第十章 分式章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十章 分式章末重点题型复习 题型一 分式的求值 题型二 分式有（无）意义的条件求值 题型三 分式值的正、负确定字母的取值范围 题型四 根据分式的基本性质进行恒等变形 题型五 分式化简求值 题型六 分式加减乘除混合运算 题型七 分式方程无解问题 题型八 分式方程增根问题 题型九 分式的规律性问题 题型十 分式方程新定义运算 题型十一 分式在探究问题中的综合应用 题型十二 分式方程的实际应用 题型一 分式的求值 1．已知，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求出x，y的值，再代入所求式子后用裂项计算即可． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴，，且， ∴，，且， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、绝对值的非负性，解答本题的关键是明确题意，求出x、y的值． 2．多项式，多项式（其中，，，，均为常数），下列说法中正确的个数是（   ） ①若多项式与的乘积中不含项，则； ②； ③若，则当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减与乘法，分式的运算．先根据多项式的乘法法则求出的值，再根据乘积中不含项即可判断①；分别求出当和时，的值，由此即可判断②；由题意得到，整理得，，据此计算即可求解判断③． 【详解】解： ， 多项式与的乘积中不含项， ， 解得，说法①正确； 当时，，即 当时，， 则，说法②正确； 若，则当时，， 当时，， ∴， 等式两边同时除以得，，即， ∴，即， ∵， ∴，说法③正确； 故选：D． 3．已知时，多项式的值为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，得出是解题的关键． 根据已知条件得出，又，进而得出，,，进而即可求解． 【详解】解：∵时，多项式的值为， ∴， ∴ 即 ∴ 即， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：5． 5．新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键． 类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解； 拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可． 【详解】解：类比探究：由，知， ，即， ， ， ． 拓展延伸：∵，，， ，且， ． ， ． 6．一个四位自然数t，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位自然数t为“公能数”．“公能数”t的十位数字的3倍与百位数字及个位数字的和记为；“公能数”t的千位数字与3的差记为，记． 例如：∵对9574，，；∴9574是“公能数”． ∵， ∴． 又如：∵对4061，，；∴4061不是“公能数”． (1)请判断8430，6352是否为“公能数”？并说明理由；如果是，请求出对应的的值； (2)若一个“公能数”t，它的百位数字不超过3，且能被11整除时，求出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)8430是“公能数”，；6352不是“公能数” (2)， 【分析】（1）根据功能数的定义进行判断即可，根据题意求出的值即可； （2）设（，，且a，b为整数），则，，，然进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵对8430，，， ∴8430是“公能数”． ∵，， ∴， ∵对6352，， ∴6352不是“公能数”； （2）解：设（，，且a，b为整数） ∵，， ∴， ∵，，且a，b为整数 ∴ 由题意  当时，，解得， ∴ 由题意  当时，，解得， ∴ 由题意  当时，，解得（舍）， 由题意  当时，不合题意舍去， 综上，． 【点睛】此题为新定义题型，根据题干中所给的新定义及运算规则来完成相关计算．该类题型主要考查学生对新知识的接受和应用能力．难度较大，要善于把新知识转化为常规知识来解决问题，方能突破难点． 题型二 分式有（无）意义的条件求值 7．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和即可． 【详解】解：， 不等式组的解集是：≤x＜5， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴0＜≤1， 解得：﹣2＜a≤3，即整数a＝﹣1，0，1，2，3， ∵关于a的代数式有意义， ∴a≤2且a≠1， ∴符合条件的所有整数a的值是﹣1，0，2， ∴符合条件的所有整数a的和为：﹣1+2＝1； 故选：C． 【点睛】此题主要考查不等式组及分式的应用，解题的关键是熟知不等式组与二次根式、分式的性质． 8．如表描述了分式的部分信息： 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的性质与不等式的性质，掌握分式的性质，不等式的性质是解题的关键．根据当时，该分式总有意义，当时，分式无意义，可以判定n的大小，当时，该分式的值为负数，可以判定，为异号，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，该分式总有意义，当时，分式无意义， ∴， ∵当时，该分式的值为负数， ∴， ∴，异号， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件，结合分式的定义和分式有意义的条件，再根据题意列举符合题意的分式即可． 【详解】解：∵， ∴，即无论x取何值该分式都有意义， ∵当时，分式的值为2， ∴符合题意关于x的分式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（1）当= 时，分式的值为零； （2）当= 时，分式无意义 【答案】 x=-1； 或 【分析】（1）根据分式值为零的条件可得x+1=0，且x2+2x-3≠0，再解即可． （2）根据分式无意义的条件可得，再解方程即可； 【详解】（1）因为的值为零 所以 ∴ （2）因为无意义 所以      所以 故答案为（1）x=-1；（2） 【点睛】此题主要考查了分式的值为零以及分式无意义，关键是掌握分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可 11．已知分式，回答下列问题． （1）若分式无意义，求x的取值范围； （2）若分式的值是零，求x的值； （3）若分式的值是正数，求x的取值范围． 【答案】（1）x＝；（2）x＝1；（3）＜x＜1． 【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得2﹣3x＝0，再解即可； （2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可； （3）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【详解】解：（1）由题意得：2﹣3x＝0， 解得：x＝； （2）由题意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0， 解得：x＝1； （3）由题意得：①， 此不等式组无解； ②， 解得：＜x＜1． ∴分式的值是正数时，＜x＜1． 【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． 12．已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围． 小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解： (1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整； (2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围． 【答案】(1)补全过程见解析 (2) 【分析】（1）根据分式有意义的条件可知，分式 总有意义，就是分母不为零，即只需要即可，根据求解即可得到结论； （2）根据（1）的解题过程即可同理求解得到无论x取何实数，分式都有意义时m的取值范围． 【详解】（1）解： = = ， 根据无论x取何实数，分式 总有意义， 只要当，即可满足题意， ； （2）解：由（1）可知 ， ， 根据无论x取何实数，分式 总有意义， 只要当，即可满足题意， ． 【点睛】本题考查分式有意义条件的综合应用，涉及到配方及不等式的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 题型三 分式值的正、负确定字母的取值范围 13．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 14．下列结论：①无论取何值，都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且，其中正确的是（    ）． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】①根据平方的非负性可知分母永远大于0，故分式有意义； ②把时，代入分母可知分母为中，分式没有意义； ③根据分子分母同号得正，异号得负可解； ④根据分母不为0，除数不为0列出条件可解. 【详解】①无论取何值，，，所以都有意义，故①正确； ②时，分母，分式没有意义，故②错误； ③因为分子，若的值为负，则分母，所以的取值范围是，故③正确； ④若有意义，则，，，所以的取值范围是且且，故④错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了分式有无意义的条件、分式的值为0的条件以及分式的值为正数为负数的条件，其中④很容易漏了这一限制条件，要注意. 15．已知分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】易得分母恒为正数，因为整个分式的值为负数，那么分子应为负数． 【详解】∵分式的值为负数， x2+1恒为正数， ∴1-2x＜0， ∴x＞． 故答案为x＞． 【点睛】考查了分式的值，本题用到的知识点为：非负数加1的结果恒为正数；分式为负，分式的分子和分母符号相反． 16．在分式中，当x 时，分式有意义；当x 时，分式的值为正． 【答案】 ≠         ＜ 【详解】（1）根据分母不为0则分式有意义，列不等式即可求解； （2）利用有理数除法法则中的两数相除，同号得正，即分子、分母同负即可. 解：（1）当，即x≠时，分式有意义； （2）当，即x<的值为正. 故答案为≠；＜. 17．阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2)根据上述规律，求解分式不等式的解集． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查利用有理数除法法则解分式不等式． （1）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”即可求解； （2）易得与异号，可得两个不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：①若，则a、b同号， 则或； ②若，则a、b异号， 则或； 故答案为：；，； （2）（2）原不等式可转化为： （1）或（2） 解（1）得：无解，解（2）得： 所以原不等式的解集是 18．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 题型四 根据分式的基本性质进行恒等变形 19．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 20．如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可． 【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变①（分式本身的符号）和②（分母的符号），分式的值不变， 故选：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的符号变化规律，分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变是解此题的关键． 21．不改变分式的值，使分式的分子和分母里次数最高的项的系数是正整数： . 【答案】. 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得答案． 【详解】. 故答案为. 【点睛】本题考查了分式的基本性质．在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求． 22．阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质及有理数的乘方，先利用分式的性质化简，再根据有理数的乘方的符号规律可得的最大值为，进而可求解，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 的最小值为， 的最大值为， 的最小值为， 即的最小值是， 故答案为：． 23．小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)下列分式中，属于真分式的是(   ) A．    B．    C．    D． (2)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【答案】(1)C (2) 【分析】（1）根据题中真分式的定义直接判断即可； （2）仿照题中例子化成整式和真分式的和的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意，选项A、B、D中分子的次数大于分母的次数，不是真分式，不符合题意，选项C中分子的次数小于分母的次数，是真分式，符合题意， 故选：C； （2）解： ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，理解题中定义，会利用类比的思想方法求解是解答的关键． 24．阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小； (2)当时，随着的增大，的值无限接近． 【分析】（）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 题型五 分式化简求值 25．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记（n取正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的化简计算是解本题的关键，化简为，代入算式，利用裂项相消计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，，，，， ， ， ， ， ． 故选：D． 26．若一列代数式含有n个有序的代数式，除第一个代数式和最后一个代数式外，其余每个代数式都等于与它相邻的两个代数式之积，则称这列代数式为“n级如意式”．比如一列代数式为满足所以为4级如意式．根据定义给出下列三个结论正确的个数为（   ） ①若12，3，m为3级如意式，则m的值为 ②若某个4级如意式中第一个代数式为，则该4级如意式所有代数式的积可能为 ③在一个2023级如意式中，第一个代数式是，第二个代数式是b，若该如意式中某一个代数式等于1，则将这个如意式中的所有代数式求和，化简所得结果的常数项为674或675． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】题考查了规律型：数字的变化类，根据数的变化，找出该数列是解题的关键． 【详解】解：①若12，3，m为3级如意式，则，解得，故①正确； ②设该4级如意式的第二个代数式为，该级如意式为：，，，，则所有代数式的积：，解得，故②错误； ③解：该2023级如意式代数式为：，b，，，，，a，；每个循环一次，即， ∴和为+337， 当或，则常数项为； 当或，则常数项为； 当或，则常数项为； 故③正确； 故选B． 27．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上要求的形式：＝ ； （2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 ． 【答案】 ； 2或6 【分析】 本题考查分式的加减及分式的性质，结合已知条件将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）利用分式的加减法则及分式的性质进行变形即可； （2）将原式变形后根据题意确定符合题意的a的值即可． 【详解】 （1）解：原式 ， 故答案为：； （2）原式， ， ， ∴或5， 解得：或6 故答案为：2或6 28．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且，并满足，那么称这个四位数为“长寿数”，例如：四位数4128，，是“长寿数”；又如四位数7143，，不是“长寿数”，则最小的“长寿数”是 ；已知“长寿数”（其中），将的千位数字与百位数字的和记为，个位数字与十位数字的差记为，若能被14整除，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】 2108 【分析】本题考查列代数式以及数字变化类的问题，由于为“长寿数”，因为，所以，可得最小的“长寿数”；因为M可被14整除，则M可被2整除，可被7整除，可得或8或2，由题意得：，且，，，要使尽可能小，即，即 尽可能小，分类讨论即可． 【详解】解：∵为“长寿数”， ∴， ∵， ∴， ∴最小的“长寿数”是2108； 又∵M可被14整除， ∴M可被2整除，可被7整除， ∴或6或4或2， 由题意得：，且，，， ∵，， ∴， ， 要使尽可能小，即 尽可能小， ∴，此时，十位和百位数字相同，不合题意； ，此时，不能被14整除，不合题意； ，此时，符合题意， ∴，， ∴的最小值为：， 故答案为：2108；． 29．下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式             第一步                         第二步                                      第三步 (1)小星同学的化简过程从第_______步开始出现错误，错误原因是_______． (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 【答案】(1)二，第二步计算减法时，没有变号 (2)过程见解析，当时，3 【分析】本题考查分式的化简求值： （1）第二步计算减法时，没有变号； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2） ， ， ， 当时，原式． 30．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 题型六 分式加减乘除混合运算 31．太阳能热水器安装有一个进水管（冷水管）和一个出水管（热水管）．单独打开进水管，可以将空的热水器注满水；单独打开出水管，以把注满水的热水器中的水放尽．如果把进水管与出水管同时打开，那么注满一台空热水器需要的时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分式的混合运算，设同时把进水管与出水管同时打开，注满一台空热水器需要的时间是，把空的热水器注满水的水量看作为“整体”，根据单独打开进水管，可以将空的热水器注满水，得进水管的工作效率为，再根据单独打开出水管，可以把注满水的热水器中的水放尽，得出水管的工作效率为，进而得同时开放时的工作效率为，然后根据“工作效率工作时间工作总量”列出方程，解方程求出即可．理解题意并列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：设同时把进水管与出水管同时打开，注满一台空热水器需要的时间是， 依题意，得：， 解得：， 即， ∴注满一台空热水器需要的时间是． 故选：A． 32．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为．已知，并规定：，，．下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与分式的运算有关的规律探究，熟练掌握分式的运算是解题的关键； 根据题意，找到循环周期和规律，逐一计算判断即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ，， 即：这列数以，，，，每四个为一个周期循环， ， ，，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 由此可得、都是以个数为一周期的数列， ， ，故②正确； ，，， ， ， ， ；故③正确； 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：D 33．对于正数x，规定，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的加减计算，正确理解题意得到是解题的关键．根据已知规定，可得，进而可以解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 34．某航运公司去年使用甲，乙，丙三艘运输船用于航运生意，运输船甲，乙，丙航行平均速度之比为，航行时间之比为，但根据市场需求，对三艘运输船的航行平均速度和时间均作了调整．运输船甲的平均速度为去年的，运输船乙的平均速度比去年低了％，运输船丙的平均速度不变．甲，丙两艘运输船的航行总里程增加，而运输船乙总里程减少，甲船增加里程与乙船减少的里程之比为．丙船增加的里程是甲船增加里程的，且丙船增加的里程占今年三艘船航行总里程的，则今年甲船与乙船的航行时间之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，利用比例设未知数是解决本题的关键．设去年运输船甲，乙，丙航行平均速度分别为，，，航行时间分别为，，，则去年运输船甲，乙，丙航行的路程分别为，，，设今年运输船甲增加路程为，运输船乙减少路程为，则运输船丙增加路程为，今年运输船甲、乙、丙航行的路程分别为，，，进而用代数式表示有关的路程和时间，表示出今年运输船乙与运输船丙的航行时间，即可求今年甲船与乙船的航行时间之比． 【详解】解：∵去年运输船甲，乙，丙航行平均速度之比为，航行时间之比为， ∴设去年运输船甲，乙，丙航行平均速度分别为，，，航行时间分别为，，， ∴去年运输船甲，乙，丙航行的路程分别为，，， ∵甲的平均速度为去年的，运输船乙的平均速度比去年低了，运输船丙的平均速度不变． ∴今年运输船甲的平均速度为：，运输船乙的平均速度为：，运输船丙的平均速度为， 设今年运输船甲增加路程为，运输船乙减少路程为，则运输船丙增加路程为， ∴今年运输船甲、乙、丙航行的路程分别为，，， ∴今年运输船甲、乙、丙航行的时间分别为，，， ∵丙船增加的里程占今年三艘船航行总里程的， ∴， 整理得：， ∴今年甲船与乙船的航行时间之比为： ， 故答案为：． 35．如图，嘉淇的作业本上有这样一道填空题，其中(    )部分记为代数式． 化简：的结果为________ 若该题化简的结果为． (1)求代数式A； (2)从，，，中选择一个合适的数代替，求原式的值． 【答案】(1) (2)时，原式值为 【分析】本题考查了分式的化简求值； （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）根据分式有意义的条件，将代入到该题化简的结果中，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴           ∴ （2）解：依题意， 将代入到中     ∴原式 36．2024年10月昌平区举办了第二十一届苹果文化节活动，小聪和小明在活动期间分别购买了两次苹果，两次的单价分别是m元/千克和n元/千克，小聪每次买a元钱的苹果，小明每次买b千克的苹果． (1)当时，小聪两次购买苹果的总质量为_____（请用含m、n的式子表示）； (2)请你分析他们两次购买苹果的平均价格谁更低（平均价格）． 【答案】(1) (2)小聪两次购买苹果的平均价格更低，见解析 【分析】本题主要考查了用代数式表示式以及异分母异分子的大小比较，分式的混合运算的应用． （1）由费用单价数量分别表示小聪两次购买苹果的质量，再相加即可； （2）小聪两次购买苹果的平均价格：，小明两次购买苹果的平均价格：，然后作差，化简比较． 【详解】（1）解：当时，小聪两次购买苹果的总质量为（千克）， 故答案为：； （2）解：小聪两次购买苹果的平均价格： 小明两次购买苹果的平均价格： ． ，，， ，． ． ∴， ∴， 小聪两次购买苹果的平均价格更低． 题型七 分式方程无解问题 37．若关于 x 的方程无解，则M的值为（   ） A． B．4 C． D．以上都对 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为0，据此进行解答．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解： ， ， 当，即，方程无解， 当时，即， 把代入得：， 解得：； 把代入得：， 解得：， 综上，M的值为或4或， 故选：D． 38．下列说法：①如果，则；②；③若，，则；④若关于x的方程无解，则，或．其中正确的命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将变形为可判断①；计算可判断②；根据绝对值的非负性可得，可判断③；用含a的代数式表示出x，再根据分式方程无解求出a的值，可判断④． 【详解】解：①如果，则，故①错误； ②根据分数与小数的转化，，故②正确； ③若，，则，，则，即，故③正确； ④得，由该方程无解，推断出或或，解得或；综上，，或，故④正确； 综上：正确的有②③④，共3个． 故选C． 【点睛】本题考查积的乘方，分数与小数的转化，绝对值的非负性，分式方程无解问题，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 39．若关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程，根据题意，先由去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1得到，再由分式方程无解得到，确定关于的方程求解即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 关于的方程无解， ，即，则， 解得， 故答案为：． 40．小颖在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是 ． 【答案】1 【分析】先解分式方程得到，由分式方程无解，得到，即，把代入计算即可求出所求． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： ∵分式方程无解，即此时方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，正确解分式方程得到进而确定方程有增根是解题的关键． 41．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了解分式方程、方程无解等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后再检验即可解答； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． （2）解：设原题中“”是， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 答：原题中“”是． 42．如果两个分式M与N的和为常数k，且k是正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”？若不是，请说明理由：若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)是， (2)①；② (3)或 【分析】本题考查了分式的加减． （1）根据题意，用，化简之后可以求出和整值； （2）①先求出，结合题中的新定义，求出； ②因为且若x为正整数，分式D的值也为正整数，将G代入到D中，得出或或，最后得出（，舍去），据此解答； （3）由题意可得，可得，整理得，由方程无解，可得或方程有增根，进而可得答案． 【详解】（1）解：A与B是“和整分式”， ， ∴A与B互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①∵， ∴ ， ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ， 得； ②， ∴， 分式D的值为正整数t， ∴或或， 的值为或0或1， 是正整数， ； （3）解：在（2）的条件下，时，， ， 去分母后整理得：， 当，即时，方程无解， 当时，， ∵该关于x的方程无解， ∴方程有增根， ∴，即， 综上，m的值为或． 题型八 分式方程增根问题 43．小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，，由此方程有增根无解，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵此方程有增根无解， ∴， 解得，， 故选：A． 44．下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决． 【详解】①是分式方程，故正确； ②时，，即分母为0，故不是分式方程的解 ，错误； ③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘，故正确； ④解分式方程时不一定会出现增根，错误． 所以正确的有2个 故选：B 【点睛】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识． 45．已知关于x的方程． （1）当时，方程的解为 ． （2）若方程有增根，则k的值是 ． 【答案】 5 【分析】（1）把代入方程，再解分式方程即可； （2）解分式方程可得，再根据方程有增根求得，从而可得，即可求解． 【详解】解：（1）当时，方程为， 两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入得，， ∴是原方程的解， 故答案为：5； （2）， 即， ∴， ∴， ∴， ∵方程有增根， ∴，即， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解方式方程、分式方程有增根的条件、解一元一次方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 46．已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则 ； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】（1）先化简，得，化简，将代入，即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 此题主要考查了解分式方程，增根问题，及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 把代入， 得， ， 故答案为：； （2）由（1）得原分式方程，去分母化简得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且 即：且 故答案为：且． 47．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3或 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值， （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可； 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程的根是， ∴， ∴； （2）由（1）将分式化为整式方程为：， ∵分式方程有增根， ∴或， ∴或， 当时，，解得：； 当时，无解，舍去； ∴； （3）由（1）将分式化为整式方程为：， 由（2）知，当时，分式方程有增根，无解； 当无解时，即时，分式方程也无解， ∴； 综上：或． 48．已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 【答案】(1)一，正确解法见解析 (2) 【分析】本题考查了分式方程的增根，步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定增根；③将增根代入整式方程求解．也考查了解分式方程． （1）检查甲同学解方程过程，找出错误步骤分析即可； （2）原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解． 【详解】（1）解：甲同学从第一步开始出现错误， 正确的解法： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解：去分母，得：， ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得， 解得， ∴原方程有增根时，． 题型九 分式的规律性问题 49．观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先由所给方程找出规律，根据规律写出第个方程再求该方程的解． 【详解】解：（1）可化为；（2）可化为；（3）可化为； 经观察，第个方程为：． 将方程两边同乘以，得 ，即． 由题意知 经检验是原方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的规律及其解，解题的关键是应先根据所给方程找出规律，根据规律列出第个方程，最后求解． 50．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 51．观察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的规律，求关于x的方程（n为正整数）的解是 ． 【答案】或 【分析】先写出第个方程及其解，将所求方程转化为，再将作为整体写出方程的解即可． 【详解】解：根据题意，得： 第个方程为， 解为：或， 方程可化为： 即， 或， 解得：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了解分式方程及分式方程的解，弄清楚题目中的规律再由整体思想进行解方程是解题关键． 52．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，若．（为正整数），则的值为 ． 【答案】4047 【分析】本题考查了找规律-图形类，先根据已知图形得出，代入到方程中，再利用所得规律化简即可． 【详解】解：由图形知，，，， ， 可化为：， ， ， 解得：或0（不合题意，舍去）， 故答案为：4047． 53．观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：． (2)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，关键是根据算式的特点，把分式拆分成两个分式的差； （1）根据规律即可完成； （2）根据规律进行拆分，最后解分式方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：． ∴ ． （2）解：∵，，…，， ∴ ． ∴． ∴或． 经检验，当时，；当时，． ∴是的解． 54．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是 ． (2)解方程：，可以变形转化为的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解． (3)方程的解为 ． 【答案】(1)， (2)，，过程见解析 (3)， 【分析】（1）从数字找规律，即可解答； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）利用换元法将原方程化为：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想关于的方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 或， ，， 经检验：，是原方程的根； （3）解：令，则原方程可化为：， ， ，， 或， 解得：，， 经检验：，是原方程的根， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型十 分式方程新定义运算 55．定义运算“★”：．若，则x的值为（   ） A．3 B．10 C．或10 D．或 【答案】C 【分析】本题考查新定义的应用，以及解分式方程．分和两种情况根据新定义得出方程，求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 解得，， 经检验，是原方程的根； 综上，的值为：或10 故选：C． 56．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：1=2-x+4， 解得：x=5， 经检验x=5是分式方程的解， 故选：A 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 57．对于任意的实数，，规定新运算：． (1)计算： ； (2)若，则的值为 ． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据新运算的定义列出运算式子，根据分式的加法与除法法则计算即可得； （2）根据新运算的定义列出运算式子，解分式方程即可得． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： ， ， ， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是所列分式方程的解， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式的加减法与除法、解分式方程，熟练掌握分式的运算法则和分式方程的解法是解题关键． 58．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 . 【答案】x=5 【详解】试题解析：根据题意，得， 去分母得：1=2-（x-4）， 解得：x=5， 经检验x=5是分式方程的解． 59．当时，定义一种新运算：，例如：，． （1）直接写出_______________； （2）若，求出m的值． 【答案】（1）2；（2）. 【分析】（1）根据题目所给条件代值进去计算即可求出， （2）根据m与2的大小关系进行分类讨论求解分式方程即可求出m的值． 【详解】解：（1）因为，所以； （2）时， ， 解得，不合题意，舍去． 时， ， 解得． 综上，． 【点睛】本题主要考查新定义与分式方程的求解，根据题目给定公式代值计算即可，第（2）问注意对m的值进行分类讨论求解，注意求解出来的m的值要根据分类讨论时的取值范围进行取舍． 60．对于实数a、b，定义一种新运算“”为： ，这里等式右边是通常的四则运算．例如： ． (1)解方程； (2)若均为自然数，且满足等式，求满足条件的所有数对． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了新定义、解分式方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）所求方程利用题中的新定义化简，求解即可； （2）已知等式利用题中的新定义化简，整理得到与的方程，即可求出满足条件的所有数对． 【详解】（1）解：根据题意， ， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴原方程的解为； （2）解：∵， ∴， ∴， 整理得：， ∵均为自然数， ∴或或或或或， 经检验，不是原方程的解， ∴满足条件的所有数对为． 题型十一 分式在探究问题中的综合应用 61．已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案； （2）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得，即不等式组无解， ∴； （2）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得， ∴或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的性质，正确理解题意是解题的关键． 62．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： (1)计算：若n为正整数，猜想 ； (2)化简 （x为正整数） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了非负数的性质、有理数的混合运算、分式的加法，弄清题中的拆项法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得到一般性规律，写出即可； （2）利用（1）中得到的规律，变形后，进行计算即可； （3）利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解： （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ 63．规定：形如关于，的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组，、称之为共轭系数． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于，的二元一次方程组为共轭方程，求此共轭方程组的共轭系数； (3)对于共轭二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论，为何值，解、一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)不同意，理由见解析 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出共轭系数； （2）表示出方程组的解，根据与相等，确定出的范围，即可作出判断． 【详解】（1）解：方程的共辄二元一次方程是； 故答案为：； （2）∵关于，的二元一次方程组为共轭方程， ，， 即 解得： ，， 则此共轭方程组的共轭系数为，； （3）不同意，理由如下， 共轭二元一次方程组， 得：， 得：， 当，即时 则当时，无论为何值，与的值相等． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，分式有意义的条件，弄清题中的新定义是解本题的关键． 64．课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究： (1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）； (2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小； (3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由． 【答案】(1)， (2)甲糖的单价较高，理由见解析 (3)方式二更合算 【分析】（1）根据单价=总价÷数量分别求出甲糖单价和乙糖单价； （2）根据作差法比较大小即可求解； （3）由探究的结果进行分析即可． 【详解】（1）解：甲糖单价为：=（元）， 乙糖单价为：=（元）； （2） ∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成， ∴， ∴甲糖的单价较高． （3）由探究可知方式一相当于甲种什锦糖，方式二相当于乙种什锦糖， 故选择方式二更合算． 【点睛】本题考查了列代数式（分式），分式的加减法.注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 65．聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序和，如图，在程序中△处输入一个正整数则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序会复制程序中相应位置的数值完成程序的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序完成运算，程序完成运算． 探究  若△处输入数字2，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字5，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字100，设程序的结果为，则________（填“>”“<”或“=”）． 应用  请利用“探究”中发现的结论证明． 【答案】，，，，，证明见解析 【分析】本题考查的是运算类规律探究，分式的混合运算； 探究：按照程序的含义列出运算式并计算即可； 应用：当若△处输入数字，则程序的结果为，程序的结果为，再利用规律结合分式的运算法则证明即可． 【详解】解：探究：若△处输入数字2，则程序的结果为， 程序的结果为； 若△处输入数字5，则程序的结果为， 程序的结果为； 若△处输入数字100，设程序的结果为， ∴， ∵， ∴； 应用：当若△处输入数字，则程序的结果为， 程序的结果为； ∴， 同理：， ∴ ； ∴成立． 66．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ， ，即． （2）由（1）我们可猜想：若，，则与的大小关系是______（填“>”或“<”），请用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】(2)；证明见解析；(3)不成立，；(4)甲船先返回A港，见解析 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2）；证明如下： ， ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． （3）若，时，（2）中的不等式不成立． ∵，， ∴，， ∴，即， ∴, 正确的式子为． （4）的大小，甲船先返回A港，理由如下： 由题意可得， ， ． ∴， ， ∵， ∴，   ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴甲船先返回A港． 题型十二 分式方程的实际应用 67．某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)若按此价格购进篮球10个，足球15个，商场共花了多少钱？ 【答案】(1)足球单价为90元，篮球单价为120元 (2)2700元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设足球单价为元，则篮球单价为元，根据用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等建立方程求解即可； （2）根据（1）所求分别求出篮球和足球的费用，二者相加即可得到答案． 【详解】（1）解：设足球单价为元，则篮球单价为元， 由题意得：． 解得． 经检验：是原分式方程的解，且符合题意． 则． 答：足球单价为90元，篮球单价为120元； （2）解：元． 答：商场共花了2700元． 68．一条笔直的公路经过相距10千米的A，B两地，甲、乙两人骑车从A地前往B地． (1)若乙骑车的速度是甲骑车的速度2倍，甲比乙早30分钟出发，且甲、乙两人同时到达B地，求甲骑车的速度； (2)若甲、乙两人同时从A地出发，甲骑车的速度为千米/时；乙骑车的速度为千米/时，其中．请判断谁先到达B地，并说明理由． 【答案】(1)甲骑车的速度为千米/分 (2)乙先到达B地，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，整式加减的实际应用： （1）设甲骑车的速度为千米/分，则乙骑车的速度为千米/分，根据甲比乙早30分钟出发，且甲、乙两人同时到达B地建立方程求解即可； （2）两人的速度大的先到达B地，据此利用作差法比较出两人的速度大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲骑车的速度为千米/分，则乙骑车的速度为千米/分， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：甲骑车的速度为千米/分； （2）解：乙先到达B地，理由如下： ， ∵， ∴， ∴甲的速度小于乙的速度， ∴乙先到达B地． 69．某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额 甲                  乙 李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多件． 请求出乙商品的进价为多少元． 【答案】元 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙商品的进价为元，根据“甲的进价乙的进价”，“甲的数量乙的数量”，列出方程，求解即可． 【详解】解：设乙商品的进价为元，根据题意可得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故乙商品的进价为元． 70．周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由． 【答案】能，理由见详解 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，等量关系式：步行的时间骑行的时间，据此列方程，解方程即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：能，理由如下： 设小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为，则有 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； 小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为， 总共所需时间为： （）， 到达钟鼓楼的时间为， 故能在当日上午前到达鼓楼． 71．某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)填一填： 设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需________天． 方案C中，甲队的工作总量是________，乙队的工作总量是________． (2)甲、乙单独完成这项工程分别需要多少天？ (3)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】(1)；； (2)甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项丁程需25天 (3)选方案C 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需天，甲队的工作总量为，乙队的工作总量为； （2）设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需天，根据甲队工作4天完成的工作量+乙队完成的工作量=1，列方程求解； （3）根据（2）求出的甲乙完成需要的时间，结合已知求出需要的工程款，进行比较即可． 【详解】（1）解：设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需天， 在方案中，甲队的工作总量为，乙队的工作总量为； 故答案为：；；； （2）解：设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需天，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项丁程需25天； （3）解：方案A：（万元）， 方案B：（万元），但是耽误工期，不符合题意，故舍掉． 方案C：（万元）， ∵， ∴选方案C． 72．如图是一个长为400米的环形跑道，其中A，B为跑道对称轴上的两点，且A，B之间有一条50米的直线通道．甲乙两人同时从A点出发，甲按逆时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到B时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到B时沿直线通道跑回A点处，假设两人跑步的时间足够长求： (1)假如，那么甲跑了多少路程后，两人初次在A点处相遇； (2)假如，那么乙跑了多少路程后，两人初次在B点处相遇． 【答案】(1)甲跑了6000米后，两人初次在A点处相遇 (2)乙跑了1200米后，两人初次在B点处相遇 【分析】本题考查了相遇问题，二元一次方程的实际应用，以及整除的运用，解题的关键在于根据题意找出等量关系并求解． （1）设甲跑了n圈后，两人初次在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为，，根据路程速度时间得到乙跑步的路程为，再利用应是250的整数倍，得到的最小值，最后求出甲跑的路程，即可解题； （2）设乙跑了米，甲跑了米时，两人初次在B处相遇，结合题意设甲、乙两人的速度分别为，，利用两人跑步的时间相同建立等式，得到，进而推出p，q的最小值，以及得到乙跑的路程，即可解题． 【详解】（1）解：设甲跑了n圈后，两人初次在A点处相遇， ， 设甲、乙两人的速度分别为，， 由题意可得在A处相遇时，乙跑步的路程是 因乙跑回到A点处，所以应是250的整数倍，从而知n的最小值是15， 此时，甲跑过的路程为（米）， 故甲跑了6000米后，两人初次在A点处相遇； （2）解：设乙跑了米，甲跑了米时，两人初次在B处相遇， ， 设甲、乙两人的速度分别为，， 由题意可得，即． 所以，即（p，q均为正整数）， p，q的最小值为4与2． 此时，乙跑过的路程为（米）， 故乙跑了1200米后，两人初次在B点处相遇． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 分式章末重点题型复习 题型一 分式的求值 题型二 分式有（无）意义的条件求值 题型三 分式值的正、负确定字母的取值范围 题型四 根据分式的基本性质进行恒等变形 题型五 分式化简求值 题型六 分式加减乘除混合运算 题型七 分式方程无解问题 题型八 分式方程增根问题 题型九 分式的规律性问题 题型十 分式方程新定义运算 题型十一 分式在探究问题中的综合应用 题型十二 分式方程的实际应用 题型一 分式的求值 1．已知，则的值是（    ）． A． B． C． D． 2．多项式，多项式（其中，，，，均为常数），下列说法中正确的个数是（   ） ①若多项式与的乘积中不含项，则； ②； ③若，则当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知时，多项式的值为，则 ． 4．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 5．新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 6．一个四位自然数t，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位自然数t为“公能数”．“公能数”t的十位数字的3倍与百位数字及个位数字的和记为；“公能数”t的千位数字与3的差记为，记． 例如：∵对9574，，；∴9574是“公能数”． ∵， ∴． 又如：∵对4061，，；∴4061不是“公能数”． (1)请判断8430，6352是否为“公能数”？并说明理由；如果是，请求出对应的的值； (2)若一个“公能数”t，它的百位数字不超过3，且能被11整除时，求出所有满足条件的t的值．     题型二 分式有（无）意义的条件求值 7．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 8．如表描述了分式的部分信息： 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 10．（1）当= 时，分式的值为零； （2）当= 时，分式无意义 11．已知分式，回答下列问题． （1）若分式无意义，求x的取值范围； （2）若分式的值是零，求x的值； （3）若分式的值是正数，求x的取值范围． 12．已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围． 小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解： (1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整； (2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围． 题型三 分式值的正、负确定字母的取值范围 13．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 14．下列结论：①无论取何值，都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且，其中正确的是（    ）． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 15．已知分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 16．在分式中，当x 时，分式有意义；当x 时，分式的值为正． 17．阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2)根据上述规律，求解分式不等式的解集． 18．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 题型四 根据分式的基本性质进行恒等变形 19．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 20．如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 21．不改变分式的值，使分式的分子和分母里次数最高的项的系数是正整数： . 22．阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 ． 23．小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)下列分式中，属于真分式的是(   ) A．    B．    C．    D． (2)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 24．阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 题型五 分式化简求值 25．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记（n取正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 26．若一列代数式含有n个有序的代数式，除第一个代数式和最后一个代数式外，其余每个代数式都等于与它相邻的两个代数式之积，则称这列代数式为“n级如意式”．比如一列代数式为满足所以为4级如意式．根据定义给出下列三个结论正确的个数为（   ） ①若12，3，m为3级如意式，则m的值为 ②若某个4级如意式中第一个代数式为，则该4级如意式所有代数式的积可能为 ③在一个2023级如意式中，第一个代数式是，第二个代数式是b，若该如意式中某一个代数式等于1，则将这个如意式中的所有代数式求和，化简所得结果的常数项为674或675． A．1 B．2 C．3 D．0 27．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上要求的形式：＝ ； （2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 ． 28．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且，并满足，那么称这个四位数为“长寿数”，例如：四位数4128，，是“长寿数”；又如四位数7143，，不是“长寿数”，则最小的“长寿数”是 ；已知“长寿数”（其中），将的千位数字与百位数字的和记为，个位数字与十位数字的差记为，若能被14整除，则满足条件的的最小值为 ． 29．下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式             第一步                         第二步                                      第三步 (1)小星同学的化简过程从第_______步开始出现错误，错误原因是_______． (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 30．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 题型六 分式加减乘除混合运算 31．太阳能热水器安装有一个进水管（冷水管）和一个出水管（热水管）．单独打开进水管，可以将空的热水器注满水；单独打开出水管，以把注满水的热水器中的水放尽．如果把进水管与出水管同时打开，那么注满一台空热水器需要的时间是（   ） A． B． C． D． 32．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为．已知，并规定：，，．下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 33．对于正数x，规定，则的值为 ． 34．某航运公司去年使用甲，乙，丙三艘运输船用于航运生意，运输船甲，乙，丙航行平均速度之比为，航行时间之比为，但根据市场需求，对三艘运输船的航行平均速度和时间均作了调整．运输船甲的平均速度为去年的，运输船乙的平均速度比去年低了％，运输船丙的平均速度不变．甲，丙两艘运输船的航行总里程增加，而运输船乙总里程减少，甲船增加里程与乙船减少的里程之比为．丙船增加的里程是甲船增加里程的，且丙船增加的里程占今年三艘船航行总里程的，则今年甲船与乙船的航行时间之比为 ． 35．如图，嘉淇的作业本上有这样一道填空题，其中(    )部分记为代数式． 化简：的结果为________ 若该题化简的结果为． (1)求代数式A； (2)从，，，中选择一个合适的数代替，求原式的值． 36．2024年10月昌平区举办了第二十一届苹果文化节活动，小聪和小明在活动期间分别购买了两次苹果，两次的单价分别是m元/千克和n元/千克，小聪每次买a元钱的苹果，小明每次买b千克的苹果． (1)当时，小聪两次购买苹果的总质量为_____（请用含m、n的式子表示）； (2)请你分析他们两次购买苹果的平均价格谁更低（平均价格）． 题型七 分式方程无解问题 37．若关于 x 的方程无解，则M的值为（   ） A． B．4 C． D．以上都对 38．下列说法：①如果，则；②；③若，，则；④若关于x的方程无解，则，或．其中正确的命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 39．若关于的方程无解，则的值是 ． 40．小颖在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是 ． 41．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 42．如果两个分式M与N的和为常数k，且k是正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”？若不是，请说明理由：若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 题型八 分式方程增根问题 43．小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（   ） A． B．1 C．2 D． 44．下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．已知关于x的方程． （1）当时，方程的解为 ． （2）若方程有增根，则k的值是 ． 46．已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则 ； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 47．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 48．已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 题型九 分式的规律性问题 49．观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 50．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 51．观察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的规律，求关于x的方程（n为正整数）的解是 ． 52．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，若．（为正整数），则的值为 ． 53．观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：． (2)灵活利用规律解方程：． 54．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是 ． (2)解方程：，可以变形转化为的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解． (3)方程的解为 ． 题型十 分式方程新定义运算 55．定义运算“★”：．若，则x的值为（   ） A．3 B．10 C．或10 D．或 56．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D． 57．对于任意的实数，，规定新运算：． (1)计算： ； (2)若，则的值为 ． 58．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 . 59．当时，定义一种新运算：，例如：，． （1）直接写出_______________； （2）若，求出m的值． 60．对于实数a、b，定义一种新运算“”为： ，这里等式右边是通常的四则运算．例如： ． (1)解方程； (2)若均为自然数，且满足等式，求满足条件的所有数对． 题型十一 分式在探究问题中的综合应用 61．已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 62．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： (1)计算：若n为正整数，猜想 ； (2)化简 （x为正整数） (3)若，求的值． 63．规定：形如关于，的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组，、称之为共轭系数． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于，的二元一次方程组为共轭方程，求此共轭方程组的共轭系数； (3)对于共轭二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论，为何值，解、一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 64．课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究： (1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）； (2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小； (3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由． 65．聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序和，如图，在程序中△处输入一个正整数则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序会复制程序中相应位置的数值完成程序的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序完成运算，程序完成运算． 探究  若△处输入数字2，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字5，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字100，设程序的结果为，则________（填“>”“<”或“=”）． 应用  请利用“探究”中发现的结论证明． 66．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ， ，即． （2）由（1）我们可猜想：若，，则与的大小关系是______（填“>”或“<”），请用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 题型十二 分式方程的实际应用 67．某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)若按此价格购进篮球10个，足球15个，商场共花了多少钱？ 68．一条笔直的公路经过相距10千米的A，B两地，甲、乙两人骑车从A地前往B地． (1)若乙骑车的速度是甲骑车的速度2倍，甲比乙早30分钟出发，且甲、乙两人同时到达B地，求甲骑车的速度； (2)若甲、乙两人同时从A地出发，甲骑车的速度为千米/时；乙骑车的速度为千米/时，其中．请判断谁先到达B地，并说明理由． 69．某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额 甲                  乙 李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多件． 请求出乙商品的进价为多少元． 70．周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由． 71．某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)填一填： 设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需________天． 方案C中，甲队的工作总量是________，乙队的工作总量是________． (2)甲、乙单独完成这项工程分别需要多少天？ (3)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 72．如图是一个长为400米的环形跑道，其中A，B为跑道对称轴上的两点，且A，B之间有一条50米的直线通道．甲乙两人同时从A点出发，甲按逆时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到B时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度沿跑道跑步，当跑到B时沿直线通道跑回A点处，假设两人跑步的时间足够长求： (1)假如，那么甲跑了多少路程后，两人初次在A点处相遇； (2)假如，那么乙跑了多少路程后，两人初次在B点处相遇． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$