精品解析：广东省茂名市直属学校2024-2025学年八年级上学期1月期末试卷数学试题

茂名市直属学校2024-2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 （全卷满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，点P（1，2）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ） A. 25 B. 49 C. 81 D. 100 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某公司员工的月工资如下表，该公司员工月工资中的众数与中位数分别是（ ） 员工 经理 副经理 职员 职员 职员 职员 职员 职员 杂工 月工资元 A ， B. ， C. ， D. ， 8. 点和都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 9. 如图是一副三角板拼成的图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为( ) A. 三人坐一辆车，有一车少坐2人 B. 三人坐一辆车，则2人需要步行 C. 三人坐一辆车，则有两辆空车 D. 三人坐一辆车，则还缺两辆车 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 已知点和点Q关于x轴对称，则点Q的坐标 _____． 12. 若在一次函数中，的值随值的增大而减小，写一个符合条件的值为______． 13. 如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________m． 14. 公司对应聘者进行创新、综合知识、语言测试，三项成绩分别为72分、50分、88分．若这三项测试得分依次按5：2：1的比例确定个人的综合成绩，则该应聘者的得分为________分． 15. 如图，在中，点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程组： （1） （2） 18. 已知四边形的四个顶点分别是，，，．在直角坐标系中画出这个四边形，并求这个四边形的面积． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）． 19. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成锁（单位：m）如下： 甲：1.71，1.65，1.68，1.68，1.72，1.73，1.68，1.67； 乙：1.60，1.74，1.72，1.69，1.62，1.71，1.69，1.75； 【整理与分析】 平均数 众数 中位数 甲 1.69 a 1.68 乙 1.69 1.69 b （1）由上表填空：______，______． （2）这两人中，_______的成绩更为稳定． 判断与决策】 （3）经预测，跳高1.69m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请结合已测定数据和统计量说明理由． 20. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： （1）根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？ 21. 某一天，蔬菜经营户花元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共千克，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元千克） 零售价（元千克） （1）蔬菜经营户批发了黄瓜和茄子各多少千克？ （2）当天上午在卖两种蔬菜各一半后，为尽快售完，再进新菜，决定对剩下的蔬菜降价出售，黄瓜和茄子均打九折销售，蔬菜经营户卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？ 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）． 22. 阅读材料： 通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：如图，直线的表达式为，直线与轴、轴交于两点，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式．下面是小明的解题思路． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标为； 第四步：由点，点，利用待定系数法，可得直线的表达式． （1）参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线关于轴对称的直线的表达式为________； （2）如图，若过点且平行于轴的直线叫做直线，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式； （3）如图，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 23. 【问题情境】 “三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能完成这个任务的． 【探究发现】 （1）在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且，． 证明：； 若，的面积为，求的周长； 【拓展延伸】 （2）如图，直线（为常数且）与轴、轴交于两点，点的坐标为，．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 茂名市直属学校2024-2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 （全卷满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 、是有理数，不符合题意； 故选：． 2. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标的属性(+，+)为第一象限，(-，+)为第二象限，(-，-)为第三象限，(+，-)为第四象限，确定即可． 【详解】∵1＞0，2＞0， ∴点P（1，2）位于第一象限， 故选A． 【点睛】本题考查了坐标与象限：(+，+)为第一象限，(-，+)为第二象限，(-，-)为第三象限，(+，-)为第四象限，，熟练掌握坐标与象限的关系是解题的关键． 3. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ） A. 25 B. 49 C. 81 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，根据二次根式的加减乘除运算法则逐一判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 5. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象与系数的关系一一进行判断即可． 【详解】解：A． ，，的图象在一、二、三象限，与所给图象不符，故本选项不符合题意； B． ，，的图象在一、三、四象限，与所给图象不符，故本选项不符合题意； C． ，，的图象在一、二、四象限，与所给图象符合，故本选项符合题意； D． ，，的图象在二、三、四象限．与所给图象不符，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据，求出的度数，根据，求出的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 某公司员工的月工资如下表，该公司员工月工资中的众数与中位数分别是（ ） 员工 经理 副经理 职员 职员 职员 职员 职员 职员 杂工 月工资元 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，根据中位数和众数的定义求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是； 将这组数据从小到大的顺序排列后，，，，，，，，，，处于中间位置的那个数是， ∴由中位数的定义可知，这组数据的中位数是， 故选：． 8. 点和都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由直线得，，则随的增大而增大，从而求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由直线得，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：． 9. 如图是一副三角板拼成图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，由图可得，，进而根据三角形的外角性质即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，， ∴， 故选：． 10. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为( ) A. 三人坐一辆车，有一车少坐2人 B. 三人坐一辆车，则2人需要步行 C. 三人坐一辆车，则有两辆空车 D. 三人坐一辆车，则还缺两辆车 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程组中2个方程表示的意义即可求解． 【详解】解：∵小明同学设有x辆车，人数为y， 表示若2人坐一辆车，则9人需要步行， 表示三人坐一辆车，则有两辆空车， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 已知点和点Q关于x轴对称，则点Q的坐标 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴对称的点Q为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标系中的轴对称，掌握坐标系中的轴对称的特点是解题的关键．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12. 若在一次函数中，的值随值的增大而减小，写一个符合条件的值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质可知“当时，的值随的值增大而减小”，由此可得出结论，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在一次函数中，的值随值的增大而减小， ∴， ∴取， 故答案为：．（答案不唯一） 13. 如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________m． 【答案】10 【解析】 【分析】由题意可构建直角三角形求出AC的长，过C点作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形．BE=CD，AE长度可求，CE=BD,在Rt△AEC中,可根据勾股定理求出AC长． 【详解】 如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m， 过C点作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形． EB=CD=4m，EC=8m． AE=AB－EB=10－4=6m．连接AC， 在Rt△AEC中，根据勾股定理得： m， 故答案为10 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据实际问题，建立适当数学模型，运用数学知识求解． 14. 公司对应聘者进行创新、综合知识、语言测试，三项成绩分别为72分、50分、88分．若这三项测试得分依次按5：2：1的比例确定个人的综合成绩，则该应聘者的得分为________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握定义是解题的关键．把各项成绩分别乘以其权，再除以权的和，即可求出加权平均数． 【详解】解：该应聘者的加权平均分为：（分） 故答案为：． 15. 如图，在中，点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，过点作 于，由轴对称性质得，，即，从而有，则，进而即可求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵点是边的中点，, ∴，， ∵将沿折叠至，点的对应点为， ∴，，即， ∴， ∴， 当，即点与点重合时， 的面积最大，最大面积为 ， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （）先计算二次根式除法运算，然后合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法两种． （1）把①代入②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）得出，求出，再把代入求出即可． 【小问1详解】 解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 所以方程组的解是； 【小问2详解】 解：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是． 18. 已知四边形的四个顶点分别是，，，．在直角坐标系中画出这个四边形，并求这个四边形的面积． 【答案】画图见解析，这个四边形面积为 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，先描点，然后连线，分别过作轴交于点，通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，先描点，，，，然后连线， ∴四边形即为所求， 分别过作轴交于点， ∴ ． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）． 19. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成锁（单位：m）如下： 甲：1.71，1.65，1.68，1.68，1.72，1.73，1.68，1.67； 乙：1.60，1.74，1.72，1.69，1.62，1.71，1.69，1.75； 【整理与分析】 平均数 众数 中位数 甲 1.69 a 1.68 乙 1.69 1.69 b （1）由上表填空：______，______． （2）这两人中，_______的成绩更为稳定． 【判断与决策】 （3）经预测，跳高1.69m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请结合已测定的数据和统计量说明理由． 【答案】（1）1.68，1.70 （2）甲 （3）应该选择乙，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查调查与统计，涉及中位数、众数、折线统计图，利用统计数据做决策等： （1）根据中位数、众数的定义可得答案； （2）根据折线统计图判断两人成绩的波动程度，即可得出答案； （3）比较两人成绩在1.69m及1.69m以上的次数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：甲的成绩中，1.68出现的次数最多，因此众数， 将乙成绩按从低到高的顺序排列，第4位和第5位处于中间位置，分别是1.69，1.71， 因此中位数， 故答案为：1.68，1.70； 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，甲的成绩波动较小，成绩更为稳定， 故答案为：甲； 【小问3详解】 解：应该选择乙， 理由：甲成绩在1.69m及1.69m以上的次数有3次，乙成绩在1.69m及1.69m以上的次数有6次， 因此若1.69m才能获得冠军，应该选择乙参赛． 20. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： （1）根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？ 【答案】（1）9.7米； （2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ， 又米，米， 米， 答：线段的长为9.7米； 【小问2详解】 ∵风筝沿方向再上升12米后，米， ∴此时风筝线的长为：（米）， ∴风筝应该放出线的长度为：米， 答：他应该再放出8米线． 21. 某一天，蔬菜经营户花元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共千克，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元千克） 零售价（元千克） （1）蔬菜经营户批发了黄瓜和茄子各多少千克？ （2）当天上午在卖两种蔬菜各一半后，为尽快售完，再进新菜，决定对剩下的蔬菜降价出售，黄瓜和茄子均打九折销售，蔬菜经营户卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？ 【答案】（1）他批发了黄瓜和茄子分别是千克，千克； （2）卖完这些黄瓜和茄子共赚了元． 【解析】 【分析】（）设他批发了黄瓜千克，茄子千克，根据题意列出方程，然后解方程即可； （）根据题意列出算式即可求解； 本题主要考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：设他批发了黄瓜千克，茄子千克， 根据题意，得 ， 解得： ， 答：他批发了黄瓜和茄子分别是千克，千克； 【小问2详解】 解：由题意得：（元）， （元）， ∴（元）， 答：卖完这些黄瓜和茄子共赚了元． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）． 22. 阅读材料： 通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：如图，直线的表达式为，直线与轴、轴交于两点，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式．下面是小明的解题思路． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标为； 第四步：由点，点，利用待定系数法，可得直线表达式． （1）参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线关于轴对称的直线的表达式为________； （2）如图，若过点且平行于轴的直线叫做直线，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式； （3）如图，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【答案】（1）； （2）直线的表达式为； （3）直线 的表达式为． 【解析】 【分析】（）先求出与轴交点坐标为，，则与轴对称的点坐标为，，然后利用待定系数法即可求解； （）直线与的交点坐标为，则点关于的对称点坐标为，设直线的解析式为，然后然后利用待定系数法即可求解； （）由题意得，，则两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为，然后利用待定系数法即可求解； 本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：由得，当时，当时，， ∴与轴交点坐标为，， ∴与轴对称的点坐标为，， 设直线关于轴对称的直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线关于轴对称的直线的表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵直线与的交点坐标为， ∴点关于的对称点坐标为， 设直线的解析式为， 则 ，解得， ∴直线的表达式为； 【小问3详解】 解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∴两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线 的表达式为． 23. 【问题情境】 “三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能完成这个任务． 【探究发现】 （1）在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且，． 证明：； 若，的面积为，求的周长； 【拓展延伸】 （2）如图，直线（为常数且）与轴、轴交于两点，点的坐标为，．求的值． 【答案】（）证明见解析；；（）． 【解析】 【分析】（）利用三角形的外角性质和平行线的性质即可求证； 由得：，则有，根据的面积为，求出，然后由勾股定理求出，则可求出的周长； （）作线段垂直平分线，交于，于，连接，通过三角形外角性质证明，由，得到点的坐标为，点的坐标为，又点的坐标为，得，，令，则，解得，则点的坐标为，最后由勾股定理和一次函数的性质即可求出的值． 【详解】（）证明：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解：∵， 由得：， ∴， ∵是长方形， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴的周长为； （）解：如图，作线段垂直平分线，交于，于，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∴，， 令，则， 解得， ∴点的坐标为， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵图象过第一、二、三象限， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，垂直平分线的性质，三角形外角性质，勾股定理，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$