精品解析：北京市密云区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2025北京密云高一（上）期末 数学 2025.1 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据交集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，. 故选：C 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时， 一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论， 所以，全称命题的否定为特称命题， 故选：A. 3. 一元二次不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分解因式，再求得不等式的解集. 【详解】由可得， 故得. 故选：B. 4. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A和D，利用作差法排除；对于B，利用不等式性质推理排除；对于C，利用基本不等式可推理得到. 【详解】对于A，由，因，故得，即A错误； 对于B，由两边同除以，可得 ，故B错误； 对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确； 对于D，由，因，故得，故D错误. 故选：C. 5. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. (0， 1) B. (1， 2) C. (2，3) D. (3， ) 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理,把选项代入验证即可. 【详解】因为函数是减函数,又,, 所以,由零点存在性定理可得, 包含零点的区间(2，3). 故选：C 6. “是等腰三角形”是“是等边三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”， 又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”， 所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件， 故选：B. 7. 在平面直角坐标系中，角α以为始边，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式求解即可. 【详解】角α以为始边，终边经过点， 所以， 所以， 故选：B. 8. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（ ） A. 函数的定义域是 B. 函数是增函数 C. 当时，有最大值 D. 函数的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据可得，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 作出的图象，如图， 由图可知，函数在上单调递增， 所以当时取到最大值，为，故D正确. 故选：D 9. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．若每天学习的“进步率”都是1%，记一年后学习的“进步值”为，每天学习的“退步率”都是1%，记一年后学习的“退步值”为，则一年后学习的“进步值”约为学习的“退步值”的1481倍．若学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍，则至少需要经过的天数约为（ ） 参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010． A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】设经过的天数为天，依题得方程，运用两边取对数和对数的运算性质化简，代入近似值计算即得. 【详解】设经过天后，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍， 由题意，可得，化简得， 两边取常用对数，可得：， 即大约经过70天，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍. 故选：C. 10. 已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数与方程的思想，将有四个不同的零点转化为函数与有四个不同的交点，作出图象，求得，利用对称性得，根据函数的图象特征可得，，借助于对勾函数的单调性即可求得的取值范围. 【详解】 由函数有四个不同的零点，可知函数与有四个不同的交点， 设这四个交点的横坐标从小到大依次为，如图所示，则，可得， 因点关于直线对称，故； 由可得， 则有，且，即得， 于是，， 因函数在上单调递减，故可得， 则的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛： 解题的关键有二：其一，一般应将函数的零点情况转化为两函数图象的交点情况，数形结合处理；其二，要注意图象的对称性和翻折变化蕴含的结论，由此求得等量关系和自变量范围. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知扇形的圆心角是1弧度，半径为2，则扇形的弧长为_______，面积为_______． 【答案】 ①. 2 ②. 2 【解析】 【分析】利用扇形得弧长，和扇形的面积求解即可. 【详解】 扇形弧长为 扇形面积 故答案为：2，2. 12. 计算：_______；_______．（用数字作答） 【答案】 ①. 2 ②. 3 【解析】 【分析】空一可利用分数指数幂的运算求解；空二利用对数的运算法则求解. 【详解】; . 故答案为： 13. 函数的定义域是_______；最小正周期是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】略 【详解】略 14. 已知函数，则的最小值等于_______． 【答案】5 【解析】 【分析】凑项利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由，因，故， 因，当且仅当时，即时等号成立， 即当时，取得最小值为5. 故答案为：5. 15. 如图，太极图通常被描绘为一个圆形图案，中间有一条S形曲线将圆形图案分为两部分，体现了数学的“对称美”．已知O为坐标原点，若函数的图象将圆O的圆周二等分，并且将这个圆及其内部分成面积相等的两部分，则记为圆O的一个“太极函数”．给出下列四个结论： ①对于圆O，它的“太极函数”有无数个； ②函数是圆O的一个“太极函数”； ③函数是圆O的一个“太极函数”； ④函数是圆O的一个“太极函数”． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案. 【详解】①：圆O，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，所以对于任意一个圆,其“太极函数”不止1个，故①正确； ②：由于函数， 当时，，则， 当时，,则，故为偶函数， 故根据对称性可知函数不是圆O的一个“太极函数”，故②错误； ③：函数定义域为，，也是奇函数， 故为圆O的一个“太极函数”，故③正确； ④：函数定义域为，，故为奇函数， 故函数是圆O的一个“太极函数”，故④正确. 故选：①③④ 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题在新环境下研究旧性质主要是将新性质应用在旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知集合，． （1）求集合； （2）当时，求； （3）若，写出一个符合条件的m的值． 【答案】（1）或 （2） （3）(区间里的任何实数都符合) 【解析】 【分析】（1）根据补集定义易得； （2）利用并集的定义易得； （3）根据条件可得，从而得不等式组，求出的范围，依题只需在范围内取任何实数都符合. 【小问1详解】 由可得或； 【小问2详解】 当时，，则； 【小问3详解】 由可得.， 因恒成立，故； 要使，需使， 解得，故区间里的任何实数都符合. 17. 已知，. （1）求的值； （2）求的值； （3）将的终边绕原点按逆时针方向旋转后得到角的终边，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系求出，解两角和正弦公式计算即可求解； （2）根据二倍角的余弦公式计算直接得出结果； （3）由题意可得，结合同角的商数关系即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 所以； 【小问2详解】 由题意知，； 【小问3详解】 将的终边绕原点按逆时针方向旋转后得到角的终边， 则， 所以. 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用整体代换法计算即可求解； （2）根据正弦函数的图象与性质即可求解. 【小问1详解】 由，，得， 所以的增区间为. 【小问2详解】 由，得， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以当即时，取到最小值，为； 当即时，取到最大值，为； 19. 已知函数． （1）解关于x的不等式：； （2）当时，恒成立，试确定实数m的取值范围． 【答案】（1） 当时，不等式的解集为或； 当时， 不等式的解集为 ； 当时， 不等式的解集为或； （2） 【解析】 【分析】（1）由原不等式可得 ， 对分三种情况讨论 ，分别利用二次不等式的解法即可得解； （2） 恒成立等价于 在区间 上恒成立，令 ，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ，即为 ， 即可得 ， 令可得或， 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或， 综上，当时，不等式的解集为或； 当时， 不等式的解集为 ； 当时， 不等式的解集为或； 【小问2详解】 因为当 时， 恒成立， 即当 时， 恒成立， 即当 时， 恒成立， 设函数 ， 则 在区间 上单调递减， 所以 在区间 上的最小值为 ， 所以 ， 故实数 的取值范围为 20. 已知函数． （1）当时，证明：为偶函数； （2）当时，直接写出的单调性，并解不等式； （3）当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当a=1时，f(x)=ex+e−x，f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称， 因为，所以是偶函数； （2）在上递增，不等式解集为 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）当时，利用函数奇偶性定义可证明为偶函数； （2）当时，根据指数函数的单调性可得的单调性，将不等式化为，再利用函数的单调性求解即可； （3）当时，根据基本不等式求出函数的最小值，再根据的最小值为4，列方程求解即可， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 因为都是R上的单调递增函数， 所以在上递增， 不等式，即， 所以， 即不等式的解集为； 【小问3详解】 当时，，且， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为的最小值为4，所以， 即存在，使得的最小值为4. 21. 已知集合A包含有个元素，． （1）若，写出； （2）写出一个，使得； （3）当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合. 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中的元素即得； （2）根据条件分析集合中的元素性质即得； （3）根据题意可得出不存在这样的集合，利用反证法证明即可. 【小问1详解】 因，， 则都是中的元素， 故； 【小问2详解】 取，此时，符合； 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题主要考查集合新定义的应用问题，属于难题. 解题应从集合新定义的规定入手，吃透其内涵，经常遵循从特殊到一般的思维方式，有时需要从反面角度考虑，运用反证法予以证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京密云高一（上）期末 数学 2025.1 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. (0， 1) B. (1， 2) C. (2，3) D. (3， ) 6. “是等腰三角形”是“是等边三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在平面直角坐标系中，角α以为始边，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（ ） A. 函数的定义域是 B. 函数是增函数 C. 当时，有最大值 D. 函数的最大值是 9. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．若每天学习的“进步率”都是1%，记一年后学习的“进步值”为，每天学习的“退步率”都是1%，记一年后学习的“退步值”为，则一年后学习的“进步值”约为学习的“退步值”的1481倍．若学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍，则至少需要经过的天数约为（ ） 参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010． A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 10. 已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知扇形的圆心角是1弧度，半径为2，则扇形的弧长为_______，面积为_______． 12. 计算：_______；_______．（用数字作答） 13. 函数的定义域是_______；最小正周期是_______． 14. 已知函数，则的最小值等于_______． 15. 如图，太极图通常被描绘为一个圆形图案，中间有一条S形曲线将圆形图案分为两部分，体现了数学的“对称美”．已知O为坐标原点，若函数的图象将圆O的圆周二等分，并且将这个圆及其内部分成面积相等的两部分，则记为圆O的一个“太极函数”．给出下列四个结论： ①对于圆O，它的“太极函数”有无数个； ②函数是圆O的一个“太极函数”； ③函数是圆O的一个“太极函数”； ④函数是圆O的一个“太极函数”． 其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知集合，． （1）求集合； （2）当时，求； （3）若，写出一个符合条件的m的值． 17. 已知，. （1）求的值； （2）求的值； （3）将的终边绕原点按逆时针方向旋转后得到角的终边，求的值． 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 19. 已知函数． （1）解关于x的不等式：； （2）当时，恒成立，试确定实数m的取值范围． 20. 已知函数． （1）当时，证明：为偶函数； （2）当时，直接写出的单调性，并解不等式； （3）当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 21. 已知集合A包含有个元素，． （1）若，写出； （2）写出一个，使得； （3）当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $