2025年中考数学一轮复习讲义 —几何图形初步

2025届人教版数学中考专项训练—几何图形初步 考点一 线段与角 一、直线与线段 基本事实 （1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线（两点确定一条直线）； （2）两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短） 两点间的距离 连接两点间的线段的长度.图中线段的长度为，两点间的距离 线段的和与差 在线段上取一点，则有： ；； 线段的中点 点把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的中点， 几何语言： 垂线 （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.图中点与直线上各点连接的所有线段中，最短，点到直线的距离是的长度 二、角与角平分线 量角器的使用 量角器的中心与角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一边对齐，做到两对齐后角的另一边与刻度线对应的度数 度、分、秒的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′= 余角和补角 互余 互为余角 应用：同角（等角）的余角相等 互补 互为补角 应用：同角（等角）的补角相等 角的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线 考点二 相交线与平行线 一、相交线与平行线 对顶角 性质：对顶角相等.如与，与，与，与 邻补角 性质：互为邻补角的两个角之和等于180°.如与，与，与等 三线八角 （1）同位角：与，与，与，与. （2）内错角：与，与. （3）同旁内角：与，与 基本事实 （平行公理） 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 平行线的判定和性质 （1）同位角相等两直线平行.如图； （2）内错角相等两直线平行.如图，； （3）同旁内角互补两直线平行.如图， 两平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：两条平行线之间的距离处处相等 二、同位角、内错角和同旁内角的识别 角的名称 位置特征 图示 结构特征 同位角 在截线同侧，同在两条被截线的同旁（相同位置） 形如字母“F”（或倒置、反置、旋转） 内错角 在截线两侧（交错），且在两条被截线之间 形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转） 同旁内角 在截线同侧，且在两条被截线之间 形如字母“U”（或倒置、反置、旋转） 三、平行线中的拐点模型 类别 辅助线作法 图示 结论 铅笔模型 过点E作 锯齿模型 过点C作 牛角模型 过点P作 锄头模型 -- 考点三 命题与定理 一、命题的相关概念 判断一件事情的语句叫做命题，数学中常可以写成“如果······那么······”的形式.命题的相关概念如下： 类别 定义 举例 真命题 当条件成立时，结论一定成立的命题 命题1：如果，那么 假命题 当条件成立时，结论不一定成立的命题 命题2：如果，那么 互逆命题 在两个命题中，若一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，则称它们为互逆命题 命题1与命题2 分析：①互逆的两个命题的真假没有直接关系，若原命题为真命题，则其逆命题不一定为真命题；②公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是真命题的依据. 二、初中数学九条基本事实 （1）两点确定一条直线 （2）两点之间，线段最短 （3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行 （5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 （7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 （8）三边分别相等的两个三角形全等 （9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 针对训练 1.一杆古秤在称物时的状态如图所示(手提的方向与重物下垂的方向都是垂直于地面),已知,则的度数等于( ) A. B. C. D. 2.如图所示，已知点C是线段的中点，点D满足，若，则的长为( ) A. B. C. D. 3.在下列各原命题中,逆命题是假命题的是( ) A.两直线平行,同旁内角互补 B.如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应边相等 C.如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应角相等 D.两个相等的角是对顶角 4.下列命题正确的是( ) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.有两个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 5.如图，直线，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C.若，则的度数为( ) A. B. C. D. 6.如图直线,相交于点O,等于,把分成两部分,且,则( ) A. B. C. D. 7.如图，给出下列条件. ①； ②； ③，且； ④其中，能推出的条作为( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 8.如图,直线,相交O,过点O作,那么下列结论错误的是( ) A.与是对顶角 B.与互为余角 C.与互为余角 D.与互为补角 9.如图，，点C是线段延长线上一点，点M为线段的中点，在线段上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得且，则k的值为( ) A.2 B.3 C.2或3 D.不能确定 10.如图,,平分,平分,,则的度数用含的式子表示为( ) A. B. C. D. 11.如图,把小河里的水引到田地A处,若使水沟最短,则过点A向河岸l作垂线,垂足为点B,沿挖水沟即可,理由是______ 12.如图，直线与直线相交于点O，于点O，且，则的度数为______. 13.如图,的面积为18,点E在上,点F,G在上,则图中阴影部分的面积为______. 14.将一副三角板(,)按如图方式摆放,使得,则_______. 15.如图1为一种可折叠阅读书架,支架可以绕点O旋转,置书面可以绕点C转动调节.首先调节,使,如图2所示,此时；再将绕O点顺时针旋转至,使,且,此时比大,则_____度. 16.如图,点C是线段上一点,点D、E分别是线段、的中点. (1)若,,求线段的长； (2)若,求线段的长.(用含a的式子表示) 17.如图，已知，且. (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数. 18.如图，已知，垂足为O，且直线经过点O. (1)若，求的度数； (2)若，求的度数. 19.如图,点A、O、B在同一直线上,,平分,平分,. (1)求的度数； (2)判断与是否互余,并说明理由. 20.已知直线,被直线所截,交点分别为点E,F,且. (1)如图1,请说明与的位置关系； (2)如图2,点P,Q分别在射线,上,点G,H分别在射线,上,连接,,并分别延长交于点O,且,求的度数； (3)如图3,在(2)的条件下,连接.若平分,且平分,,求 的度数. 2025届人教版数学中考专项训练 —几何图形的初步 答案以及解析 1.答案：C 解析：如图,由题意得, ∴, ∵, ∴, 故选：C. 2.答案：B 解析：，， ， ， C是线段的中点， . 故选：B. 3.答案：C 解析：A逆命题是同旁内角互补,两直线平行,是真命题,∴A不符合题意； B逆命题是如果两个三角形的对应边相等,那么这两个三角形全等,是真命题,∴B不符合题意； C逆命题是如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形全等,是假命题,∴C符合题意； D逆命题是如果两个角是对顶角,那么这两个角相等,是真命题,∴D不符合题意； 故选C. 4.答案：D 解析：A、一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形,故错误,不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形,故错误,不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故错误,不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形,正确,符合题意. 故选：D. 5.答案：C 解析：如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C. 6.答案：B 解析：∵等于, ∴, ∵把分成两部分,且, ∴设,, ∴,解得：, ∴, ∴, 故选：B. 7.答案：C 解析：①∵，∴，正确，符合题意； ②∵，∴，（内错角相等，两直线平行），选项不符合题意； ③∵，，∴， ∴，正确，符合题意； ④∵， ∴，由同位角相等，两直线平行可得，正确，符合题意； 故能推出的条件为①③④. 故选C. 8.答案：D 解析：A.∵与其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线, ∴与是对顶角,∴A正确； B.∵,∴, ∴,即与互为余角, ∴B正确. C.∵与是对顶角,∴, ∵,∴, 即与互为余角,∴C正确. D.∵,即与互为补角, ∴D错误. 故选：D. 9.答案：A 解析：，， 设，则，， ， 点M为线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选A. 10.答案：B 解析：平分,平分, , 过H作,过E作, , ,,, , 故选：B. 11.答案：垂线段最短 解析：根据题意,小河可以抽象为一条直线,点A到直线的所有连线中,垂线段最短 ∴理由是垂线段最短. 故答案为：垂线段最短. 12.答案：120°/120度 解析：， ， ， ， ， 故答案为：. 13.答案：9 解析：∵四边形是平行四边形, ∴, 设和之间的距离是h,则, ∵, ∴, ∴图中阴影部分的面积为9, 故答案为：9. 14.答案：75° 解析：,, 又,, 又,, ,, ,, ,, 故答案为：75°. 15.答案：69 解析：延长交于K,延长交延长线于L, 设,, ∵, ∴, ∵比大, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∵, ∴①, ∵, ∴, ∵, ∴②, 由①②解得：, , 故答案为：69. 16.答案：(1) (2) 解析：(1)∵点D、E分别是线段、的中点,, ∴,, ∵, ∴, ∴. (2)∵点D、E分别是线段、的中点, ∴,, ∵, ∴. 17.答案：(1)，理由见解析 (2) 解析：(1). 理由如下： 又 . (2) 平分 . 18.答案：(1)的度数为 (2)的度数为 解析：（1）， ， ， ， 的度数为； （2）， 设，则， ， ， ， 解的：， ，， ， 的度数为； 19.答案：(1) (2)证明见解析 解析：(1)∵,平分, ∴, ∴； (2)是,理由如下： ∵,平分, ∴, ∵,, ∴,, ∵平分, ∴, ∴, ∴, ∴与互余. 20.答案：(1),说明见解析 (2) (3) 解析：(1)∵, ∴, ∴. (2)如图1,过点O作,则. ∵, ∴, ∴. ∵, ∴, ∴. (3)如图2,过点P作,过点O作. ∵, ∴. ∵平分, ∴. 设,则. ∵平分, ∴, ∴, ∴. ∵, ∴. ∵, ∴,. ∵, ∴, ∴. ∵, ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$