精品解析：湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题

湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑． 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有两个事件，事件A：在一个标准大气压下，水加热到时沸腾；事件B：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．下列判断正确的是（ ） A. 事件A，事件B都是必然事件 B. 事件A是不可能事件，事件B是随机事件 C. 事件A，事件B都是随机事件 D. 事件A是必然事件，事件B是随机事件 3. 已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O有公共点（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 4. 已知一元二次方程两根分别为m，n，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将拋物线经平移后得到拋物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 7. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部孵化成功，那么3只雏鸟恰有2只雄鸟的概率是多少？( ) A. B. C. D. 8. 已知二次函数（为常数）的图象上有两点轴，点的横坐标为，则点的横坐标为（ ） A. B. 0 C. D. 9. 如图，将正方形的边向右平移到得到矩形，如果与的比等于与的比，那么就称这个矩形为黄金矩形，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．某小区开发商想在小区空地设计一个周长为16米的黄金矩形花坛，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面下降，则水面宽度增加了（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定位置． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 123 152 251 则这名球员投篮一次投中概率约是______（结果保留小数点后一位）． 13. 如图，是半径，，弦于点，点在上，连接，则的大小是______． 14. “降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是______． 15. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是______． 16. 已知抛物线过，且．下列结论： ①；②；③；④若，方程有两个不相等实数根．其中正确的是______．（填写序号） 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若A，D，E三点在一条直线上，求的大小． 19. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． （1）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号相同的概率． （2）一次摸取两个小球，直接写出取出的两个小球的标号之和小于6的概率． 20. 如图，内接于是直径，交于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中画出的圆心，并在弦上方的圆弧上画点，使得； （2）点在上，，在图2中画出所有满足条件的点． 22. 某型号飞机着陆后从开始滑行到停止的过程中，滑行速度为（单位：）、滑行距离为（单位：）、滑行时间为（单位：s）．测得一些数据如下表： 滑行时间（单位：） 0 1 2 3 滑行速度（单位：） 80 76 72 68 滑行距离（单位：） 0 78 152 222 若滑行速度与滑行时间之间是一次函数关系，滑行距离与滑行时间之间是二次函数关系． （1）直接写出关于函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当飞机着陆滑行时，求飞机此时的滑行速度； （3）求飞机着陆滑行过程中最后滑行所用的时间． 23. 在Rt中，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）如图1，若，请直接写出的长； （2）如图2，，线段存在怎样的数量关系？给出你的结论并加以证明； （3）若，请直接写出的长． 24. 如图，抛物线与轴交于点A，B（在的左侧），与轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，点在第一象限的抛物线上，点关于直线的对称点落在轴上，求点的坐标； （3）如图2，点是第一象限的拋物线上一动点，当的面积最大时． ①求点的坐标． ②点在轴正半轴上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若线段刚好经过点，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省武汉市2024-2025学年九年级上学期1月调研数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑． 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 【详解】解：A、选项中的图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形是中心对称图形，故此选项不合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 2. 有两个事件，事件A：在一个标准大气压下，水加热到时沸腾；事件B：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．下列判断正确的是（ ） A. 事件A，事件B都是必然事件 B. 事件A是不可能事件，事件B是随机事件 C. 事件A，事件B都是随机事件 D. 事件A是必然事件，事件B是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类：随机事件是可能发生的事件，必然事件是一定发生的事件，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵事件A：在一个标准大气压下，水加热到时沸腾 ∴事件A是必然事件， ∵事件B：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯， ∴事件B是随机事件， 故选：D． 3. 已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O有公共点（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3得到直线l与⊙O相交，即可判断出直线l与⊙O有两个公共点． 【详解】解：∵⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3， ∴d＜r， ∴直线l与⊙O相交， ∴直线l与⊙O有两个公共点． 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r关系判断位置关系是解题关键．当d＞r时，直线与圆相离，没有公共点，当d=r时，直线与圆相切，有一个公共点，当d＜r时，直线与圆相交，有两个公共点． 4. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是一元二次方程的两根，则，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴， 故选：B 5. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程-配方法，先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边同时加16得，， 即：， 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，将拋物线经平移后得到拋物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次函数图象与几何变换．根据抛物线的平移规则：上加下减，左加右减即可得到答案． 【详解】解：∵， 而拋物线经平移后得到拋物线， 则平移的方法可以是：将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度． 故选：B． 7. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部孵化成功，那么3只雏鸟恰有2只雄鸟的概率是多少？( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列举出所有情况，看三只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】根据题意画图如下： 共8种情况，三只雏鸟中恰有两只雄鸟有3种情况，所以概率为．故选C． 【点睛】此题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到三只雏鸟中恰有两只雄鸟的情况数是解决本题的关键． 8. 已知二次函数（为常数）的图象上有两点轴，点的横坐标为，则点的横坐标为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先求解抛物线的对称轴为直线，再进一步利用对称性求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数（为常数）的图象上有两点轴，点的横坐标为， ∴， ∴； 故选：D 9. 如图，将正方形的边向右平移到得到矩形，如果与的比等于与的比，那么就称这个矩形为黄金矩形，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．某小区开发商想在小区空地设计一个周长为16米的黄金矩形花坛，则的长是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的含义，一元二次方程的解法，根据黄金分割的含义可得，设，再结合正方形与矩形的性质再建立方程求解即可． 【详解】解：∵正方形，矩形， ∴，， ∵矩形的周长为，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故选：C 10. 如图抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面下降，则水面宽度增加了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为，，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半，即，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴这个抛物线的解析式为， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降， 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得： ∴水面宽度增加到， ∴比原先的宽度当然是增加了， 故选：B． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定位置． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特点解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标的特点：横纵坐标都互为相反数，熟记特点是解题的关键． 12. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 123 152 251 则这名球员投篮一次投中的概率约是______（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此即可作答． 【详解】解：依题意，，，，，，， ∵结果保留小数点后一位 ∴这名球员投篮一次投中的概率约是 故答案为：． 13. 如图，是的半径，，弦于点，点在上，连接，则的大小是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，圆周角定理，掌握以上知识，数形结合分析，确定，是解题的关键． 如图所示，连接，则，则有，根据，得到，即，由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. “降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查的是利用“降次”的思想解高次方程，一元二次方程的解法，把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 当， ． 当， 此时方程无解； 故答案为：或． 15. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是求解圆锥的展开图的扇形的圆心角的大小，先求解底面圆的周长，再利用弧长公式建立方程求解圆心角即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆直径， ∴底面周长为：， ∵母线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 16. 已知抛物线过，且．下列结论： ①；②；③；④若，方程有两个不相等实数根．其中正确的是______．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，根据抛物线经过，可判断①，由抛物线的对称轴为直线，可判断②，由可判断③，由方程为，可得，结合可判断④． 【详解】解：∵抛物线经过， ∴， ∴，故①符合题意； ∵抛物线过，且． ∴抛物线的对称轴为直线， ∴而， ∴，故②不符合题意； ∵抛物线过， ∴，而， ∴， ∴，而， ∴，故③符合题意； ∵当时，抛物线为，而， ∴， ∴方程为， ∴， ∵由③得：，而，即， ∵， ∴， ∴， ∴当，方程有两个不相等的实根．故④符合题意； 故答案为：①③④． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根，先把代入，解得，结合是一元二次方程的两根，则，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴把代入， 得， 解得， 故关于的一元二次方程是， 设方程的另一个根为，且一个根是， 则， 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若A，D，E三点在一条直线上，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，先求解，证明，，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴． 19. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． （1）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号相同的概率． （2）一次摸取两个小球，直接写出取出的两个小球的标号之和小于6的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可； （2）利用列表法得到所有的情况数，取出的两个小球的标号之和小于6的情况数，进而可求出其概率． 【小问1详解】 解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种， 所有两次摸出的小球标号相同的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 所有的等可能的结果数有种，两个小球的标号之和小于6的情况数有8种； 故两次取出的两个小球的标号之和小于6概率为． 20. 如图，内接于是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见详解 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为是的直径，，则，结合，故，即可作答． （2）因为，是的直径，所以，即，运用勾股定理，列式，，代入数值进行计算，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，是的直径， ∴， ∴， 设的半径为， ∵， ∴中，， ∴中，， 即， 解得， ∴的半径为5． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中画出的圆心，并在弦上方的圆弧上画点，使得； （2）点在上，，在图2中画出所有满足条件的点． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】（1）如图，取格点，连接，则交点即为圆心，取格点，且且过点，，连接，交圆于，交于，连接交于，连接并延长交圆于，则即为所求； （2）如图，取格点，连接，则交点即为圆心，取格点，且且过点，，连接，交圆于，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 理由如下： ∵， ∴为直径， ∵是的垂直平分线， ∴交点为圆心， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 结合三角形的内角和定理可得：， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； ∵,， ∴, ∴点A、B、C、E四点共圆，即点E在上， 结合（1）可得：， ∴． 【点睛】本题考查的是复杂作图，圆周角定理的应用，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，弧，弦，圆心角定理的含义，熟练的作图是解本题的关键． 22. 某型号飞机着陆后从开始滑行到停止的过程中，滑行速度为（单位：）、滑行距离为（单位：）、滑行时间为（单位：s）．测得一些数据如下表： 滑行时间（单位：） 0 1 2 3 滑行速度（单位：） 80 76 72 68 滑行距离（单位：） 0 78 152 222 若滑行速度与滑行时间之间是一次函数关系，滑行距离与滑行时间之间是二次函数关系． （1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当飞机着陆滑行时，求飞机此时的滑行速度； （3）求飞机着陆滑行过程中最后滑行所用的时间． 【答案】（1）， （2） （3）飞机着陆滑行过程中最后滑行所用的时间为． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数，二次函数的应用； （1）根据表格信息先判断函数类型，再利用系数法求解函数解析式即可； （2）先求解当时，滑行距离最大，再求解当飞机着陆滑行的时间，再代入一次函数解析式求解即可； （3）求解当时，滑行距离最大，增大距离为：，求解当的时间，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意设一次函数的解析式为，由表可得， ，解得， ∴． 设二次函数解析式为，由表可得， ，解得 ∴． 【小问2详解】 解：∵的对称轴为直线， ∴当时，滑行距离最大， 当飞机着陆滑行时， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得，当时， 滑行距离最大，增大距离为：， 当时， ， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴飞机着陆滑行过程中最后滑行所用的时间为． 23. 在Rt中，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）如图1，若，请直接写出的长； （2）如图2，，线段存在怎样的数量关系？给出你的结论并加以证明； （3）若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，再证明是等边三角形，结合勾股定理算出，根据外角性质，则，即可作答． （2）先延长至点，使得，连接，证明四边形是矩形，结合过点作交的延长线于点，且，证明是的垂直平分线，在中，，即； （3）过点作，证明，得出，因为所以，结合，解得或，因为，故，，由（2）得，则，，因为，算出，即可作答． 小问1详解】 解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， 则，， 解得， ∴， ∵过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：，证明过程如下： 延长至点，使得，连接，如图所示： ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵过点作交的延长线于点，且， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，， 即； 【小问3详解】 解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∵， ∴，， ∴， 由（2）得， 则，， ∴，， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于点A，B（在的左侧），与轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，点在第一象限的抛物线上，点关于直线的对称点落在轴上，求点的坐标； （3）如图2，点是第一象限的拋物线上一动点，当的面积最大时． ①求点的坐标． ②点在轴正半轴上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若线段刚好经过点，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）分别令，解方程即可求出抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）由题意得，设，则，可求，记与的交点为，由折叠的性质得为中点，则，可求直线表达式为：，联立直线和抛物线的表达式即可求点的坐标； （3）①过点作轴交于点，同理可求直线表达式为：，设，则，那么，由，得到面积关于的二次函数关系式，再根据二次函数求最值，即可求出点的坐标； ②设，过点作轴于点， 由旋转得，，可证明，则表示出，，可求直线表达式为：，代入即可求解点坐标． 【小问1详解】 解：令，， 解得：， ∴， 令， ∴； 【小问2详解】 解：如图： 由（1）得 由题意得， 设， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 记与交点为， 由折叠的性质得为中点，则， 设直线表达式为：， ∴， 解得：， ∴直线表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得，， 解得：或（舍）， ∴； 【小问3详解】 解：①过点作轴交于点， ∵， ∴同理可求直线表达式为：， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴当时，面积有最大值且为4， ∴； ②设，过点作轴于点，则， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 而， ∴， 设直线表达式为：， ∴， 解得，， ∴直线表达式为：， 代入得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，折叠与旋转的性质，涉及待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$