精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

秘密★启用前【考试时间：1月16日08：00—10：00】 2025年重庆一中高2026届高二上期期末考试 数学测试试题卷 满分150分，考试用时.120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式的基本量运算求得公差，再由通项公式得项． 【详解】设公差为，则由得，解得， 所以， 故选：B． 2. 函数的极值点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由极值点的导数为0求得参数值，再检验． 【详解】由已知，则，， 当时，，则，因此， 当时，，，则，因此， 所以是极小值点，满足题意． 故选：A． 3. 与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与椭圆共焦点，与双曲线共渐近线的方程设为，再求解 【详解】因为椭圆，焦点在x轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：B 4. 已知等差数列的前项和为，则当取最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由首项为正，两个和乘积小于0得出公差小于0，数列递减，然后确定公差与首项的关系，再得出数列正负分隔的项后可得和最大时值． 【详解】是等差数列，，而，所以，是递减数列， ， 所以， ，， 所以中最大，即所求， 故选：A． 5. 过点作函数的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【详解】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 6. 已知椭圆，圆交轴负半轴于，与在第一象限的交点为 为坐标原点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得是底角为，腰长为3的等腰三角形，进而可得，代入椭圆方程求参数值. 【详解】由题设是底角为，腰长为3的等腰三角形，得 所以，代入椭圆得，可得， 由，则，可得，即. 故选：C 7. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题化为与有三个交点，导数研究的性质并确定极值，列不等式求参数范围. 【详解】由题意，与有三个交点， 由，在上，在上单调递增， 在上，在上单调递减， 当趋向时趋向于0，趋向时趋向于，且，， 所以，，即. 故选：C 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法得到数列的通项公式，再用裂项相消得到数列的和. 【详解】由题意可知 即， ∴， ∴ . 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足对成立，的前项和为的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. D. 若，则为等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】由得数列为等比数列，并求出其通项公式和前项和公式，由等比的定义即可判断A选项和D选项，写出的通项公式有等差数列的定义即可判断B选项，由利用分组求和与等比数列的求和公式即可得到C选项. 【详解】∵，∴数列为等比数列，∴， 则，而不是常数，故不为等比数列，A选项错误； ，是常数，所以为等差数列，B选项正确； ，C选项正确； ，，所以为等比数列，D选项正确. 故选：BCD 10. 已知椭圆的左右两个焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，是椭圆上任意一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 最小值为 B. 若直线经过点，则 C. 存在点，使得 D. 有且只有2个点，满足 【答案】AB 【解析】 【分析】求出，由椭圆性质判断A，计算出面积判断B，根据以为直径的圆与椭圆的位置关系判断C，设，由面积关系及在椭圆上列方程组求得点坐标判断D． 【详解】椭圆中，，，所以， 选项A，的最小值是，A正确； 选项B，直线方程为，代入椭圆方程有，， 所以，B正确； 选项C，因此，因此以为直径的圆与椭圆只有两个公共点，为椭圆的短轴顶点，除这两个短轴顶点外，椭圆的其它点都在圆外，所以，从而不可能成立，C错； 选项D，设，由得， 即，，又在椭圆上，所以， 解方程组，得或或或， 因此满足条件的点有4个，D错， 故选：AB 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 函数可能有极大值，也可能有极小值 C. 若函数存在唯一的极值点，且，则 D. 当的极大值的范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数研究单调性判断A；由，易得时函数存在极值点，令，导数研究右侧单调性和值域，即可判断零点个数，进而确定的极值情况判断B；根据B的分析得，求参数范围判断C；同C分析有，且，利用导数研究值域范围判断D. 【详解】A：且定义域为，则， 所以在上单调递增，对； B：由且定义域为，显然，，不存在极值点， 所以，令， 令且，则， 故在上单调递增，且值域为， 所以与有且仅有一个交点，即有且仅有一个零点，记为， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以存在极大值， 综上，只可能存在极大值，不存在极小值，错； C：由B分析知，且在上单调递增， 所以，即，可得，对； D：当，则，即， 又在上单调递增，且有，有， 所以，故， 令且，则， 所以，即在上单调递减，故， 所以极大值的范围是，对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于B分析，注意，得到要使函数存在极值，必有，进而研究为关键. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是抛物线的焦点，点是上一点，，则的中点到轴的距离为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据焦半径公式可求出点的坐标，再得到的中点坐标，从而解出. 【详解】设，，,准线方程为, 所以，解得， 所以的中点横坐标为，即的中点到轴的距离为4. 故答案为：4. 13. 无人机表演美轮美色，为了精确的控制每一台参演的无人机，程序员需要为每一台无人机编写控制代码.已知一位程序员每天最多可以编写110行该类代码，从第二台无人机开始，后一台无人机需要的控制代码数量是前一台的倍，已知控制1000台无人机需要24300行代码，控制2000台无人机需要32400行代码.某无人机表演公司接到客户临时通知，将表演规模从3000台增加到5000台，仅有2天的时间准备，则该公司最少需要组织______名程序员编写新增的控制代码. 【答案】6 【解析】 【分析】设控制第一台无人机需要行代码，，利用等比数列前项和公式列方程组求得，再由等比数列前项和公式求得从3000台增加到5000台增加的量即可得．用等比数列的片断和性质更加简单． 【详解】法一：设控制第一台无人机需要行代码，显然，由题意 ，解得， 将表演规模从3000台增加到5000台，需要增加的代码行数为： ， ， 因此至少该公司最少需要组织6名程序员编写新增的控制代码. 故答案为：6. 法二：设控制第台无人机需要的代码行数为，由题意是公比为的等比数列， 则仍然成等比数列， 由已知，，， 所以，，， 从而表演规模从3000台增加到5000台，需要编写控制代码行数为，以下同法一． 14. 已知，若恒成立，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过分区间讨论函数，在不同区间上通过恒成立条件转化为求函数最值问题，进而确定的取值范围，得到的最小值. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 令, 则, 令，则， 在上单调递增，， 所以在恒成立，所以在上单调递增， ， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，. 当时，恒成立，即恒成立， 令,则， 令，得所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 又 所以，所以， 所以恒成立时，的最小值为. 故答案为: 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）若，求的单调区间； （2）若且的单调递减区间的长度为4， （i）求的值； （ii）已知有唯一的对称中心，求的值. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为. （2）（i）；（ii）18. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可； （2）（i）对函数求导，根据导数符号判断单调性，结合已知递减区间长度求参数值；（ii）根据（i）得解析式，再由确定对称中心，结合已知及对称性求函数值. 【小问1详解】 由题设，则， 在上，在上单调递增， 在上，在上单调递减， 所以的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 由， （i）当时，在上，在上单调递减，区间的长度小于4，不符； 当时，，在定义域上单调递增，不符； 当时，则在上，在上单调递减，此时，满足； 综上，； （ii）由上知， 所以 ， 所以，即点是的对称中心， 又有唯一的对称中心，故. 16. 已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为2. （1）求双曲线的方程； （2）过的一条直线交双曲线的右支于两点，若是直角三角形，判断哪一个角不可能是直角，并求直线的方程. 【答案】（1） （2）不可能是直角；当时，；当时，； 【解析】 【分析】（1）由题意得到双曲线方程中的和渐近线方程及双曲线一条渐近线的垂线方程，联立方程组求得交点坐标，由坐标表示出的面积，从而建立方程解得双曲线方程中的，然后得到双曲线方程； （2）讨论直线是否存在，然后当斜率存在时设出直线方程，联立方程组，设交点坐标，利用向量垂直建立方程，解得对应，并验证是否属于对应区间，即可知道不可能是直角.再分别利用双曲线的定义和直角三角形三边关系，分别求出当，时，对应直线的直线方程. 【小问1详解】 由题意可知，渐近线方程为， 则双曲线一条渐近线的垂线方程为：， 联立方程组得，解得，即， ∴， ∴，即， 又因为，∴， ∴双曲线. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，，则， 此时，显然此时是不是直角三角形， 当直线斜率存在时，设，， 联立方程组得：，整理得， 判别式， 设，则， 则，，， ， 即， 则，解得， 故不可能是直角. 当为直角时， 设，则，∵， 即，即，， 即，，， 故直线的方程： 由双曲线的对称性，同理可求当为直角时， 直线的方程： 【点睛】方法点睛，本题考查的是直线与双曲线的交点问题，综合性较强.验证平面内三点所成角是否为直角的问题可以借助向量垂直来完成.当我们知道角是直角，就可以借助直角三角形的三边关系求边长和夹角的正切值了. 17. 已知公差为的等差数列和公比为的等比数列满足：. （1）求的值； （2）若，且，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等比数列项之间的关系建立等量关系，解方程组即可得到的值； （2）将和代会（1）中求得，从而求得以及，从而知道，对进行奇偶讨论，分别出对应的数列的前项和. 【小问1详解】 ∵， ∴， 即，即， 因为，所以解得. 【小问2详解】 将，代入（1）中等式可得，∴， 由得， ∴， 则， 当为奇数时， ， 当为偶数时， 综上所述 18. 已知点，动点在以点为圆心，4为半径的圆上，若线段的中垂线交线段于点为坐标原点. （1）求点的轨迹的方程； （2）若轨迹交轴正半轴于点，过线段（不含端点）上一动点，作斜率分别为1和的两条直线，若交轨迹于两点，交抛物线于点两点，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，到两定点距离之和为定值（大于两定点间距离）的点的轨迹为椭圆，通过已知条件求出椭圆的基本参数、、，从而得到椭圆方程. （2）利用韦达定理求出弦长，再根据垂直关系求出四边形面积表达式，最后通过求函数最值得到四边形面积的最大值.求解计划是先根据直线与曲线方程联立后的韦达定理求出弦长和，进而得到四边形面积表达式，再对面积表达式中的函数求导求最值. 【小问1详解】 线段的中垂线交线段于点，则， 且，则， 根据椭圆定义可知点的轨迹为椭圆. 设椭圆方程为，其中为半焦距. 由，可得，又，根据，可得. 点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）易知，设， 设直线与椭圆联立： 联立方程，将代入椭圆方程得. 设，由韦达定理得. 计算，得. 设直线与抛物线联立： 联立方程，将代入抛物线方程得. 设，由韦达定理得. 计算，因为， 所以，得. 因为，所以. 记，求导得. 令，即，解得，所以在上单增，同理在上单减. 所以，则. 四边形的面积的最大值为，此时为椭圆的右焦点. 【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交的两条弦长问题两种方法： 1.直线求出交点坐标，由两点间距离公式求得弦长， 2.设直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得两根之和与两根之积，然后由弦长公式计算．对含有参数的弦长第二种方法较适用． 19. 已知函数. （1）若，求在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）试比较与2的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，得到切线方程即可. （2）对的参数进行分类讨论，转化为不等式的恒成立问题，求解参数范围即可. （3）利用上一问证明的不等式结合赋值法证明不等式即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 此时，故切点为， 设切线斜率为，而， 故， 则切线方程为，化简得， 【小问2详解】 若， 则， 当时，，， 故在上单调递减， 当时，，与矛盾，故排除， 当时，当时，， ，故，与矛盾，故排除， 当时，，令，解得， 令，解得，故在上单调递减， 在上单调递增，则有极小值， 极小值为，只需要即可， 令，记，则， 记， 则， 得到在上单调递减，而， 即，故，在上单调递减， 而，若，则， 得到，解得，故的取值范围为. 【小问3详解】 令，得到， 由上问得恒成立，故恒成立， 得到恒成立，两边取指数得恒成立， 令，则， 令，则， 两式相加得，即成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用已经证明的不等式结合赋值法建立不等式，然后利用不等式的性质得到所要求的不等关系即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前【考试时间：1月16日08：00—10：00】 2025年重庆一中高2026届高二上期期末考试 数学测试试题卷 满分150分，考试用时.120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 2. 函数的极值点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，则当取最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 过点作函数的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，圆交轴负半轴于，与在第一象限的交点为 为坐标原点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足对成立，的前项和为的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. D. 若，则为等比数列 10. 已知椭圆的左右两个焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，是椭圆上任意一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 最小值为 B. 若直线经过点，则 C. 存在点，使得 D. 有且只有2个点，满足 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 函数可能有极大值，也可能有极小值 C. 若函数存在唯一的极值点，且，则 D. 当的极大值的范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是抛物线的焦点，点是上一点，，则的中点到轴的距离为______. 13. 无人机表演美轮美色，为了精确的控制每一台参演的无人机，程序员需要为每一台无人机编写控制代码.已知一位程序员每天最多可以编写110行该类代码，从第二台无人机开始，后一台无人机需要的控制代码数量是前一台的倍，已知控制1000台无人机需要24300行代码，控制2000台无人机需要32400行代码.某无人机表演公司接到客户临时通知，将表演规模从3000台增加到5000台，仅有2天的时间准备，则该公司最少需要组织______名程序员编写新增的控制代码. 14. 已知，若恒成立，则的最小值为______. 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）若，求的单调区间； （2）若且的单调递减区间的长度为4， （i）求的值； （ii）已知有唯一的对称中心，求的值. 16. 已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为2. （1）求双曲线的方程； （2）过的一条直线交双曲线的右支于两点，若是直角三角形，判断哪一个角不可能是直角，并求直线的方程. 17. 已知公差为的等差数列和公比为的等比数列满足：. （1）求的值； （2）若，且，求数列的前项和. 18. 已知点，动点在以点为圆心，4为半径的圆上，若线段的中垂线交线段于点为坐标原点. （1）求点的轨迹的方程； （2）若轨迹交轴正半轴于点，过线段（不含端点）上一动点，作斜率分别为1和的两条直线，若交轨迹于两点，交抛物线于点两点，求四边形的面积的最大值. 19. 已知函数. （1）若，求在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）试比较与2的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $