专练四 综合探究与综合运用-【中考必备】2025年教与学数学课件PPT（广东专版）

2025 教与学 中考必备 数 学 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 综合题攻略与专练 专练四　综合探究与综合运用 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 题型一：综合探究 1.【知识技能】 （1）如图Z4-1①，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F. 填空：①∠AFB的度数是　 　；  ②线段AD，BE之间的数量关系为　 ；  60° AD=BE　 图Z4-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【数学理解】 （2）如图Z4-1②，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，直线AD和直线BE交于点F.请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由； 图Z4-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：（2）∠AFB=45°，AD=BE. 理由如下： ∵∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC， ∴∠ACD=∠BCE，. ∴△ACD∽△BCE. ∴，∠CAF=∠CBF. ∴AD=BE. ∵∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF， ∴∠AFB=∠ACB=45°. 图Z4-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【拓展探索】 （3）如图Z4-1③，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE=3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，求直线DE经过点B时BD的长. 图Z4-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）①如答图Z4-1，当E，D，B在同一直线上时， 在Rt△ADE中，AE=3，∠DAE=30°， ∴DE=. 在Rt△AEB中，AE=3，AB=5，∴BE==4. ∴BD=BE-DE=4-； 答图Z4-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②如答图Z4-2，当D，E，B在同一直线上时，同法可知BD=BE+DE=4+. 综上所述，BD的长为4+. 答图Z4-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2.已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，连接AD，在线段AD上有一点M，连接CM，以AM为直角边，A为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN. 【知识技能】 （1）如图Z4-2①，若sin∠MCD=，CD=4，则线段MN的长为　 　；  4-2 图Z4-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【数学理解】 （2）如图Z4-2②，将等腰直角三角形AMN绕点A顺时针旋转α°（0°<α°<45°），连接CM，DM，CN，若DM∥CN，求证：4DM2+CN2=CM2； 图Z4-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）证明：如答图Z4-3，连接BM并延长交CN于点E. ∵∠BAC=∠MAN=90°， ∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，即∠BAM=∠CAN. 在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）.∴∠MBA=∠NCA，BM=CN. ∴A，B，C，E四点共圆.∴∠BEC=∠BAC=90°.∴CE2+EM2=CM2. ∵DM∥CN，∴△BDM∽△BCE.∴. ∴CE=2DM，EM=BM.∴EM=CN.∴4DM2+CN2=CM2. 答图Z4-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【拓展探索】 （3）如图Z4-2③，线段MN交线段AC于点E，P，Q分别为线段BC，线段AC上的点，连接PM，QN，将△DPM沿PM翻折得到△D'PM，将△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM=3DM，BC=8，在线段BC上找一点F，连接FD'，FE'，请求出FD'+FE'的最小值. 图Z4-2 （3）解：∵AD=CD=BC=4，AM=3DM， ∴DM=1，AM=3，MN=. ∵MD'=DM=1，NE'=NE=. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 如答图Z4-4，点D'在以M为圆心，1为半径的圆上，点E'在以N为圆心，为半径的圆上， 过点M作关于BC的对称点G，连接GN交BC于点F，交☉N于点E'.此时FD'+FE'的值最小. 在Rt△AGN中，AG=DG+AD=1+4=5，AN=AM=3， ∴GN=. ∵DF∥AN，∴△GFD∽△GNA. ∴. 答图Z4-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴GF=. ∴FD'+FE'=MF-MD'+FN-NE'=-1. ∴FD'+FE'的最小值为-1. 答图Z4-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3.在平行四边形ABCD中，AD=8，DC=6，∠FED的顶点在BC上，EF交直线AB于点F. 【知识技能】 （1）如图Z4-3①，若∠FED=∠B=90°，EF=ED，连接DF，则DF的长为 　 ；  4　 图Z4-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【数学理解】 （2）如图Z4-3②，∠B=∠FED=60°，当=时，求证：E是BC的中点； 图Z4-3 （2）证明：如答图Z4-5，在AB上取点G，使BG=BE，连接EG，则△BEG为等边三角形. ∴∠BGE=∠BEG=60°. ∴∠EGF=180°-∠BGE=120°. 答图Z4-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵四边形ABCD为平行四边形，∠B=60°， ∴∠C=120°=∠EGF. ∴∠CED+∠CDE=60°. ∵∠DEF=60°，∠BEG=60°， ∴∠GEF+∠CED=180°-60°-60°=60°. ∴∠CDE=∠GEF. ∴△CDE∽△GEF. ∴. ∵DC=6，∴GE=4. ∴BE=4.∴EC=BC-BE=4. ∴E是BC的中点. 答图Z4-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【拓展探索】 （3）如图Z4-3③，若∠ABC=90°，对角线AC，BD交于点O，点C关于BD的对称点为点C'，连接OC'交AD于点G，连接AC'，C'C，C'D，求AG的长. 图Z4-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）解：如答图Z4-6，设CC'与BD交点为M. ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD为矩形. ∴BD=BD=5. ∵点C关于BD的对称点为C'，∴BD为线段CC'的垂直平分线.∴CM=. 在Rt△OMC中，OM=. 答图Z4-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵O为AC的中点，M为CC'的中点， ∴AC'=2OM=，AC'∥BD. ∴△AGC'∽△DGO. ∴. 解得AG=. 答图Z4-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4.【经典再现】如图Z4-4①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.（提示：取AB的中点H，连接HE） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出 　，进而得到AE=EF；  　△AHE≌△ECF 图Z4-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【类比探究】 （2）如图Z4-4②，四边形ABCD是矩形，且=n，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交矩形外角的平分线CF于点F，求的值（用含n的式子表示）； 图Z4-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：（2）如答图Z4-7，在AB上截取BH=CE，连接EH. ∵E是BC的中点，∴BE=CE. 不妨设BH=BE=CE=1，则BC=2. ∵=n，∴AB=2n. ∴AH=2n-1. ∵BH=BE，CF为∠DCG的平分线， ∴∠BHE=45°，∠FCG=45°.∴∠AHE=∠ECF=135°. ∵∠AEF=90°，∴BEA+∠CEF=90°. 又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEF. ∴△AHE∽△ECF. ∴=2n-1. 答图Z4-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【综合应用】 （3）如图Z4-4③，P为边CD上一点，连接AP，PF，在（2）的基础上，当n=，∠PAE=45°，PF=时，请求出BC的长. 图Z4-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）如答图Z4-8，在AB上截取BQ=CE，连接EQ，延长EF，AP，交于点R，作RH⊥AD，交AD延长线于点H，交BC的延长线于点G，作FT⊥CD于点T.  ∵， ∴可设AB=6x，BC=4x，则BE=CE=2x. ∵∠AEF=90°，∠PAE=45°， ∴△AER是等腰直角三角形. ∴AE=ER. 答图Z4-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 由（2）知∠BAE=∠CEF. ∵∠B=∠G=90°，∴△ABE≌△EGR（AAS）. ∴EG=AB=6x，GR=BE=2x. ∴DH=CG=EG-EC=6x-2x=4x，RH=GH-GR=6x-2x=4x. ∵CD∥GH，∴△APD∽△ARH. ∴. ∴PD=RH=2x. ∴CP=CD-PD=6x-2x=4x. 在Rt△QBE中，QE=x. 由（2）知x. ∴CT=FT=x. ∴PT=CP-CT=3x. 答图Z4-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 由PT2+FT2=PF2，得（3x）2+x2=（（舍去）. ∴BC=4x=2. 答图Z4-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 题型二：综合运用 5.【问题背景】如图Z4-5，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，OA=2，∠OCA=30°，将△OAC绕点A顺时针旋转，点C落在x轴上的点G处，得到△FAG，若反比例函数y=（x>0）的图象经过点F，与BC，AB分别交于D，E. 【构建联系】 （1）求反比例函数的关系式； 图Z4-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）解：如答图Z4-9，过点F作FH⊥OG于点H. ∵将△OAC绕点A顺时针旋转，点C落在x轴上的点G处，得到△FAG， ∴∠AFG=∠AOC=90°，AF=OA=2. ∵∠AFH+∠FAH=90°，∠FAH+∠AGF=90°， ∴∠AFH=∠AGF=30°. ∴AH=1，FH=. ∴F（3，）. ∴k=3×. ∴反比例函数的关系式为y=. 答图Z4-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）如图Z4-5②，连接OF，BF，以B为圆心，BF为半径作☉B，求证：OF是☉B的切线； 图Z4-5 （2）证明：∵OA=2，∠OCA=30°， ∴OC=2）. ∵F（3，）， ∴BF=. ∴BF2+OF2=OB2. ∴BF⊥OF. ∵BF为半径， ∴OF是☉B的切线. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【深入探究】 （3）点P在直线AC上，点Q是坐标系内任意一点，当四边形BCPQ为菱形时，求出点Q的坐标. 图Z4-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）解：①当点P在点C的下方时，如答图Z4-10，过点P作PM⊥BC于点M. ∴∠CPM=∠ACO=30°. ∵四边形BCPQ为菱形， ∴PC=BC=2. ∴CM=1，PM=. ∴P（1，）. ∴Q（3，）； 答图Z4-10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②当点P在点C的上方时，如答图Z4-11. 同理，得P（-1，3）. ∴Q（1，3）. 综上所述，点Q的坐标为（3，）. 答图Z4-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 6. 在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于A（a，0），C（0，b）两点，点B为x轴正半轴上一点，BE⊥AC于点E，交y轴于点D，OE平分∠AEB. （1）如图Z4-6①，分别求a，b的值及点B的坐标； 图Z4-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：（1）直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于A（a，0），C（0，b）两点， 令y=0，则-3x-3=0，解得x=-1. ∴a=-1. 令x=0，则y=-3，∴b=-3. ∴A（-1，0），C（0，-3）. ∴OC=3. 如答图Z4-12，过点O作OF⊥AC于点F，作OH⊥BE于点H. ∴∠OHB=∠OFC=90°.  ∵OE平分∠AEB，∴OF=OH. ∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°. ∵∠BOC=90°，∠ODB=∠EDC，∴∠OBH=∠OCF. ∴△OBH≌△OCF（AAS）. ∴OB=OC=3. ∴B（3，0）. 答图Z4-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）如图Z4-6②，若点Q在OB延长线上运动，直线QD交BC于点G，直线AT∥BC交直线QD于点T，四边形ABGT的面积是否为定值？若为定值，请求出此值；若不为定值，请说明理由； 图Z4-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）四边形ABGT的面积是定值. 如答图Z4-13，延长TA交y轴于点S，连接BD. ∵AT∥BC，∴∠OSA=∠OCB=45°. ∴△OAS为等腰直角三角形. ∴OA=OS=1. ∵△AOC≌△DOB（ASA）. ∴OD=OA=1. ∴DS=CD=2. ∴△TDS≌△GDC（ASA）.  ∴S四边形ABGT=S△BOC-S△AOS=×1×1=4. ∴四边形ABGT的面积是定值，定值为4. 答图Z4-13 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）如图Z4-6③，点M为直线BE上一动点，连接OM，将线段OM绕点M逆时针旋转90°，点O的对应点为N.当点M运动时，判断点N的运动路线是什么图形，并说明理由. 图Z4-6 （3）点N的运动路线是一条直线.理由如下： 由（2）知D（0，-1），B（3，0）， ∴直线BD的表达式为y=x-1. 设M的横坐标为m，则M. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 如答图Z4-14，过点M作MR⊥x轴于点R，过点N作NP⊥MR于点P.  ∴∠ORM=∠MPN=90°. ∴∠OMR+∠ROM=90°. ∵线段OM绕点M逆时针旋转90°到MN，∴∠OMN=90°，OM=NM. ∴∠OMR+∠NMP=90°. ∴∠ROM=∠PMN. ∴△ORM≌△MPN（AAS）. ∴OR=MP=m，RM=PN=-. 令. ∴点N的运动路线是一条直线，直线表达式为y=-. 答图Z4-14 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7.【问题背景】一张矩形纸片ABCD（如图Z4-7①），AB=6，AD=3.E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q. 【初步探究】 （1）求证：△AQG是等腰三角形； 图Z4-7 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠BAG=∠G. 由折叠的性质可知∠QAG=∠BAG.∴∠G=∠QAG. ∴AQ=GQ.∴△AQG是等腰三角形. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）设FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值； （2）解：如答图Z4-15，过点F作FK∥CD， 交直线AD，BC于点K，L. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠BCD=∠B=90°，AD=BC=3. ∵BE=2CE，∴BE=2，CE=1. ∵FK∥CD，∴∠K=∠L=∠KDC=∠DCL=90°. ∴四边形DKLC是矩形.∴DK=CL. 答图Z4-15 图Z4-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 由折叠的性质可知∠AFE=∠B=90°，AF=AB=6，EF=BE=2. ∵∠AFK+∠FAK=∠AFK+∠EFL=90°，∴∠FAK=∠EFL. ∴△AKF∽△FLE.∴. 设DK=CL=x，则有AK=3+x，EL=1+x. ∴FL=x. 在Rt△EFL中，由勾股定理，得FL2+EL2=EF2，即+（1+x）2=4. 解得x=. ∴cos∠FAK==5. ∴m=FQ=AF-AQ=1. 答图Z4-15 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【深入探究】 （3）将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图Z4-7②所示），点B与点O重合，边OC，OA分别与x轴，y轴正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH. ①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标； 图Z4-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）解：①如答图Z4-16，过点P作PJ∥CD，交x轴于点J，交AD于点T. 在矩形ABCD中，AO=CD=6，AD=OC=3，∠OAD=∠ADC=∠OCD=90°， 同理（2）可得△ATP∽△PJH，四边形ATJO是矩形. ∴AT=OJ，AO=TJ=6. ∵AP经过CD的中点N，∴AD=DN=3.∴∠DAN=45°. ∴∠OAP=45°，△ATP是等腰直角三角形. ∴△PJH也为等腰直角三角形.∴AT=PT，PJ=HJ. 由折叠的性质可得AP=AO=6，∠PAH=∠OAH=∠OAP=22.5°. ∴AT=PT=）. 答图Z4-16 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②在①的条件下，如图Z4-7③，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A，D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，则AM的长度为　 　.  图Z4-7 4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 8.【问题背景】如图Z4-8①，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，），与x轴交于A，B两点，其中B（-1，0），抛物线的对称轴x=1与x轴交于点F，与抛物线交于点D，与直线AC交于点E，P为直线AC上的一个动点. 【构建联系】 （1）求抛物线的解析式； 图Z4-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）解：由题意，得 ∴抛物线的解析式为y=-. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）当点P的横坐标为2时，求证：四边形CDPF是矩形； 图Z4-8 （2）证明：∵点A与点B关于直线x=1对称，B（-1，0），∴A（3，0）. 设直线AC的解析式为y=kx+b. 将A（3，0），C（0，）代入， 得 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴直线AC的解析式为y=-x+. 把x=1代入y=-x2+x+与y=-x+， 分别得y=与y=. ∴D，E. ∴DF=，且DE=EF. 图Z4-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 如答图Z4-17，过点P作PM⊥x轴于点M. ∵点P的横坐标为2，∴OF=FM=AM. ∵y轴∥DF∥PM，∴CE=EP=PA. 在Rt△AOC中，OC=，OA=3，∴AC==2. ∴CP=AC=. ∴CP=DF. ∵DE=FE，CE=EP， ∴四边形CDPF是矩形. 答图Z4-17 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【深入探究】 （3）如图Z4-8②，以点H（0，-2）为圆心，作半径为1的☉H，过点P作☉H的切线PG，切点为G，且点G在第三象限，PG交x轴于点Q.试问在点P的运动过程中，△APQ能否形成等腰三角形，如果能，请直接写出点G的坐标，如果不能，请说明理由.（参考数据：当点P运动到y轴上时，PG与y轴的夹角为15°） 图Z4-8 （3）解：能.点G的坐标为或或. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 谢 谢 ! 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 $$