精品解析：河南省周口市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

普通高中2024—2025学年（上）高二年级期末考试 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则的公差（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的等和性求出，即可求出公差. 【详解】由等差数列的性质可知，，所以， 又，所以. 故选：C. 2. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线的方程为，代入点的坐标可求直线方程. 【详解】由题意设直线的方程为，将点代入，得，所以直线的方程为. 故选：D. 3. 已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【详解】若曲线表示圆， 则由圆的一般方程可知，，解得或. 故选：B. 4. 若直线与平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行确定的值，再由两平行直线的距离公式计算即得. 【详解】直线即，因，可得， 则直线与之间的距离为. 故选：A. 5. 已知在正四面体中，为棱的中点，为的重心，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可求得. 【详解】因为为的重心， 所以，因为为棱的中点， 所以， 则. 故选：C. 6. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】由导数的定义可知， ， 又，所以， 所以. 故选：B. 7. 在正四棱柱中，为棱上动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成的角的夹角公式可得，平方后利用换元法可求范围. 【详解】以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，故，， 设与所成的角为，则， 所以，令， 所以，故. 故选：B. 8. 已知长为6的线段的两端点分别在轴和轴上，点满足，则关于点的轨迹，下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹是焦点在轴上的椭圆 B. 点的轨迹是短轴长为1的椭圆 C. 点的轨迹是离心率为的椭圆 D. 点的轨迹是长轴长为10的椭圆 【答案】D 【解析】 【分析】先设，点，则， 由得，，代入，化简得到轨迹方程，结合长短轴概念，离心率公式计算判定即可. 【详解】设，则， 设点，则， 由得，， 所以，则， 代入，得， 即，则， 所以，， 所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，短轴长为， 离心率为，长轴长为，故A，B，C错误，D正确. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为为常数，所以0，A错误； 因为，B正确； 因为，C正确； 因为 ，D正确. 故选：BCD 10. 记为数列的前项和，已知，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递减数列 C. D. 当时，取得最大值为15 【答案】AC 【解析】 【分析】利用给定的递推公式，结合变形，再逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，得， 即，则，又，于是，A正确； 对于B，由得，当时，，则不为递减数列，B错误； 对于C，由得，当时， ，，又， 累加得，， 则， 则，当时，代入上式均成立，则，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 11. 如图，“倒形”曲线由两部分组成，轴左侧部分曲线为轴及其右侧部分曲线为，且，若为“倒形”曲线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线与轴所围成区域的面积为 B. 曲线的方程为 C. 的最大值为2 D. 若直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】化简曲线的方程，确定轨迹形状，结合面积公式判断A，化简曲线的方程可得，，结合条件求，由此判断B，结合曲线方程的最大值不小于，判断C，结合图象确定满足条件的直线的临界位置，由此确定其范围，判断D. 【详解】曲线0可化为， 表示以为圆心，半径为1的两个半圆， 易得与轴所围成的区域的面积为，A错误； 因为，曲线， 化为，，表示右焦点为的椭圆在轴上及轴右侧的部分， 由图可知，，又，解得， 所以曲线的方程为，B正确； 点在曲线上，该点到原点的距离为， 所以曲线上的动点到原点的距离的最大值不小于，C错误； 由图可知，若直线与曲线有四个交点， 则直线位于和之间（与不重合）， 其中过原点，是第二象限的半圆的切线， 当直线与第二象限的半圆相切时，， 解得舍去）， 所以实数的取值范围为，D正确. 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线的倾斜角为__________. 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求导即可求得斜率，可得倾斜角. 【详解】由题意得， 当时，切线的斜率为1，故切线的倾斜角为. 故答案为： 13. 等比数列中，，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据等比数列的性质若，则，，结合条件求，由此可得结论. 【详解】因为数列为等比数列， 所以若，则，， 所以，， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知点为双曲线上一点，分别为的左，右焦点，，且的面积为2，若双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义得，再用勾股定理得到，结合离心率，即可求出即得. 【详解】不妨设点为双曲线右支上一点，则， 由的面积为2得，.，所以， 因为，则，即， 所以，又，所以，则，解得， 故双曲线的实轴长为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设为正项等比数列的前项和，已知，. （1）求数列的公比； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，即可解出的值； （2）求出的值，代入等比数列的通项公式可求得数列的通项公式； （3）利用等比数列的求和公式可求得的表达式. 【小问1详解】 因为数列是正项等比数列，则， 由题意得，， 整理得，即， 解得或（舍去）. 【小问2详解】 因为，所以， 故. 小问3详解】 . 16. 已知圆经过点，且与圆相切于点. （1）求圆心的坐标； （2）求圆标准方程； （3）过点的直线与圆和圆分别交于轴上方的两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由配方得到标准方程即可； （2）由两圆位置关系及圆心在轴上，列出等式求解即可； （3）过分别作，，得到，再结合圆的性质得到，进而得到，再通过中，，即可求解； 【小问1详解】 由圆配方得，， 所以圆心. 【小问2详解】 因为圆经过点，且与圆相切于点， 所以圆与圆内切，且圆心在轴上， 设圆心，圆的半径为， 则， 解得 故圆的标准方程为. 【小问3详解】 如图，过分别作，，垂足分别为， 因为， 所以， 由圆的性质可知，，，所以， 所以， 又，所以， 在圆中，得， 在中，，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 17. 如图，为等腰直角三角形，分别为的中点，将沿折起，使点至点的位置，且. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，从而可证明平面，进而可得结论； （2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.求出两平面的法向量，利用空间向量夹角余弦求解即可. 【小问1详解】 因为分别为的中点，所以， 又，所以. 又平面，所以平面. 因为为等腰直角三角形，， 所以，则， 连接，则， 又，所以，则. 又平面， 所以平面，又平面，则. 【小问2详解】 以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则， 故， 设平面的法向量为，由得 取，则. 设平面的法向量为， 由得取，则， 于是， 故锐二面角的余弦值为. 18. 已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. （1）求抛物线的焦点坐标； （2）若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取，计算可求得抛物线的焦点坐标； （2）设直线的方程为，求得点，求得直线的方程，进而求得点的坐标，设切线方程为，利用可求得，进而可得结论. 【小问1详解】 当时，， 不妨取， 则，， 由的周长为得， ，解得， 故抛物线的焦点坐标为. 【小问2详解】 由（1）可知，抛物线， 设直线的方程为， 则直线与直线交于点， 所以的方程为， 联立，解得，则， 所以， 易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为， 代入得，整理得， 则， 整理得， 则，所以， 故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为， 故过点与抛物线的相切的直线平行于直线. 19. 对于数列，若存在，使得对于任意，都有，则称数列为型数列. （1）已知数列的通项公式为，判断数列是否为型数列，并说明理由； （2）已知数列的首项为，且数列是型数列，若，求数列的前项和； （3）已知数列是公差为4的等差数列，证明：对于任意的，数列都是型数列. 【答案】（1）数列不是型数列，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由“型数列”的定义进行判断即可； （2）根据等差数列的定义求出数列可得，再由裂项相消求和可得答案； （3）由“型数列”的定义进行判断即可. 【小问1详解】 数列不是型数列. 理由如下：因为，当时， ， 所以， 故数列不是型数列； 【小问2详解】 由定义可知，， 则， 所以数列为3为首项，2为公差的等差数列， 所以. 所以， 故 ； 【小问3详解】 ， 故对于任意的，数列都是，型数列. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用新定义解题， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 普通高中2024—2025学年（上）高二年级期末考试 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则的公差（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知曲线表示圆，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知在正四面体中，为棱的中点，为的重心，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知长为6的线段的两端点分别在轴和轴上，点满足，则关于点的轨迹，下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹是焦点在轴上的椭圆 B. 点轨迹是短轴长为1的椭圆 C. 点的轨迹是离心率为的椭圆 D. 点的轨迹是长轴长为10的椭圆 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A B. C. D. 10. 记为数列的前项和，已知，当时，，则下列说法正确的是（ ） A B. 递减数列 C. D. 当时，取得最大值为15 11. 如图，“倒形”曲线由两部分组成，轴左侧部分曲线为轴及其右侧部分曲线为，且，若为“倒形”曲线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线与轴所围成区域的面积为 B. 曲线的方程为 C. 的最大值为2 D. 若直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线的倾斜角为__________. 13. 在等比数列中，，则__________. 14. 已知点为双曲线上一点，分别为的左，右焦点，，且的面积为2，若双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设为正项等比数列的前项和，已知，. （1）求数列的公比； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 16. 已知圆经过点，且与圆相切于点. （1）求圆心的坐标； （2）求圆的标准方程； （3）过点的直线与圆和圆分别交于轴上方的两点，若，求直线的方程. 17. 如图，为等腰直角三角形，分别为的中点，将沿折起，使点至点的位置，且. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. （1）求抛物线的焦点坐标； （2）若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 19. 对于数列，若存在，使得对于任意，都有，则称数列为型数列. （1）已知数列的通项公式为，判断数列是否为型数列，并说明理由； （2）已知数列的首项为，且数列是型数列，若，求数列的前项和； （3）已知数列是公差为4的等差数列，证明：对于任意的，数列都是型数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$