精品解析：浙江省杭州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年浙江省杭州市高二上学期1月期末考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆，则椭圆C的焦距为（ ） A. B. 10 C. 3 D. 6 3. 从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（ ） A B. C. D. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，，，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7. 在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 10 8. 设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆的半径，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. A，B，C三点共线 C. D. 在上投影向量为 10. 已知圆，圆，则下列说法正确是（ ） A. 圆，恒有公共点 B. 圆，至多有三条公切线 C. 若圆平分圆的周长，则 D. 若圆平分圆的周长，则的最小值为9 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，M，N为C上关于原点对称的两点(与C的顶点不重合)，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的方程为 B. C. 直线BM与BN的斜率乘积为 D. 的面积随周长变大而变大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为__________ 13. 如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,平面.若,则直线与平面所成的角的大小为________ 14. 设，是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q的一种折线距离已知，Q是曲线上一点，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，内角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长. 16. 已知定义在上的函数是偶函数. （1）求a的值； （2）当时，函数最小值为，求的值. 17. 在三棱锥中，平面ABC，，， （1）求证：平面平面 （2）若二面角的余弦值为，求PA的长度. 18. 已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. （1）求抛物线的方程; （2）若，求的值; （3）若抛物线上存在两点，关于直线对称，求取值范围. 19. 17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，直线与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 （1）求曲线E的方程; （2）求的取值范围; （3）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省杭州市高二上学期1月期末考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合B，再根据并集的定义运算即可. 【详解】集合，， 所以 故选：A 2. 已知椭圆，则椭圆C的焦距为（ ） A. B. 10 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程即可直接求解． 【详解】由，可得， 即，即， 即椭圆C的焦距为 故选： 3. 从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人的基本事件有： （甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10种， 甲被选中的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4种， 所以甲被选中的概率为， 故选：B. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于的关系式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】解：当时，直线为与平行. 当直线与直线平行时 且，解得. 故“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】当时，. 故选：C 6. 在平行六面体中，，，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据空间向量表示，再应用空间向量的数量积运算律计算求解. 【详解】如图所示： 因为六面体是平行六面体， 所以， 则， 由，，，，，设， 故有：， 所以， 得，解得负值舍去 故 故选：B. 7. 在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】设点E关于直线l的对称点为，则可转化为，而，通过求对称点为的坐标结合两点间距离即可求解. 【详解】解：根据题意，设点E关于直线l的对称点为，则， ， 当、P、Q三点共线时，取得最小值， 则， 又由，设点， 则，解得， 则， 圆，其圆心为，半径， 则， 故 故选：C. 8. 设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆的半径，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，首先求出，结合及通过运算得到，再利用之间的关系得到离心率.即可判断. 【详解】解：由题可得双曲线的渐近线方程为：，即， 设右焦点，其到渐近线的距离为， ， 内切圆的半径， 如图， 又因为的内切圆的半径， 得，∴得， 上式两边平方得，，即， ∴，即， 故双曲线C的离心率为 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. A，B，C三点共线 C. D. 在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量得出A选项，根据空间向量的平行得出B选项，根据空间向量数量积判断C，应用投影向量公式计算判断D. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，，不存在实数，使得， 所以三点不共线，故B错误； 对于C，，， 由， 即与不垂直，故C错误； 对于D，因，， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆，恒有公共点 B. 圆，至多有三条公切线 C. 若圆平分圆的周长，则 D. 若圆平分圆周长，则的最小值为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两圆方程的常数项都为0，可知两圆都过原点，且知两圆一定不外离，由此判断A、B；由题中条件，得到公共弦所在直线过点，求出公共弦所在直线方程并代入点列出方程即可判断C；利用C中得到的的关系将转化为二次函数即可求解判断D. 【详解】解：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 对于A，圆和圆都一定过原点，则圆，恒有公共点，故A正确； 对于B，由选项A可得两圆一定不外离，所以公切线至多有三条，所以B正确; 对于C，圆平分圆的周长，则两圆的公共弦必过圆的圆心， 联立，整理可得， 所以，即，所以C不正确; 对于D，由C可得，即， 所以， 当时的最小值为9，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，M，N为C上关于原点对称的两点(与C的顶点不重合)，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的方程为 B. C. 直线BM与BN的斜率乘积为 D. 的面积随周长变大而变大 【答案】AC 【解析】 【分析】由离心率、椭圆上顶点坐标可判断A；由椭圆对称性知 为平行四边形得， 利用基本不等式可判断B；设，则，由 可判断C；设，则的周长为，面积为，根据的变化可得的周长、面积的变化可判断D. 【详解】对于A，由顶点为知，由离心率为知， 又，解得 ，故椭圆方程为：，故A正确； 对于B，如图，连接 ， 由椭圆对称性知 为平行四边形，即， 故， ， 当且仅当即，时等号成立，故B错误； 对于C，设，则，又 ， 所以 ， 因为点在椭圆上，所以 ， 所以，故C正确； 对于D，由选项B可知：， 设，则， 的周长为， 的面积为， 由对称性，不妨设M在第一象限， 故周长随的增大而减小，的面积随的增大而增大， 即 的面积随周长变大而变小，D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用椭圆对称性及定义推导出为平行四边形是本题关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为__________ 【答案】 【解析】 【分析】借助倾斜角与斜率的关系计算即可得. 【详解】因为直线方程为，即， 所以直线的斜率， 所以倾斜角， 故答案为：. 13. 如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,平面.若,则直线与平面所成的角的大小为________ 【答案】 【解析】 【分析】如图所示：将四棱锥放入边长为的正方体内，故为直线与平面所成的角，根据长度关系得到答案. 【详解】如图所示：将四棱锥放入边长为的正方体内. 连接相交于，易知：，故平面 故为直线与平面所成的角 中：，故 故答案为： 【点睛】本题考查了线面角，将四棱锥放入边长为的正方体内是解题的关键. 14. 设，是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q的一种折线距离已知，Q是曲线上一点，则的最小值为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得表达式，对其求导并令导数为0，分类讨论可得结果. 【详解】解：设，， 由题意知折线距离， 由于点Q在双曲线上，且， 要求的最小值，结合曲线的对称性，此时， 所以，， ①当时，即， 将y代入折线距离公式，得到 对求导， 令，解得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此，当时，取得最小值，最小值为3； ②当时，即， 将y代入折线距离公式，得到， 对求导， 所以当时，单调递增， ③当时，，； 综上取得最小值，最小值为 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，内角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【小问1详解】 由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 16. 已知定义在上的函数是偶函数. （1）求a的值； （2）当时，函数的最小值为，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，由此求得的值. （2）利用换元法化简的表达式，对进行分类讨论，根据的最小值求得的值. 【小问1详解】 是偶函数，， 即，即，； 【小问2详解】 由（1）可知，，  ， 令，由，可得， 上述函数转化为， 当时，在上单调递增， 当时，，，满足题意； 当时，在上单调递减， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，显然不合题意， 综上所述： 17. 在三棱锥中，平面ABC，，， （1）求证：平面平面 （2）若二面角的余弦值为，求PA的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAC，即可在证明平面PAC⊥平面PBC； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用二面角A-PB-C的余弦值列方程求解即可． 【小问1详解】 在中，，，， ，可得，，， 平面ABC，平面ABC，， ，，，CA，平面PAC，平面PAC， 平面PBC，平面平面PBC； 【小问2详解】 以CB，CA所在的直线为x，y轴，C为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，， 设，则， ，，， 设平面APB和平面PBC的法向量分别为，， 则，即，令，可得， 同理，即，令，可得， 显然二面角的平面角为锐角，记为， ，即， 或舍去，故 18. 已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. （1）求抛物线的方程; （2）若，求的值; （3）若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由准线方程求出，即可得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可； （3）设，，当时显然不成立，当时，由得到，从而得到中点的纵坐标，即可求出中点的横坐标，即可得到，即可得到关于的方程有实根，由求出参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意，，抛物线的方程为； 【小问2详解】 由题意，整理得，设，， 则， ，， ，整理可得， ，解得； 【小问3详解】 设，，  若，则，易得此时不合题意； 若，由于，关于直线对称，故，可得， 中点的纵坐标为， 将其代入中，可得， 又，化简可得， ，且， 化简可得，要使得上述关于的方程有实根， 当时不合题意， 则，故，或， 即的取值范围为或. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，直线与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 （1）求曲线E的方程; （2）求的取值范围; （3）求证： 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程并化简即可求出P的轨迹方程； （2）利用两点间的距离公式，消元转化，再结合曲线的性质特征求解即可； （3）利用点差法、斜率公式和中点公式，再结合曲线的性质特征求解即可； 【小问1详解】 由题意， 整理可得， 曲线E的方程为； 【小问2详解】 ， 由曲线E的方程可知， ，即， 解得，， ， 的取值范围为； 【小问3详解】 设，，， 由题意可知， 则， ， 由题意可知， ， 由题意，， ， 由可知，， 则，， ， ， 点睛】方法点睛：涉及中点弦问题，利用点差法列式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$