精品解析：重庆市合川区2024-2025学年上学期八年级数学期末测试题

2024-2025学年度第一学期期末质量检测试题 八年级 数学 注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．所有答案必须写在答题卡的指定位置，答在本卷或其他位置均不能得分． 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号所对应的方框涂黑． 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 4. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是角平分线，若，则的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 14 6. 一台收割机的工作效率相当于一个工人工作效率的180倍，用这台机器收割小麦比100个工人收割这些小麦要少用，设这台收割机每小时收割小麦，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用四个完全相同的长方形拼成一个正方形．可以用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，则由列出的代数式能得到的等式是（ ） A. B. C D. 无法确定 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，与的平分线交于点D，过点D的直线，分别交于点，若的周长为18，则边的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 正六边形的一个内角的度数为________°． 13. 计算：_______． 14 如图，已知，要证明，则需要添加一个条件____________． 15. 分解因式：_______ 16. 如图，在等边三角形中，D为边的中点，交于点交于点F，若，则的长为_______． 17. 如图，在中，，边的垂直平分线分别与相交于点为直线上一动点，则的最小值为_______． 18. 对于一个四位数N，若其千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称数N为“等合数”．例如：数，，是“等合数”，数，，不是“等合数”，则最大的“等合数”为_______；若“等合数”N各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字和个位上的数字对调，百位上的数字和十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若可以写成某个整数的平方，则满足条件的N的最小值为_______． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题均为10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）作出关于x轴对称的并写出其顶点坐标； （2）在（1）的条件下确定一点P，使得且，直接写出点P的坐标． 20. 解下列分式方程： （1）； （2）． 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 22. 如图，在中，是角平分线，是高，它们相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 23. 观察下列等式： ； ； ； …… （1）根据以上等式的规律，填空：； （2）根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； （3）利用（2）中的等式化简：． 24. 如图，，点在同一直线上，点在直线异侧． （1）求证：； （2）求证：． 25. 超级计算机，简称“超算”，随着超算的发展、算力的提升，使人工智能的发展也达到了新的高度，我国先后研发出了“天河一号”和“天河二号”超级计算机． （1）已知一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次．求一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为多少亿亿次？ （2）我国在2023年正式发布了新一代超级计算机“天河星逸”，其每秒计算次数为“天河二号”的11倍．计算605亿亿次，一台“天河星逸”所用的时间比一台“天河二号”少100秒，求一台“天河二号”与一台“天河星逸”每秒平均计算次数各为多少亿亿次？ 26. 如图，中，，，D为边的中点，点E在线段上（不与点重合），以为直角边构造等腰（在点E的右侧），连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点F作交于点G，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，P为的中点，连接交于点Q，求证：Q为的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末质量检测试题 八年级 数学 注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．所有答案必须写在答题卡的指定位置，答在本卷或其他位置均不能得分． 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号所对应的方框涂黑． 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，分式的定义：分母中含有字母的式子是分式．根据分式的定义，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、是整式，故此选项不符合题意； B、是整式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除、幂的乘方的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除、幂的乘方的运算法则，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项计算不正确，不符合题意； B、，故此选项计算不正确，不符合题意； C、，故此选项计算不正确，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 4. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式是解题的关键．根据最简分式的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、的分子、分母含有公因式，不是最简分式，不符合题意； B、的分子、分母含有公因式，不是最简分式，不符合题意； C、，分子、分母含有公因式，不是最简分式，不符合题意； D、的分子、分母不含有公因式，是最简分式，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，是角平分线，若，则的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到的面积． 【详解】解：∵是角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∴的面积， 故选：A． 6. 一台收割机的工作效率相当于一个工人工作效率的180倍，用这台机器收割小麦比100个工人收割这些小麦要少用，设这台收割机每小时收割小麦，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．设这台收割机每小时收割小麦，结合题意列出方程即可． 【详解】解：设这台收割机每小时收割小麦， 由题意得，， 即． 故选：A． 7. 如图，用四个完全相同的长方形拼成一个正方形．可以用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，则由列出的代数式能得到的等式是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意，正确列出代数式是解题的关键．根据题意依次表示出阴影部分的面积、正方形的面积、长方形的面积，结合图形即可得出结论． 【详解】解：由题意得，阴影部分的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为， 阴影部分的面积等于正方形的面积减去4个长方形的面积， ． 故选：B． 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可得，得到，由得到，设，利用三角形内角和定理列出方程求出的值，即可解答． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 的度数为． 故选：B． 9. 如图，在中，与的平分线交于点D，过点D的直线，分别交于点，若的周长为18，则边的长为（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，证明为等腰三角形，推出的周长等于，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故选B． 10. 如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交延长线于点，通过证明得到，，由，可设，则，得到，利用三角形的面积公式得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方，熟练掌握幂的乘方、积的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方、积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 正六边形的一个内角的度数为________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理， 先求出正六边形的内角和，再根据每一个内角都相等得出每个内角的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， 所以每一个内角的度数为． 故答案为：120． 13. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法，熟练掌握分式的加法运算法则是解题的关键．根据分式的加法运算法则即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图，已知，要证明，则需要添加一个条件____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理添加条件证明即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 分解因式：_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键．利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16. 如图，在等边三角形中，D为边的中点，交于点交于点F，若，则的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，易得为含30度角的直角三角形，为等边三角形，为等腰三角形，进而得到，即可． 【详解】解：∵等边三角形中，D为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴等边三角形， ∴； 故答案为：4． 17. 如图，在中，，边的垂直平分线分别与相交于点为直线上一动点，则的最小值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵边的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∴当A、P、B三点共线时，最小， ∴的最小值为， 故答案为：6． 18. 对于一个四位数N，若其千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称数N为“等合数”．例如：数，，是“等合数”，数，，不是“等合数”，则最大的“等合数”为_______；若“等合数”N各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字和个位上的数字对调，百位上的数字和十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若可以写成某个整数的平方，则满足条件的N的最小值为_______． 【答案】 ①. 9999 ②. 1265 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算、整式加减的应用，理解新定义，正确用字母表示“等合数”是解题的关键．根据“等合数”的定义可得最大的“等合数”为9999；设“等合数”，则有，，计算可得，结合可以写成某个整数的平方，可得或，再结合N有最小值逐步分析各个数位上的数字即可求解． 【详解】解：根据“等合数”的定义可得最大的“等合数”为9999； 设“等合数”，且，即， ， ， 可以写成某个整数的平方，且“等合数”N各个数位上的数字互不相同且均不为零， 或， 或， 若使有最小值，则的值最小为1， 当或时，，不符合题意，舍去； 当时，的值为2， 则的值最小为3，的值为4， 此时“等合数”； 当时，值为5， 则的值最小为2，的值为6， 此时“等合数”； ， 满足条件的N的最小值为1265． 故答案为：9999；1265． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题均为10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）作出关于x轴对称的并写出其顶点坐标； （2）在（1）的条件下确定一点P，使得且，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称性质画出，进而写出顶点坐标即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由图可知：； 【小问2详解】 ∵和关于x轴对称， ∴轴上任意一点到的距离相等，到的距离相等， ∴点坐标可以为：（答案不唯一）． 20. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验整式方程的解是不是分式方程的解； （2）先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验整式方程的解是不是分式方程的解． 【小问1详解】 解： ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式、因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 22. 如图，在中，是角平分线，是高，它们相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形的内角和为是解题的关键． （1）利用是高，可得，求出，再根据角平分线的定义求出，即可求出的度数； （2）利用是高，可得，得出，根据角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 解：是高， ， 又， ， 是角平分线， ， 的度数为． 【小问2详解】 解：是高， ， 又， ， 是角平分线， ， ， ． 的度数为． 23. 观察下列等式： ； ； ； …… （1）根据以上等式的规律，填空：； （2）根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； （3）利用（2）中的等式化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法运算和探究与表达规律． （1）根据上述式子，即可得出答案； （2）根据上述式子，即可得到规律； （3）利用结论，把看成，进行化简，即可求解． 【小问1详解】 解：∵； ； ； ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得到规律． 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 24. 如图，，点在同一直线上，点在直线的异侧． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，即可得证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 超级计算机，简称“超算”，随着超算的发展、算力的提升，使人工智能的发展也达到了新的高度，我国先后研发出了“天河一号”和“天河二号”超级计算机． （1）已知一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次．求一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为多少亿亿次？ （2）我国在2023年正式发布了新一代超级计算机“天河星逸”，其每秒计算次数为“天河二号”的11倍．计算605亿亿次，一台“天河星逸”所用的时间比一台“天河二号”少100秒，求一台“天河二号”与一台“天河星逸”每秒平均计算次数各为多少亿亿次？ 【答案】（1）一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次 （2）一台“天河二号”与一台“天河星逸”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用： （1）设一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次，根据一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次，列出方程组进行求解即可； （2）设一台“天河二号”每秒平均计算次数为亿亿次，根据计算605亿亿次，一台“天河星逸”所用的时间比一台“天河二号”少100秒，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次，由题意，得： ，解得：， 答：一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次； 【小问2详解】 设一台“天河二号”每秒平均计算次数为亿亿次，由题意，得： ， 解得：； 经检验是原方程的解， ∴， 答：一台“天河二号”与一台“天河星逸”每秒平均计算次数各为亿亿次和亿亿次． 26. 如图，中，，，D为边的中点，点E在线段上（不与点重合），以为直角边构造等腰（在点E的右侧），连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点F作交于点G，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，P为的中点，连接交于点Q，求证：Q为的中点． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形和等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意得是等腰直角三角形，得到，再利用三角形外角的性质得到的度数，即可求出的度数； （2）利用等腰三角形三线合一性质得到，进而得到，再利用全等三角形判定证明，得到，最后利用线段和差即可得证； （3）延长交于点，先利用等腰三角形的性质得到，得到，进而得到，再推出即可得证． 【小问1详解】 解：，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：， D为边的中点， ，， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 证明：如图，延长交于点， 由（2）得，，，， 又P为的中点， 平分， ， ， ， ， ，， ， ，， 由（2）得，， ，， ， ， ， Q为的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$