专练三 圆的综合题-【中考必备】2025年教与学数学课件PPT（广东专版）

2025 教与学 中考必备 数 学 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 综合题攻略与专练 专练三　圆的综合题 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 与圆有关的常考题型与方法总结 类型 常考问题设计 解题通用技法 母题 （证明两个角 相等） 如图Z3-1，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，求证：∠FGC=∠AGD. 图Z3-1 证明两角相等的方法： 1.计算法： ①证明两个角的度数相同； ②利用三角函数 2.几何证明法： ①利用圆周角定理； ②利用圆内接四边形的性质； ③证明等腰三角形； ④同角或等角的余角（补角）相等； ⑤证明全等或相似三角形； ⑥利用平行线的性质 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 证明：如答图Z3-1，连接AD. ∵弦CD⊥AB，∴. ∴∠ADC=∠AGD. ∵四边形ADCG是圆内接四边形， ∴∠ADC=∠FGC. ∴∠FGC=∠AGD.   答图Z3-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 以下对于上述母题设计若干常考问题，并进行分析 类型 常考问题设计 解题通用技法 求线段长 　　　　　　 　　　　　　　　　　 （1）如图Z3-2，若BE=2，CD=8，求AD的长. 图Z3-2 求线段长的方法： 1.若题干中作辅助线后有直角三角形存在，考虑用勾股定理求长度； 2.若题中无直角三角形时，考虑用三角形相似或特殊角的三角函数求长度； 3. 若题干中含有30°，45°，60°等角度或出现三角函数sin α，cos α，tan α时，考虑用三角函数求长度 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：如答图Z3-2，连接OD. ∵CD⊥AB，CD=8， ∴DE=CE=4. 在Rt△DOE中，由勾股定理，得 OD2=OE2+ED2，即OD2=（OD-2）2+42. 解得OD=5. ∴AB=10. ∴AE=10-2=8. ∴AD=. 答图Z3-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 证明两条 线段相等 （2）如图Z3-3，若AD=GD，求证：△FCG为等腰三角形. 　 图Z3-3 证明两条线段相等的方法： 1.若所证两条线段相连且不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰三角形的性质（等角对等边）来证明； 2.若所证两条线段在不同的两个三角形中，则可考虑利用两个三角形全等来证明； 3.若所证两条线段相连且共线，则可以考虑等腰三角形“三线合一”或直角三角形“斜边上的中线等于斜边的一半”来证明； 4.若所证两条线段在同一个特殊四边形中，则可考虑利用特殊四边形的性质来证明 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 证明：∵A，D，C，G四点共圆， ∴∠FGC=∠ADC=∠AGD，∠FCG=∠GAD. ∵AD=GD， ∴∠GAD=∠DGA. ∴∠FCG=∠FGC. ∴FC=FG. ∴△FCG为等腰三角形. 图Z3-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 证明两条 线段垂直 （3）如图Z3-4，若DG是☉O的直径，连接BG，求证：BG⊥AF. 图Z3-4 证明两条线段垂直的方法（要证两条线段垂直，即要证两条线段所夹的角为90°）： 1.证明图中另外的线段与所要求证的两条垂直线段中的一条线段平行，根据垂直于同一直线的两条直线平行证得； 2.设法将两条垂直的线段构成的夹角放在一个三角形中，通过角度间的等量代换，证得其余两角之和为90° 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 证明：由题意可得∠DAB=∠DGB，OA=OD， 则∠OAD=∠ODA. ∴∠ODA=∠DGB. ∴AD∥GB. ∴∠DAG=∠BGF. ∵DG是☉O的直径， ∴∠DAG=90°. ∴∠BGF=∠DAG=90°，即BG⊥AF. 图Z3-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 证明两直 线平行 （4）如图Z3-5，若FC=FG，求证：AD∥GC. 　 图Z3-5 证明两直线平行的方法： 1.根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的方法证明，通过角度间等量代换或找到相等的角或互补的角即可； 2.垂直于同一条直线的两条直线互相平行 证明：∵A，D，C，G四点共圆， ∴∠FCG=∠DAG. ∵FC=FG， ∴∠FCG=∠FGC. ∴∠DAG=∠FGC. ∴AD∥GC. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 证明直线 与圆相切 （5）如图Z3-6，设BG与CD交于点H，M是DF上一点，且MH=MG.求证：MG是☉O的切线. 图Z3-6 证明直线与圆相切的方法： 1.定义法：若直线与圆有唯一公共点，则直线与圆相切； 2. d=r法：证明圆心到直线的距离d等于该圆的半径r，就能判定直线与圆相切； 3.利用“切线的判定定理”证明，即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 证明：如答图Z3-3，连接OG，则OG=OB=OA. ∴∠OGB=∠B. ∵CD⊥AB于点E， ∴∠BEC=90°. ∴∠BHE+∠B=180°-90°=90°. ∵MH=MG， ∴∠MGH=∠MHG=∠BHE. ∴∠OGM=∠MGH+∠OGB=∠BHE+∠B=90°. ∴MG⊥OG. ∵OG是☉O的半径，且MG⊥OG， ∴MG是☉O的切线. 答图Z3-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 题型一：圆的有关性质综合题 例1.如图Z3-7，四边形ABCD内接于☉O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，D，C，E三点共线. （1）求证：BE∥AD； 图Z3-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）证明：∵∠ABD=∠CBE， ∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE. ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB. ∴∠DBE=∠ACB. ∵∠ADB=∠ACB， ∴∠DBE=∠ADB. ∴BE∥AD. 图Z3-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若AD=6，cos∠E=，求CE的长. （2）解：如答图Z3-4，设BE与☉O交于点M，连接MC，过点M作MN⊥CE于点N. ∵∠ABC=∠DBE，∠BDE=∠BAC， ∴∠E=∠ACB. ∵∠DBE=∠ACB， ∴∠E=∠DBE. ∵四边形DBMC内接于☉O， ∴∠DBE+∠DCM=180°. 答图Z3-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵∠MCE+∠DCM=180°， ∴∠MCE=∠DBE. ∴∠MCE=∠E. ∴ME=MC. ∵MN⊥CE， ∴CE=2NE. ∵∠ABD=∠CBE， ∴. ∴MC=AD=6. ∵cos∠E=， ∴. ∴NE=2. ∴CE=4. 答图Z3-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 题型二：圆与相似三角形 例2.如图Z3-8，在☉O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF. （1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是☉O的切线； 图Z3-8 （1）证明：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA. ∵OA⊥CD， ∴∠OAB+∠AGC=90°. 又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC， ∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°.∴OB⊥FB. ∵点B在☉O上， ∴BF是☉O的切线. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）求证：GB2=GD·GF； （2）证明：如答图Z3-5，连接BD. ∵AC∥BF， ∴∠ACF=∠F. ∵∠DBG=∠ACF， ∴∠DBG=∠F. ∵∠DGB=∠FGB， ∴△BDG∽△FBG. ∴，即GB2=GD·GF. 答图Z3-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）若tan∠F=，CD=24，求☉O的半径. （3）解：∵AC∥BF， ∴∠ACF=∠F. ∵CD=24，OA⊥CD， ∴CE=CD=12. ∵tan∠F=， ∴tan∠ACF=. 解得AE=9. 图Z3-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 如答图Z3-5，连接OC. 设圆的半径为r，则OC=r，OE=r-9. 在Rt△OCE中，由勾股定理，得CE2+OE2=OC2， 即122+（r-9）2=r2. 解得r=12.5. ∴☉O的半径为12.5. 答图Z3-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 题型三：圆与动点问题 例3.如图Z3-9，AB，CD是☉O的两条直径，且AB⊥CD，E是上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF=∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设☉O的半径为r. （1）求证：PE是☉O的切线； 图Z3-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）证明：如答图Z3-6，连接OE. ∵CD为☉O的直径， ∴∠CED=90°. ∴∠OED+∠OEC=90°. ∵OC=OE， ∴∠OEC=∠OCE. ∴∠OCE+∠OED=90°. ∵∠PEF=∠DCE， ∴∠PEF+∠OED=90°.∴∠OEP=180°-∠OED-∠PEF=180°-90°=90°. ∴OE⊥PE. ∵OE为☉O的半径， ∴PE是☉O的切线. 答图Z3-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）当∠DCE=15°时，求证：AM=2ME； （2）证明：∵∠DCE=15°， ∴∠DOE=2∠DCE=30°. ∵AB⊥CD， ∴∠AOD=90°. ∴∠AOE=120°. ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA==30°. ∴OM=AM，∠AMO=90°-∠OAE=60°，∠DOE=∠OEA. ∴OM=ME. ∴AM=2ME. 答图Z3-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）在点E的移动过程中，判断AN·CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （3）解：在点E的移动过程中，AN·CM为定值，该定值为2r2. ∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°. ∴∠AEC=45°. ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=45°. ∵∠AMC=∠AEC+∠DCE=45°+∠DCE，∠ACN=∠ACO+∠DCE=45°+∠DCE， ∴∠ACN=∠AMC. 图Z3-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴△ANC∽△CAM. ∴，即AC2=CM·NA. ∵☉O的半径为r， ∴OA=OC=r. ∴AC2=OA2+OC2=r2+r2=2r2. ∴CM·AN=2r2. ∴AN·CM为定值，该定值为2r2. 图Z3-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 题型四：圆与二次函数 例4. （创新改编）如图Z3-10，在平面直角坐标系中，以点M（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点. （1）求该抛物线的解析式； 　图Z3-10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 　解：（1）如答图Z3-7，连接MC. ∵M（， ∴OC==3. ∴A（3，0），C（0，-3）. 则 ∴该抛物线的解析式为y=x-3. 答图Z3-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若☉M的切线交x轴正半轴于点P，交y轴负半轴于点Q，切点为N，且∠OPQ=30°，试判断直线PQ是否经过抛物线的顶点？说明理由； （2）直线PQ经过抛物线的顶点.理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为y=x-3， 即y=，-4）. 如答图Z3-7，连接MN.设直线PQ交抛物线的对称轴于点G. ∵PQ是☉M的切线，∴MN⊥PQ. ∴∠1=∠2=30°. 又∵MN=2，-4），即G是抛物线的顶点. ∴直线PQ经过抛物线的顶点. 答图Z3-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）K是☉M位于y轴右侧上的一动点，连接KB交y轴于点H，问是否存在一个常数k始终满足BH·BK=k？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由. （3）存在. 如答图Z3-7，连接AK. ∵AB是直径，∴∠AKB=∠BOH=90°. 又∵∠HBO=∠ABK，∴△BOH∽△BKA. ∴=12，即k=12. 答图Z3-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 1. （2024·福建）如图Z3-11，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F. （1）求的值； 图Z3-11 （1）解：∵AB=AC，且AB是☉O的直径，∴AC=2AO. ∵∠BAC=90°，∴在Rt△AOC中，tan∠AOC==2. ∵AE⊥OC，∴在Rt△AOE中，tan∠AOC=. ∴. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）求证：△AEB∽△BEC； （2）证明：如答图Z3-8，过点B作BM∥AE，交EO延长线于点M. ∴∠BAE=∠ABM，∠AEO=∠BMO=90°. ∵AO=BO，∴△AOE≌△BOM（AAS）. ∴AE=BM，OE=OM. ∵， ∴BM=2OE=EM. ∴∠MEB=∠MBE=45°. 答图Z3-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°. ∴∠AEB=∠BEC. ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°. ∴∠ABM=∠CBE. ∴∠BAE=∠CBE. ∴△AEB∽△BEC. 答图Z3-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）求证：AD与EF互相平分. （3）证明：如答图Z3-8，连接DE，DF. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB=∠AFB=90°，AB=2AO. ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴BC=2BD，∠DAB=45°. 由（2）知，△AEB∽△BEC， ∴，∠EAO=∠EBD. 答图Z3-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴△AOE∽△BDE. ∴∠BED=∠AEO=90°.∴∠DEF=90°. ∴∠AFB=∠DEF. ∴AF∥DE. 由（2）知，∠AEB=135°， ∴∠AEF=180°-∠AEB=45°. ∵∠DFB=∠DAB=45°， ∴∠DFB=∠AEF. ∴AE∥FD. ∴四边形AEDF是平行四边形. ∴AD与EF互相平分. 答图Z3-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （2024·凉山州）如图Z3-12，AB是☉O的直径，点C在☉O上，AD平分∠BAC交☉O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F. （1）求证：EF是☉O的切线； 图Z3-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）证明：如答图Z3-9，连接OD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠OAD. ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA. ∴∠DAE=∠ODA. ∴OD∥AC. ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE. ∵OD是☉O的半径， ∴EF是☉O的切线. 答图Z3-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）连接EO并延长，分别交☉O于M、N两点，交AD于点G，若☉O的半径为2，∠F=30°，求GM·GN的值. （2）解：如答图Z3-9，连接MD，AN. 在Rt△ODF中，OB=OD=2，∠F=30°， ∴OF=4，∠BOD=60°. ∴DF=. ∴AF=2+4=6. 在Rt△AEF中，∠F=30°， ∴AE=AF=3. 答图Z3-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵∠OAD=∠ODA，∠BOD=∠OAD+∠ODA=60°， ∴∠OAD=∠ODA=30°. ∴∠OAD=∠F. ∴AD=DF=2. ∵OD∥AE， ∴△DGO∽△AGE. ∴. ∴DG=AD. ∵∠ANM=∠MDG，∠MGD=∠AGN， ∴△MGD∽△AGN. ∴. ∴GM·GN=GD·GA=. 答图Z3-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （2024·德阳）如图Z3-13，已知☉O的半径为5，B，C是☉O上两定点，A是☉O上一动点，且∠BAC=60°，∠BAC的平分线交☉O于点D. （1）证明：D为上一定点； 图Z3-13 （1）证明：如答图Z3-10，连接OB，OD. ∵∠BAC=60°，∠BAC的平分线交☉O于点D， ∴∠BAD=∠BAC=30°.∴∠BOD=2∠BAD=60°. ∴的度数是60°. ∵B为定点.∴D为上一定点. 答图Z3-10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F. ①判断DF与☉O的位置关系，并说明理由； （2）解：①DF与☉O相切.理由如下： 如答图Z3-10，∵∠BAC的平分线交☉O于点D， ∴∠BAD=∠CAD.∴.∴OD⊥BC. ∵DF∥BC，∴OD⊥DF.∵OD为☉O的半径，∴DF与☉O相切. 答图Z3-10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②若△ABC为锐角三角形，求DF的取值范围. ②（Ⅰ）当∠A1BC为直角时，连接OD交BC于点M，如答图Z3-11. ∵∠A1BC=90°，∠BA1C=60°， ∴A1C为☉O的直径，∠C=30°. ∵☉O的半径为5，∴A1C=10. ∴A1B=. 由①知，， ∴BM=，∠BMD=90°. ∵∠FBC=180°-∠A1BC=90°，∠FDM=90°， ∴四边形BFDM是矩形.∴DF=BM=. 答图Z3-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （Ⅱ）当∠A2CB为直角时，连接OD，BD，如答图Z3-12. ∵∠A2CB=90°，∠BA2C=60°， ∴A2B是☉O的直径，∠A2BC=30°. ∵DF∥BC，∴∠F=∠A2BC=30°. ∵DF与☉O相切，∴∠FDO=90°. ∵☉O半径为5，∴OF=2OD=10. ∴DF=. 由图可知，当A由A1运动到A2（不包括A1，A2）时，△ABC是锐角三角形. ∴DF的取值范围是. 答图Z3-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 谢 谢 ! 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 $$