第十章 分式（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北京专用，北京版）

第10章 分式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．要使分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在式子，，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 4．若代数式和的值相等，则x的值为（    ） A． B． C． D． 5．计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 6．若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 7．下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 8．设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为(   ) A．1959 B．7954 C．82 D．3948 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．计算： 10．绿眼虫是一种导致水华现象的常见生物，其长度约为．将数据用科学记数法表示为 ． 11．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 12．若，则 ； 13．已知 ，则 ． 14．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 15．已知，则 16．方程的正整数解有 组． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．（5分）计算． (1)； (2)． 18．（5分）解分式方程： (1) (2) 19．（5分）已知，求代数式的值． 20．（6分）拥有便捷的交通是经济发展的前提，某地为了打造全新旅游体验，提高地域知名度，计划修建一段音乐旅游公路．某施工队承揽了这段旅游公路的施工，原计划施工300米，施工队在施工了60米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该阶段工程．问该工程队原计划每天施工多少米？ 21．（6分）以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务． 解：去分母：…………．第一步． 去括号： …………，第二步 移项，合并同类项得：…………．第三步 系数化为1，得：…………．第四步 检验：当时，， 所以：是原分式方程的解． (1)填空： ①以上解题过程中，第一步去分母的依据 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请你写出此方程的正确求解过程． 22．（5分）已知：． (1)当时，计算的值； (2)当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； (3)设，若x、y均为非零整数，求的值． 23．（5分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)直接写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明． 24．（6分）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 25．（5分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 26．（6分）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可） （2）如果分式的值为整数，求的整数值 27．（7分）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 28．（7分）欧拉是 18 世纪瑞士著名的数学家， 他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时， 在初等数学中也到处留下了他的足迹． 下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究， 例如， 当 时的欧拉公式为： 证明如下： (1)请将材料中 时欧拉公式的证明过程补充完整． (2)请从下面 两题中任选一题进行解答， 我选择___________题． A．写出当 时的欧拉公式， 并任选一组 的值， 对该公式当 时的情形进行验证． B．写出当 时的欧拉公式， 并证明； (3)利用欧拉公式直接写出 的结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 分式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．要使分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据“分式有意义，则分母不为零”列式求解即可． 【详解】根据题意得：， ， 故选：A． 2．在式子，，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 【详解】解：分式有：，，共3个． 故选：B． 3．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，直接根据分式的除法计算法则求解即可． 【详解】解： 故选 D． 4．若代数式和的值相等，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程.根据代数式的值相等得到关于x的分式方程，去分母把分式方程变为整式方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解：代数式和的值相等， 则， 去分母得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故选：C 5．计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．原式利用除法法则变形，计算分式乘法，再计算加法即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 6．若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ， 增根为 ． 故选：D． 7．下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项计算即可判断求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、原变形错误，该项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原式 原变形正确，该选项符合题意； 故选：． 8．设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为(   ) A．1959 B．7954 C．82 D．3948 【答案】B 【分析】设，则，得到，再设是数的平方数，得到，再根据题意推出，据此求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， 再设是数的平方数， ∴， ∴， ∵是某个整数的平方数，， ∴， ∴且a为正整数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值可以为、、、， ∴所有满足条件的n之和为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了完全平方数，分式的加减，正确理解题意是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．计算： 【答案】 【分析】本题考查了负指数幂的运算规则，即一个数的负指数幂等于这个数的正指数幂的倒数．熟练掌握负指数幂的运算规则是解题的关键． 根据负指数幂的运算规则即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10．绿眼虫是一种导致水华现象的常见生物，其长度约为．将数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故答案为： 11．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12．若，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本运算．根据，进而求得． 【详解】解：， ． 故答案为：． 13．已知 ，则 ． 【答案】32 【分析】本题考查了分式的分式的混合运算，完全平方公式． 根据完全平方公式推出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴． 故答案为：32． 14．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，分两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， ∵最简公分母， ， 当时，得， 综上的值为1或． 故答案为：1或． 15．已知，则 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的求值，先根据已知条件式得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．方程的正整数解有 组． 【答案】3 【分析】本题考查了求分式方程的正整数解，把原方程化为求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 即，即． 结合x，y为正整数可得或或， 解得或或，共3组． 故答案为：3． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．（5分）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先通分，化为同分母分式，再计算即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（5分）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解； (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根 （1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可； （2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可． 【详解】（1）解：去分母得， 解得， 当时， ， 所以原方程无解； （2）解：去分母得， 解得， 当时， ， 所以是原方程的解； 19．（5分）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．先根据分式减法法则计算括号内的式子，再根据分式除法法则化简得出最简结果，把变形后整体代入即可得答案． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴原式． 20．（6分）拥有便捷的交通是经济发展的前提，某地为了打造全新旅游体验，提高地域知名度，计划修建一段音乐旅游公路．某施工队承揽了这段旅游公路的施工，原计划施工300米，施工队在施工了60米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该阶段工程．问该工程队原计划每天施工多少米？ 【答案】该工程队原计划每天施工20米． 【分析】本题主要考查分式方程的运用，根据提议，设该工程队原计划每天施工米，由此列式求解即可． 【详解】解：设该工程队原计划每天施工米， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解且符合实际． 答：该工程队原计划每天施工20米． 21．（6分）以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务． 解：去分母：…………．第一步． 去括号： …………，第二步 移项，合并同类项得：…………．第三步 系数化为1，得：…………．第四步 检验：当时，， 所以：是原分式方程的解． (1)填空： ①以上解题过程中，第一步去分母的依据 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请你写出此方程的正确求解过程． 【答案】(1)二，去括号时第二项没有变号； (2)，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程步骤的依据以及解分式方程的一般步骤． （1）观察已知条件所给的解方程的步骤，根据等式的基本性质进行解答即可； （2）观察已知条件所给的解方程的步骤，根据去括号法则进行解答即可； 按照解分式方程的一般步骤解方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步去分母的依据等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； 第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时第二项没有变号， 故答案为：二，去括号时第二项没有变号． （2）解：正确的求解过程如下： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1，得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 22．（5分）已知：． (1)当时，计算的值； (2)当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； (3)设，若x、y均为非零整数，求的值． 【答案】(1) (2),详见解析 (3)12或18 【分析】（1）将代入计算的值即可； （2）先求差，再比较差与0的大小关系． （3）先表示，再求，的整数值，进而可以解决问题． 【详解】（1）当时， ； （2）当时，，理由如下： ， ， 或， 当且时，；当时，； （3），，， ， 、均为非零整数， 时，，； 时，，； 综上所述：的值为18或12． 【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 23．（5分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)直接写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式的运算法则等知识，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键． （1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，再利用分式的减法和乘方运算进行计算，得到左边等于右边，即可得到验证． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则第5个等式为 故答案为： （2），证明如下： ∵左边， 右边， ∴左边=右边． 故原等式成立． 24．（6分）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）先求出，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 25．（5分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 【答案】(1)新能源车的每千米行驶费用为元， (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； （2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 26．（6分）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可） （2）如果分式的值为整数，求的整数值 【答案】（1）；（2）、、0、 【分析】（1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论； （2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定的值． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）原式 因为的值是整数，分式的值也是整数， 所以或， 所以、、0、． 所以分式的值为整数，的值可以是：、、0、． 【点睛】本题考查了利用分式的性质对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义． 27．（7分）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少 【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解； （2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论． 【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米， 根据题意，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：， ， 答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米； （2）设方案一所用时间为：， 方案二所用时间为，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴方案二所用的时间少． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键． 28．（7分）欧拉是 18 世纪瑞士著名的数学家， 他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时， 在初等数学中也到处留下了他的足迹． 下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究， 例如， 当 时的欧拉公式为： 证明如下： (1)请将材料中 时欧拉公式的证明过程补充完整． (2)请从下面 两题中任选一题进行解答， 我选择___________题． A．写出当 时的欧拉公式， 并任选一组 的值， 对该公式当 时的情形进行验证． B．写出当 时的欧拉公式， 并证明； (3)利用欧拉公式直接写出 的结果． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据公式进行计算，先通分，再化简运算即可； （2）A.选，代入公式进行计算即可求解； B. 当时，根据公式进行计算，先通分，再化简运算即可； （3）令根据公式直接计算即可求解． 【详解】（1）当时，证明过程如下： 左边 ． （2）A． 若． 则左边 右边． B．证明：当时，左边 ； （3）令 ，由公式可得， ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，平方差公式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$