精品解析：浙江省湖州市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题

2024-2025学年浙江省湖州市高一上学期期末调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，其中，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 3. 将函数图象上每个点向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某“激进型理财产品”是按复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息.假设最开始本金为a元，年利率为，约经过（ ）年后，本息和能够“增倍”即为原来的2倍附参考公式：，当x接近于0时，参考数据：，， A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 7. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 8. 已知函数满足，，集合，若，则ab的值为（ ） A. B. 0 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 函数在上的值域是 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形 ABCD边长为1， P，Q分别为边AB，DA上的点，当的周长为2时，则（ ） A. B. PQ的长度有最大值 C. 的面积有最大值 D. 的面积有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数是常数满足，则__________. 13. 已知单位圆上有一段圆弧的长是l，且该弧所对圆周角的余弦值是，则__________. 14. 已知函数，其图象与直线有两个交点.若关于x的方程有三个不等的实根，则实数a的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）求 （2）若集合，且，求实数 m的取值范围. 16. 已知锐角满足方程 （1）当时，求的值; （2）当时，求的值. 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并说明理由; （2）判断函数否存在零点，若存在零点，请写出一个区间，满足，且若不存在零点，请说明理由. 18. 已知函数，可将其化成的形式. （1）求A，，，K的值; （2）求函数的最小正周期，并求其图象的对称中心; （3）若，，求的值. 19. 如图，湖州“飞凤大桥”是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线.一般的，悬链线方程为（为参数，为自然对数的底数，，当时，该方程就是双曲余弦函数 （1）求的值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围; （3）如果定义双曲正弦函数为，当时，试比较与的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省湖州市高一上学期期末调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，其中，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义即可求解. 【详解】已知角的终边经过点， 当时，， 当时，， 故选：D. 2. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断得，再结合各选项分析即可 【详解】， 得，故. 故选：B. 3. 将函数图象上每个点向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图象的平移变换进行求解. 【详解】解：把函数的图象向右平移 个单位长度，得， 把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变， 得到的图象. 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】由，所以，可得，故充分性成立； 由，可得，取，，但是不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上递增列不等式，由此求得的取值范围． 【详解】由于在上单调递增，所以， 由得即， 当时，，，显然成立； 当时，单调递增，且，故， 综上，， 所以a的取值范围是 故选：C 6. 某“激进型理财产品”是按复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息.假设最开始本金为a元，年利率为，约经过（ ）年后，本息和能够“增倍”即为原来的2倍附参考公式：，当x接近于0时，参考数据：，， A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求出n年后本息和，应用指数对数转化，再结合对数运算解不等式即可. 【详解】设经过n年后本息和能够“增倍” 依题意可得，，即， 故n的最小整数值为 故选： 7. 已知，则的值为（ ） A 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的正余弦公式可得，进而利用两角和的余弦与正弦公式可求得，进而可求得. 【详解】先由，得到， 即，所以， 即， 所以，，， 得. 8. 已知函数满足，，集合，若，则ab的值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用累加法求得，进而确定的周期，设，即为，，，，因为，分类讨论可求得的值. 【详解】由， 可得， … ， ， 相加得， 所以， 所以，其周期为， 前4项为，， ，， 设，即为，，， 因为集合，且， ①若， 则，则 （i）若， 则，矛盾； （ii）若， 则，即 若k为奇数，则，， 则 若k为偶数，则，， 则 ②若， 则， 则，得，即； 当k为奇数，则，， 则 ③若， 若，得，则， 则，矛盾. ④若， 则， 则，同理可得 ⑤若，同理可得出矛盾. ⑥当， 则，则，同理可得 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：关键在于运用累加法求得，进而得到，确定周期，进而分类讨论求得，有一定难度，分类讨论是数学方法中一种重要的思想方法. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 函数在上的值域是 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，由函数图象由周期求出即可判断；选项B，把点带入求出，得出的解析式，再求出即可判断；选项C，根据正弦函数的性质即可判断；选项D，利用正弦函数的性质即可求出值域. 【详解】由函数的图象可得由，解得，从而A正确； ，又因为，解得， 从而，所以， 即函数为偶函数，从而B错误； 当时，，所以 ，函数的图象关于直线对称，所以C正确； 因为时，，所以当时， 当时，所以函数在上的值域是从而D错误. 故选： 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，利用1的代换计算可判断A；利用配方法可求最小值判断B；利用对数运算可判断C；利用平方法可求得，可判断D. 【详解】由题意，，当且仅当时，取等号， 对于A、， 当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B、， 当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C、，当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D、因为，且， 则，当且仅当时，取等号，故D错误. 故选：ABC. 11. 如图，正方形 ABCD的边长为1， P，Q分别为边AB，DA上的点，当的周长为2时，则（ ） A. B. PQ的长度有最大值 C. 的面积有最大值 D. 的面积有最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，，求出   ，  ，，根据的周长为2，得到； 对于A，先表示出，，再证明即可；对于B，，，利用基本不等式求解最小值即可；对于C，表示出的面积为，利用及基本不等式求解最小值即可；对于D，表示出的面积 ，利用及基本不等式求解最小值即可. 【详解】设，，则，，， 则，， 在中，，又因为的周长为2，即， 所以，即. 对于A，， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 解得，当且仅当时取等号， 所以，故B错误； 对于C，的面积为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为的面积为，的面积为，的面积为， 所以 ，当且仅当时取等号， 即 面积的最小值为 ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是设出，，则，，，根据的周长为2确定满足的关系，进而利用基本不等式求解各个选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数是常数满足，则__________. 【答案】10 【解析】 【分析】将已知点代入函数解析式求出，得到函数解析式，再求即可． 【详解】幂函数为常数，  ， ，解得， ，    故答案为： 13. 已知单位圆上有一段圆弧的长是l，且该弧所对圆周角的余弦值是，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设该弧所对圆周角为，则该弧所对圆心角为，，利用二倍角正弦公式，即可求出结果. 【详解】设该弧所对圆周角为，则该弧所对圆心角为， 由题意知，，则， 所以， 又， 所以 故答案为： 14. 已知函数，其图象与直线有两个交点.若关于x的方程有三个不等的实根，则实数a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先通过令，将绝对值方程转化为两个方程，进而得到与直线和的关系，根据与有两个交点确定的取值范围.接着对于，通过换元令，将其转化为，再结合前面得到的的范围，分析的根的情况，进一步研究和根的个数.根据不同取值范围下图象与直线，交点个数的不同情况，最终确定满足有三个不等实根时的值. 【详解】令， 显然时，等式不成立，故 则或，即或， 因为与有两个交点， 所以与直线与直线有两个交点， 因为，所以，解得 考虑，令，则方程可化为， 由前面的分析可知，当时，有两个不等正实根， 则，则只需研究和根的个数， 方程的判别式为， 当时，，则的图象有位于x轴下方的部分， 保留其位于x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分作关于x轴的翻折，即得的图象， 此时的图象与直线，都至少有2个交点，故共至少有4个交点， 则至少4个根，不合题意. 当时，，恒成立， 所以，则， 要使得恰有3个根，需的图象与，都有3个交点， 因为，所以的图象与有一个交点，与有2个交点， 所以，由可得，， 所以， 则，即， 所以，所以， 整理得， 即，即， 化简得，解得或舍去 综上所述， 故答案为： 【点睛】思路点睛： 遇到此类函数与直线交点以及复合方程根的问题，先从函数与直线交点入手，通过方程转化和函数性质确定参数初步范围.再对复合方程进行换元，将其转化为简单方程，结合前面得到的参数范围，从函数图象角度分析根的个数情况，通过解方程最终确定参数的值. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）求 （2）若集合，且，求实数 m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合后可求交集； （2）根据集合的包含关系可得关于的不等式组，故可求实数 m的取值范围. 【小问1详解】 由，解得，所以 由，解得，所以， 故 小问2详解】 当时，，符合题意; 当时，由，知，又， 所以，即  综上所述， 16. 已知锐角满足方程 （1）当时，求的值; （2）当时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，求解即可； （2）当时，得到结合锐角，所以，求解即可. 【小问1详解】 当时，， 即， 所以 【小问2详解】 当时，， 所以，即， 因为为锐角，所以， 于是， 所以，， 故， 所以 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并说明理由; （2）判断函数是否存在零点，若存在零点，请写出一个区间，满足，且若不存在零点，请说明理由. 【答案】（1）奇函数；理由见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意得：的定义域为，并根据，可得函数是奇函数； （2）由题意得：，，根据，即可得零点存在区间. 【小问1详解】 由，得，所以的定义域为， 又， 所以为奇函数； 【小问2详解】 ，， 又，， 故由函数零点存在定理可知，函数在上存在零点， 此时，区间满足题意其中或，（答案不唯一）. 18. 已知函数，可将其化成的形式. （1）求A，，，K的值; （2）求函数的最小正周期，并求其图象的对称中心; （3）若，，求值. 【答案】（1），，， （2）最小正周期为， （3） 【解析】 【分析】（1）化简，可求得A，，，K的值； （2）利用周期公式可求的最小正周期，利用正弦函数的对称中心可求的对称中心； （3）由已知可求得，进而利用两角和的余弦公式可求得. 【小问1详解】 ， ， 所以，，，； 【小问2详解】 ，即的最小正周期为， 由，得， 所以图象的对称中心为； 【小问3详解】 由，得， 由，得， 由于， 所以，， 所以 19. 如图，湖州“飞凤大桥”是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线.一般的，悬链线方程为（为参数，为自然对数的底数，，当时，该方程就是双曲余弦函数 （1）求的值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围; （3）如果定义双曲正弦函数为，当时，试比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）1 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给解析式代入计算即可； （2）依题意可得恒成立，参变分离可得恒成立，换元，结合对勾函数的性质求出的最小值，即可得解； （3）作差，结合指数函数单调性及正、余弦函数的性质推理判断即可. 【小问1详解】 因为， 所以，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立，其中， 当且仅当即时取到等号，所以恒成立， 令，则，， 由在上单调递增， 当时，取得最小值为， 即的最小值为，所以 小问3详解】 因为 ， ①当时，， 即，所以，即，而， 所以 所以，即 ②当时，，即，所以， 即，而，所以， 所以，即 综上所述，当时， 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $