� �� = �� �� = 1 2 ， ∴∠DCE＝∠PCA， ∴∠DCE＝∠PCA， ∴△DCE∽△PCA， ∴ �� �� = �� �� = 1 2 ， ∴DE= 12PA， 如图，当 B、P、D、E在一条直线上时，BP+PD+DE 的值最小，即 1 2 �� + �� + 5 2 �� 的值最小， 如图，过 C作 CS⊥BE，交 BE于 S，过 E作 ER⊥BC交 BD的延长线于 R，过 Q作 QT⊥CB，交 CB的 延长线于 T， ∴∠QPB＝∠BSC＝∠CRE＝90°， ∴∠ECR＝∠BCA＝45°， ∴∠ECR＝∠CER， ∴CR＝ER， 设 AB＝BC＝x，则�� = 2�， ∴�� = 22 �′ ∴CR＝ER= 12x， ∴�� = �� + �� = 32 �， ∴BE= ��2 + ��2 = 102 x， 第 27页（共 28页） ∵∠CBS＝∠EBR， ∴△CBS∽△EBR， ∴ �� �� = �� �� ， ∴ �� 1 2� = � 10 2 � ， ∴CS= 1010 x， ∵△DCE∽△PCA， ∴∠CED＝∠CAP， ∵∠CED+∠SKC＝90°，∠SKC＝∠AKP， ∴∠CAP+∠AKP＝90°， ∴∠APB＝∠APK＝90°， ∴∠APB＝∠CSB， ∵∠ABP+∠CBP＝90°， ∠CBP+∠BCS＝90°， ∴∠ABP＝∠BCS， 在△APB 和△BCS 中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△APB≌△BCS（AAS）， ∴BP＝CS= 1010 x， 由翻折得：�� = �� = 1010 �，∠ABQ＝∠ABP， ∵∠TBQ+∠ABQ＝90°， ∴∠TBQ＝∠RBE， ∵∠BTQ＝∠BRE＝90°， ∴△BTQ∽△BRE， ∴ �� �� = �� �� = 1 3 ， 设 QT＝m，则 BT＝3m， ∵QT2+BT2＝BQ2， 第 28页（共 28页） ∴�2 + (3�)2 = ( 1010 �) 2， 解得：� = 110 �， ∴�� = 310 �， ∴�� = �� + �� = 1310 �， CQ= ��2 + ��2 = ( 110 �) 2 + ( 1310 �) 2 = 17010 x， ∴ �� �� = 170 10 � � = 170 10 ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定 理，翻折的性质，动点线段和最小问题等，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解 题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/7 9:22:30；用户：深圳中考数学、物理；邮箱：bjss01@xyh.com；学号：21351486