双曲线专项提升卷（8大考点）-2025届高考数学一轮复习

双曲线专项提升卷（8大考点汇总与跟踪训练）-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 8大考点汇总 考点一：利用双曲线定义求方程 考点二：双曲线点到焦点的距离以及最值 考点三：双曲线中焦点三角形问题 考点四：双曲线标准方程及其应用 考点五：双曲线焦距问题 考点六：双曲线的渐近线问题 考点七：求双曲线离心率 考点八：根据离心率求双曲线方程 跟踪训练 一、单选题 考点一：利用双曲线定义求方程 1．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 考点二：双曲线点到焦点的距离以及最值 5．已知双曲线，设是双曲线上的一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 6．设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（   ） A．3 B．9 C．27 D．3或27 7．若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 8．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点三：双曲线中焦点三角形问题 9．已知，是双曲线的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且是和的等差中项，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．已知，为双曲线的左，右焦点， O为坐标原点， M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为（ ） A． B． C．2 D． 11．已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的周长是（   ） A． B． C． D． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 考点四：双曲线标准方程及其应用 13．已知曲线，则（    ） A．当时，C是半径为的圆 B．当时，C是焦点在x轴上的椭圆 C．当时，C是焦点在x轴上的双曲线 D．当时，C是两条直线 14．在平面直角坐标系中，已知两定点、，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（   ） A．当时，曲线是以原点为圆心，半径为的圆 B．当时，点所在曲线的焦点在轴上 C．当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点 D．当时，直线与曲线有两个不同公共点，则 15．关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示圆 B．若，则曲线表示抛物线 C．若，则曲线表示椭圆 D．若，则曲线表示双曲线 16．已知一条线段的端点分别是，关于的方程，则（    ） A．当时，方程所表示的曲线是以为直径的圆 B．当时，方程所表示的曲线是双曲线 C．存在，使得方程所表示的曲线是椭圆 D．任意，方程所表示的曲线围成的封闭区域面积大于 三、填空题 考点五：双曲线焦距问题 17．已知双曲线的焦距为，则 . 18．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2a，则C的焦距为 ． 19．设F为双曲线C：的左焦点，，分别为双曲线C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为2，且满足，则双曲线C的焦距为 . 20．双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为 . 四、解答题 考点六：双曲线的渐近线问题 21．已知双曲线：，若与双曲线有相同的渐近线，且的焦点与虚轴的端点为顶点的四边形的面积为. (1)求的方程； (2)设过右焦点的直线与交于，两点，以为直径圆恰好过原点，求直线的方程. 22．已知双曲线的左，右焦点分别为. (1)若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； (2)已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 23．已知双曲线的顶点为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积． 24．已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程，并说明曲线C的形状； (2)若双曲线E的右焦点是曲线C的对称中心，其渐近线是曲线C的切线，求双曲线E的标准方程. 考点七：求双曲线离心率 25．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 26．已知双曲线的方程为，虚轴长为，点在曲线上. (1)求双曲线的离心率； (2)过原点的直线与双曲线交于两点，已知直线和的斜率存在.证明：直线和的斜率之积为定值. 27．双曲线：，已知是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 28．过双曲线C：（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交抛物线于点，若（为坐标原点），设为抛物线的焦点. (1)若抛物线上一点到点的距离是3，求的值； (2)求双曲线C的离心率； (3)过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A，B两点，l2与抛物线交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF||NF|的最小值. 考点八：根据离心率求双曲线方程 29．已知双曲线的左顶点为，离心率e为，过点的直线l交双曲线左支于A，B两点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若O是坐标原点，且，求直线l的斜率. 30．已知双曲线E：的离心率为，焦距为 (1)求E的方程； (2)过作两条斜率存在且互相垂直的直线，.若交E于A，B两点，交E于C，D两点，M，N分别为与的中点，分别记和的面积为，. （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）当时，求直线的斜率的取值范围. 31．已知双曲线的焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程. 32．对于椭圆：（），我们称双曲线：为其伴随双曲线.已知椭圆C：（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍. (1)求椭圆C伴随双曲线的方程； (2)点F为的上焦点，过F的直线l与上支交于A，B两点，设的面积为S，（其中O为坐标原点）.若，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《双曲线专项提升卷（8大考点汇总与跟踪训练）-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A B C C D B C 题号 11 12 13 14 15 16 答案 C B AC BD AD AC 1．B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 2．B 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 3．C 【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可. 【详解】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨方程为：． 故选：C． 4．A 【分析】根据两圆相切的条件，结合双曲线的定义求轨迹方程. 【详解】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心， ，即， 取，连接，O是中点，则， 因此， 当两圆内切时，记动点为，的中点为D， 则，所以， 因为点、分别是、的中点，所以， 所以， 所以动点P满足，而， 所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A. 5．B 【分析】根据双曲线定义可得答案. 【详解】因为，所以， 因为是双曲线上的一点，所以， 即，解得（舍去），或. 故选：B. 6．C 【分析】根据双曲线的渐近线方程可求得的关系，进而求得的值，由双曲线定义进而求得答案． 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程是，且， 所以，， ， 又，，所以点只在左支上， 所以，即. 故选：C. 7．C 【分析】利用双曲线方程求得，再利用双曲线的定义即可得解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则. 故选：C. 8．D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 9．B 【分析】根据双曲线方程及其定义有，结合等差中项的性质有，可求，进而可证，即可求. 【详解】由双曲线，得，， 因为是和的等差中项， 所以，即 ①， 由双曲线的定义得 ②， 由①②得，，， 所以，即， 故 故选：B 10．C 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合三角形余弦定理及面积公式列式计算得解. 【详解】双曲线的焦点，， 在中，由余弦定理， 得， 即，解得，又， 令M到x轴的距离为，则， 即，解得，所以M到x轴的距离为2. 故选：C. 11．C 【分析】先得到的内切圆与轴的切点为双曲线右焦点，并求出，由双曲线定义得到，利用的面积得到方程，求出其内切圆半径，并得到，再由的面积得到方程，求出其内切圆半径，并由勾股定理得到，由对称性得到，求出三角形周长. 【详解】由题意得，解得，故， 设的内切圆与轴的切点为， 由切线长定理得， 由双曲线定义知，， 即， 设，则，， 故，故，解得， 故为双曲线的右顶点， 中，令得，故， 故，解得， 则Rt的面积为， 设的内切圆半径为， 则，即， 解得，即， 由对称性可知，关于轴对称，设与轴交点为， 则，故， 设的内切圆半径为， 又，， 故， 即，解得， 由对称性可知，平分， 故内切圆圆心在轴上，且与切于点， 其中， 故，， 由勾股定理得， 故，则的周长为. 故选：C 【点睛】结论点睛：双曲线焦点三角形的内切圆的圆心的横坐标为或. 12．B 【分析】设，，根据椭圆定义得到，再由题中条件，结合勾股定理，即可得出结果. 【详解】解：设，， 因为椭圆C：， 所以由椭圆的定义可知，， 所以，即， 由勾股定理可知：， 求得 故选：B. 13．AC 【分析】结合圆、椭圆、双曲线的方程特征逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，是半径为的圆，A正确； 对于B，取，，即，曲线是焦点在轴上的椭圆，B错误； 对于C，当时，是焦点在x轴上的双曲线，C正确； 对于D，当时，是一条直线，D错误. 故选：AC. 14．BD 【分析】求出曲线的方程，利用圆的方程可判断A选项；利用双曲线的方程可判断B选项；利用直线与曲线的位置关系可判断CD选项. 【详解】由题意可得，其中， 整理可得， 对于A选项，当时，曲线的方程为， 此时，曲线是以原点为圆心，半径为的圆（除去点、），A错； 对于B选项，当时，点所在的曲线是除去顶点的双曲线，且其焦点在轴上，B对； 对于C选项，当时，曲线是去掉、的圆或椭圆， 因为时，即当时，点在曲线外， 此时，过点的直线与曲线不一定有公共点，C错； 对于D选项，当时，联立可得， 直线与曲线有两个不同公共点， 则，所以，，D对. 故选：BD. 15．AD 【分析】分，，，，多种情况分别对进行变形，对照圆、抛物线、椭圆、双曲线的方程即可做出判断. 【详解】若，，表示以为圆心，半径为的圆,故A正确，但C不正确； 若，则，时，表示两条直线，时不表示任何图形；若，则，时，表示两条直线，时不表示任何图形.故B不正确； 若，则表示焦点在轴上的双曲线；若，则表示焦点在轴上的双曲线.故D正确. 故选：AD. 16．AC 【分析】依据题意化简方程并结合给定条件判断A，举反例判断B，D，举例子判断C即可. 【详解】对于A，当时， 方程化为， 故， 得到 ， 化简得， 即， 故， 化简得 ， 即， 得到， 故， 得到该方程是圆心为，半径为的圆， 由中点坐标公式得中点为， 由两点间距离公式得，故， 即此时方程所表示的曲线是以为直径的圆，故A正确， 对于B，我们令，， 此时方程化为， 即，化简得， 得到，即， 故得到或， 此时方程所表示的曲线不是双曲线，故B错误， 对于C，令，， 此时方程可化为， 即，化简得， 故，得到， 即，令，方程为， 此时方程所表示的曲线是椭圆， 故存在，使得方程所表示的曲线是椭圆，即C正确， 对于D，令，， 此时方程化为， 即，化简得， 得到，即， 此时方程为半径是的圆，面积为， 而此时，故， 故此时方程所表示的曲线围成的封闭区域面积不大于，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解题关键是合理观察给定命题，然后举例子证明C，举反例判断B，D，得到所要求的结果即可． 17．2 【分析】根据双曲线的方程，即可求解. 【详解】由题意可知，，，所以. 故答案为：2 18．6 【分析】先写出双曲线的渐近线，再根据圆心到直线距离及弦长间关系列方程计算求解即可得，即可得出焦距. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 因为圆的圆心，半径为3， 双曲线的一条渐近线被圆所截弦长为2a， 所以圆的圆心到直线的距离为， 整理可得，∴，则C的焦距为6． 故答案为：6. 19．8 【分析】根据双曲线焦点与渐近线的距离为，结合双曲线渐近线的对称性，利用三参数的等量关系，可得答案. 【详解】根据点F到其中一条渐近线的距离为2，可得，且满足.又， ∴，∴，故，∴，∴焦距为. 故答案为：. 20．1 【分析】根据双曲线的离心率为，由求得m，从而得到焦点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】解：因为双曲线C：的离心率为， 所以，解得， 所以焦点坐标为：， 渐近线方程为：， 所以焦点到渐近线的距离为：， 故答案为：1 21．(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意设，，再结合四个交点为顶点的四边形的面积为得到，从而得到双曲线的标准方程. （2）首先让直线与双曲线联立，利用根系关系结合向量的数量积公式计算求参. 【详解】（1）设双曲线的方程为，， 因为的焦点与虚轴的端点为顶点的四边形的面积为，， 所以，即双曲线的方程为 （2）由（1）可知双曲线的方程为，右焦点 设直线的方程为，， 联立方程，得， 所以，， 因为直线与双曲线交于，两点，得， 因为以为直径的圆过原点，所以 所以，即， 所以， 整理得，所以直线的方程，即. 22．(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长，和焦距求出渐近线. （2）利用双曲线定义，及两点之间线段最短，得到点在线段上，得到直线的方程，再代入得到面积. 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，， 由，得，则，所以双曲线的渐近线方程为. （2）由双曲线的定义可得， 所以的周长为, 由于为定值，要使的周长最小，则应使最小为， 即点在线段上, ∵，所以直线的方程为：， 即，将其代入，解得或（舍去）， 因此点.所以 23．(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的顶点求出，再将点代入方程即可求得结果； （2）由双曲线的方程求出其渐近线方程为：，利用点到线的距离公式求得，再利用勾股定理得到，利用三角形面积公式即可得到结果. 【详解】（1）因为双曲线的顶点为，，且过点， 所以，且， 解得． 故双曲线的标准方程为． （2）如图，由双曲线方程，可得其渐近线方程为， 任选一条渐近线，由，可得， 又，所以， 故．      24．(1)，曲线C是以为圆心，为半径的圆 (2) 【分析】（1）设，根据两点间距离公式得到方程，化简即可求解. （2）由（1）可设双曲线E的方程为（，），且，结合点到直线的距离公式与双曲线渐近线方程，即可求解. 【详解】（1）设，由题意得， 化简并整理可得曲线C的方程， ∴曲线C是以为圆心，为半径的圆. （2）由（1）可设双曲线E的方程为（，），， 圆心到双曲线E的渐近线的距离， ∴，，∴双曲线E的标准方程为. 25．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程即可. （2）利用双曲线的性质求解目标元素即可. 【详解】（1）因为双曲线的两个焦点在轴上， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线的两个焦点分别为，， 所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6， 故，由双曲线的定义得，解得， 得到，故双曲线的标准方程为. （2）对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为， 焦距为，离心率为, 渐近线方程为，顶点为. 26．(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可； （2）设，则，把直线的斜率表示出来，结合点在双曲线上即可得证. 【详解】（1）由题意， 从而， 所以双曲线方程，离心率. （2）证明：由题意知点关于原点对称， 不妨设，则， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 因为， 所以（*） 又点，在曲线上，即， 代入（*）得， 所以直线的斜率和直线的斜率之积为定值3. 27．(1) (2) 【分析】（1）将坐标代入双曲线方程，结合直线的斜率公式，化简可得，再由离心率公式即可求解； （2）由题意可得，，双曲线的方程为，设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，运用消元法和代入法，可得的方程，即可得所求直线方程. 【详解】（1）因为是双曲线上一点， 可得，即为. 由题意可得，，， 可得，即有. （2）由题意可得，，则双曲线的方程为， 易知直线斜率存在，设直线的方程为，， 联立直线与双曲线的方程，可得， 设，，则，①， 又，可得②， 由①②可得，， 代入①可得，解得， 则直线的方程为. 28．(1) (2) (3)8 【分析】（1）先设点，再根据焦半径公式得出进而得出点的坐标进而得出； （2）先得出右焦点为，为的中点，又可得为的中点，所以为的中位线，得到，再设，过点作轴的垂线，由勾股定理得出关于和的关系式，最后求得离心率. （3）设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，得到直线AB的方程为，联立方程，求得，进而求得的坐标，得到的表达式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）为抛物线的焦点, 设，，所以，则， 所以 （2） 双曲线的左焦点， 因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，为的中点， 因为，所以为的中点，， 因为，所以， 因为切圆于，所以，所以， 因为，所以， 过点作轴的垂线，即抛物线的准线， 根据抛物线的定义知，点到的距离为， 设，则，所以， 在中，， 即，， ，又，. （3）由可知焦点为， 由已知可得，所以直线AB，CD的斜率都存在且均不为0， 设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为， 所以直线AB的方程为， 联立方程，消去x得， 设点，则， 因为为弦AB的中点，所以， 由，得，所以点， 同理可得， 所以， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：求最小值的关键是应用基本不等式解题. 29．(1) (2) 【分析】（1）根据顶点和离心率列方程求解可得； （2）设出直线方程，联立双曲线方程消去y，韦达定理结合列方程求解可得. 【详解】（1）由题得，解得， 双曲线C的标准方程为 （2）由题可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立双曲线的方程，得， 设，，则，， 直线l交双曲线左支于A，B两点， ，解得， ， ，即， 解得或， ，时， 30．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据离心率、焦距求出、可得答案； （2）设直线：，：，，，，，与双曲线方程联立，（i）结合韦达定理求出、点坐标可得答案；（ii）结合韦达定理求出、，分别求出.、，再由，结合可得答案. 【详解】（1）因为离心率为，即，因为焦距为， 所以，，所以， 所以E的方程为； （2）设直线：，，， ：，，， 由，得（*）， 所以，且，. （i），， 所以，同理， 因为，， 所以直线的斜率为定值0. （ii）因为 ， 所以. 同理， ， 因为，所以，即， 所以，所以或， 又因为（*）式中可得且， 所以直线斜率的取值范围为. 31．(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为，列方程求双曲线参数即可得解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理与弦长公式，结合点到直线距离公式将的面积化为关于m的方程，解之即可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 所以双曲线中， 双曲线的离心率为，即 双曲线方程为 （2）显然直线斜率不能为0，设直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 联立，得， 所以且， 所以，且， 所以， 所以， 所以， 解得，所以， 所以直线的方程为或. 32．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆以及双曲线的离心率之间的关系列式，求出b，即得答案； （2）设直线l的方程，并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合化简可得，继而化简的表达式，即可得答案. 【详解】（1）设椭圆C与其伴随双曲线的离心率分别为，， 依题意可得，，即， 即，解得， 所以椭圆C：，则椭圆C伴随双曲线的方程为． （2）由（1）可知，直线l的斜率存在，故设直线l的斜率为k，，，则直线l的方程， 与双曲线联立并消去y，得， 则，，，， 需满足，则， 又， 则，解得； 又， 所以 ， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$