吉林省吉林市吉林毓文中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024-2025学年吉林省吉林市毓文中学高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.椭圆的焦点坐标是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知等比数列的公比为q，设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是(    ) A. 1 B. C. 3 D. 4.已知等差数列，为其前n项和，且满足，，则当时，最大. A. 1010 B. 1011 C. 1012 D. 1013 5.已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为(    ) A. B. C. D. 6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了(    ) A. 192里 B. 48里 C. 24里 D. 96里 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段的中点，则双曲线的离心率为(    ) A. B. 2 C. D. 5 8.已知数列的前n项和为，满足，且，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.若方程所表示的曲线为C，则(    ) A. 若C为椭圆，则 B. 若C是焦点在x轴上的椭圆，则 C. 若C为双曲线，则或 D. 若C为焦点在y轴上的双曲线，则 10.过抛物线C：的焦点F作弦AB交抛物线于，两点，O为坐标原点，则(    ) A. 抛物线C的准线方程为 B. C. D. 11.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多.斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以的递推方法定义，已知，，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在等比数列中，若，，则______. 13.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆C于M，N两点，若点P是线段MN的中点，则椭圆C的方程为______. 14.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，则动点P的轨迹方程为______；点 Q为抛物线C：上的动点，点Q在上的射影为M，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列. Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ设，求数列的前n项和 16.本小题15分 已知抛物线C：，点在抛物线C上，点F为抛物线C的焦点，且，过点作直线l交抛物线C于A，B两点. Ⅰ求抛物线C的方程； Ⅱ求面积的最小值. 17.本小题15分 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，平面ABCD，，E是PA中点. Ⅰ求证：平面PAB； Ⅱ求直线DE与平面PBC所成角的正弦值. 18.本小题17分 在①，②，③…，这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答. 已知数列的前n项和为，满足_____，已知数列满足， Ⅰ求数列和数列的通项公式； Ⅱ若数列满足，求数列的前n项和； Ⅲ若数列满足，求数列的前n项和 19.本小题17分 设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，点A在x轴上方，O为坐标原点，椭圆C与x轴正半轴交于Q，与y轴负半轴交于P，点D在线段PQ上运动. Ⅰ若点A为椭圆C的上顶点，求的面积； Ⅱ设直线AQ，BQ的斜率分别为，，求证：为定值； Ⅲ将椭圆C所在平面沿x轴折叠，使得上半椭圆面与下半椭圆面垂直，若折叠前直线AF的斜率为，折叠后，当平面AOD与平面AMP的夹角的余弦值为时，求PD的长. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查求椭圆的焦点坐标，属于基础题． 由椭圆的方程可得a，b的值，及焦点在x轴上，再由a，b，c的关系求出c的值，进而求出椭圆的焦点坐标． 【解答】 解：由椭圆的方程可得：，，且焦点在x轴上，，解得：， 故该椭圆的焦点坐标为，， 故选： 2.【答案】D  【解析】解：当，时，，不是递增数列，充分性不成立； 当，时，是递增数列，但不成立，必要性不成立． 故选： 结合等比数列的单调性检验充分必要性即可求解． 本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了等比数列单调性的判断，属于基础题． 3.【答案】D  【解析】解：已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式，属中档题． 4.【答案】C  【解析】解：根据题意，等差数列中，若，， 则有，则有， 同时，即， 必有且， 故当时，最大． 故选： 根据题意，由等差数列前n项和的性质分析可得且，进而计算可得答案． 本题考查等差数列的前n项和，涉及等差数列的性质，属于基础题． 5.【答案】A  【解析】解：设动圆的圆心为：，半径为R， 动圆与圆：外切，同时与圆：内切， ， ， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，设椭圆的方程为：， 故， 解得，， 由a、b、c的关系求得， 椭圆的方程为： 故选： 首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆圆心的运动轨迹是椭圆，进而求出椭圆的方程． 本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程及圆与圆的位置关系，相关的运算问题，属于中档题． 6.【答案】B  【解析】解：由题意可知，此人每天走的步数构成公比为的等比数列， 则，解得， 故 故选： 根据已知条件，结合等比数列的前n项和公式，求出，再结合等比数列的通项公式，即可求解． 本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题． 7.【答案】C  【解析】解：根据题意，如图，连接ON，， 由于过点的直线与圆相切于点N，则， 又由，，则， 而点N是线段的中点，则点O是线段的中点， 故，， 由双曲线的定义，，即，变形可得， 则， 故该双曲线的离心率 故选： 根据题意，连接ON，，由双曲线的定义和中位线的性质分析可得，，进而可得，变形可得，由此可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线的定义，是中档题． 8.【答案】C  【解析】解：由，可得， 又，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以， 所以 故选： 将已知等式两边同时除以，可得数列是等差数列，从而可得数列的通项公式，进而可得，再由即可得解． 本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题． 9.【答案】BC  【解析】解：若C为椭圆，则，解得且，选项错误； 若C是焦点在x轴上的椭圆，则，解得，选项正确； 若C为双曲线，则，解得或，选项正确； 若C为焦点在y轴上的双曲线，则，解得，选项错误． 故选： 根据椭圆与双曲线的标准方程的特点，即可求解． 本题考查椭圆与双曲线的标准方程的特点，属基础题． 10.【答案】ACD  【解析】解：抛物线C：的焦点到准线的距离为， 焦点F为，准线方程为，选项正确； 设AB直线方程为， 联立，可得，又，， ，，选项正确； ，， ，选项正确； ，， ，选项错误． 故选： 设AB直线方程为，根据抛物线的几何性质，设而不求法及根与系数的关系，即可分别求解． 本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题． 11.【答案】ABC  【解析】解：对于A，由，a_，， 可得，，，， 则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，…，故C正确； 对于D，…，D错误． 故选： 对选项A，可以由递推式列出前6项，然后验证即可；对于选项B、C、D，可以灵活运用递推式验证判断． 本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题． 12.【答案】2  【解析】解：，， 则 故答案为： 根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解． 本题主要考查等比数列的性质，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：抛物线的焦点坐标为，所以椭圆C的右焦点坐标为， 设椭圆的半焦距为c，则 设，，因为点M，N在椭圆C上， 所以，两式相减得， 即， 因为点是MN的中点，且直线MN的斜率为， 所以，，， 所以，则，解得， 所以椭圆C的方程为 故答案为： 由抛物线方程确定椭圆的焦点坐标，再由点差法确定与的关系，列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可求解椭圆C的方程． 本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想，属于中档题． 14.【答案】   【解析】解：设，，，动点P满足， ， ， ， 化简可得动点P的轨迹方程为； 抛物线C：的焦点F为， ， 当且仅当A，P，Q，F四点共线时，等号成立， 的最小值为 故答案为：； 根据五步求曲法及抛物线的几何性质，化归转化，即可求解． 本题考查动点轨迹问题的求解，直线与抛物线的位置关系，属中档题． 15.【答案】解：Ⅰ根据题意可得， ，，解得， ； Ⅱ， 数列的前n项和为：   【解析】Ⅰ根据等差数列的通项公式，建立方程，即可求解； Ⅱ根据裂项求和法，即可求解． 本题考查等差数列的性质，裂项求和法的应用，属中档题． 16.【答案】解：Ⅰ已知抛物线C：，点在抛物线C上，点F为抛物线C的焦点，且， 由抛物线的定义可得：， 即， 即抛物线C的方程为； Ⅱ设直线l的方程为， 联立， 消x得：， 则， 设，， 则，， 则， 当且仅当时取等号， 即面积的最小值为  【解析】Ⅰ由抛物线的定义可得：，然后求解即可； Ⅱ设直线l的方程为，联立，然后结合韦达定理及三角形的面积公式求解． 本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，属中档题． 17.【答案】解：Ⅰ证明：平面ABCD，又平面ABCD， ，又，， 又，且PD，平面PAD， 平面PAD，又平面PAD， ，又，E是PA中点， ，又，且AB，平面PAB， 平面PAB； Ⅱ根据题意易知DA，DB，DP两两相互垂直，建系如图： 则，，，，， ，，， 设平面PBC的法向量为， 则，取， 直线DE与平面PBC所成角的正弦值为： ，  【解析】Ⅰ根据线面垂直的判定定理及性质，即可证明； Ⅱ建系，利用向量法，向量夹角公式，即可求解． 本题考查线面垂直的证明，线面角的求解，属中档题． 18.【答案】解：Ⅰ若选①，则， 当时，，显然也满足该式， ； 若选②，则，， 时，， ， 数列是以首项为1，公比为2的等比数列， ； 若选③…，则； 当时，， ，，显然也满足该式， ； 故无论选①②③中哪一个都可得； 又数列满足，， ， 数列是以为首项，公差为3的等差数列， ，； Ⅱ， 数列的前n项和为： …… ； Ⅲ， 数列的前n项和为： …， …， … ，   【解析】Ⅰ根据数列前n项和与通项的转化关系，等差数列与等比数列的概念，即可求解； Ⅱ根据等差数列与等比数列的求和公式，即可求解； Ⅲ根据错位相减法，即可求解． 本题考查数列前n项和与通项的转化关系，等差数列与等比数列的综合应用，属中档题． 19.【答案】解：Ⅰ由椭圆C的方程可得，则直线AB的方程为， 联立， 消去y，得， 解得，所以， Ⅱ证明：由椭圆方程可得，， 显然直线AB的斜率不为0，则设直线AB的方程为， 联立， 消去x，得， 恒成立，设，， 则，， ，， 所以 所以为定值，定值为 Ⅲ依题意有，折叠前，直线AF的斜率为， 即，代入椭圆方程得， 解得舍去负值， 即为椭圆上顶点，即 折叠后，如图所示，则以折叠前的y轴负半轴所在直线为x轴，折叠前x轴为折叠后的y轴， 折叠前的y轴正半轴为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设，则，所以， 设平面AMP的一个法向量为， 则，则， 令，则，即， 设平面AOD的一个法向量为， 则，则， 令，则，即， 设平面AOD与平面AMP的夹角为， 则， 解得或， 此时或， 所以或  【解析】Ⅰ联立方程组求出相应的坐标，即可求解； Ⅱ联立方程组，结合韦达定理以及斜率公式，即可得证； Ⅲ建立空间直角坐标系，分别求出平面AMP和平面AOD的一个法向量，利用向量法求解即可． 本题考查圆锥曲线曲线与向量法的综合应用，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$