精品解析：山东省滨州市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

高二数学试题 2025.1 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，结合椭圆的标准方程可得出该椭圆的焦点坐标. 【详解】在椭圆中，，，则， 所以，椭圆的焦点坐标为和. 故选：B. 2. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程再将点，即可求得结果. 【详解】过点且与直线平行的直线的方程设为：， 再将点代入得，解得：，故直线方程为：. 故选：C 3. 已知点为平行四边形对角线的交点，点为空间任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法运算可解. 【详解】由平行四边形法则得到：,同理得：,两式相加得：. 故选：D. 4. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由可得， 故，解得， 故选：A 5. 与圆及圆都内切的圆的圆心在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的左支上 C. 双曲线的右支上 D. 抛物线上 【答案】B 【解析】 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与圆的位置关系可得，， 所以，， 所以，圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 故选：B. 6. 按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1973年5月出生的男职工退休年龄为（ ） A. 61岁3个月 B. 62岁 C. 62岁1个月 D. 62岁2个月 【答案】D 【解析】 【分析】设男职工的出生于公元年月，，，设延迟退休月数为，列出函数关系式，再求结论. 【详解】设男职工的出生于公元年月，，，， 设该男职工延迟退休月数为， 则当时，， 当时，， 当时，， 所以年月出生的男职工延迟退休月数为， 所以年月出生的男职工退休年龄为岁个月. 故选：D. 7. 在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系后利用点到直线的距离空间向量求解后可得正确的选项. 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设． 因为，平面，平面，故平面， 故直线到平面的距离为到平面的距离. ，， 设平面的法向量为，则由可得： ，取， 故到平面的距离，故，故， 故选：C. 8. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 满足的点共有4个 D. 的最大值为8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定图形，求出椭圆长、短半长轴、，再逐项计算、判断作答. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，故A选项正确； 显然，，解得，则，离心率，故B选项正确； 以椭圆的对称中心为圆心，为半径作圆，由，可知与椭圆有4个交点，所以满足的点共有4个，故C选项正确； 由椭圆定义，可得，根据不等式，可得，解得，当且仅当时，取得最大值，故D选项错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，即可求出公比，逐项验证即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，所以，故A正确； 所以，则，， 显然，所以数列不是等比数列，故B错误； ，，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为1正方体中，、、分别是、、的中点.则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 若动直线与直线夹角为，且与平面交于点，则点轨迹构成的图形的面积为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间坐标系，利用向量判断线面关系，求解平面夹角，求出轨迹可得其面积. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,; ,设是平面的一个法向量， 则，令可得，，即. 对于A，,因为，且平面，所以平面，A正确； 对于B，，因为，所以平面，B正确； 对于C，易知平面一个法向量为, 设平面与平面的夹角为，则，C不正确； 对于D，设到平面的距离为，,， 由可知平面，设平面，因为直线与直线夹角为， 所以点的轨迹是平面内，以为圆心的圆， 设圆的半径为，则，则，所以点的轨迹构成的图形的面积为，D正确. 11. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由有，结合图像逐项去分析即可判断. 【详解】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，由导数的几何意义，得到切线斜率，再结合直线方程的点斜式，即得解. 【详解】 故 由点斜式，得到切线方程为： 故答案为： 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 13. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前项和______. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义可得为等差数列，即可得，进而根据裂项相消法求和即可得解. 【详解】由题意可知：，又，故为等差数列， 故，故， 故， 故数列的前项和， 故答案为： 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解该双曲线的渐近线方程即可. 【详解】 由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为：与， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以， 即双曲线的渐近线方程为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆：，点是圆与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点. （1）求直线的方程； （2）求与直线垂直，且与圆相切直线的方程. 【答案】（1） （2）和. 【解析】 【分析】（1）求得的坐标，再由题意得到轴，确定的坐标，即可求解； （2）由（1）设直线方程，再结合直线与圆的位置关系，列出等式，即可求解； 【小问1详解】 在圆：中，令，解得，所以点的坐标为. 因为点是圆上到轴距离最大的点，所以轴. 因为圆的圆心为，且半径为1，所以点的坐标为. 过、两点的直线方程为，整理得， 即直线的方程为. 【小问2详解】 因为所求直线与垂直，所以设所求直线的方程为， 因为所求直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为1， 所以， 解得或， 所以所求直线的方程为和. 16. 如图，和所在平面垂直，且，. （1）求证：； （2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，由面面垂直性质定理证明平面，再证明，建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，利用向量方法证明结论. （2）求平面的法向量，再由条件关系求的坐标，再求直线的方向向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 （1）延长，过点作，交于点，连接. 由平面平面，平面平面， 平面， 则平面， 由，， 得， 故，. 又，得， 则， 即. 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设， 则，，，， 所以，， 因， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为，则， 即， 所以 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 设，由， 得， 所以，，，即点， 所以. 设直线与平面所成角为， 则 ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.数列的前项和为，满足. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量，结合成等比数列列方程求出公差，从而得出等差数列，由消去推出，然后利用构造法求通项； （2）根据分组求和结合等差数列等比数列求和公式求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 所以，即， 又，可得， 解得或（舍），所以. 当时，，解得. 因为，① 当时，，② ①②化简得， 即，又， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以， 所以. 【小问2详解】 由已知可得. 又 . . 所以 . 所以. 18. 已知抛物线：的准线与椭圆相交所得弦长为. （1）求抛物线的方程； （2）若圆过点，且圆心在抛物线上运动，是圆在轴上截得的弦.求证：弦的长为定值； （3）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和点，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）32. 【解析】 【分析】（1）由抛物线准线与椭圆的相交弦长易得椭圆上的点，代入即可求得的值； （2）设圆心的坐标为，利用圆的弦长公式计算即可证得； （3）设直线，的方程分别为，，点、，由直线与抛物线方程联立，利用抛物线焦半径公式求出和，再求得四边形的面积表达式，利用基本不等式即可求得面积的最小值. 【小问1详解】 由已知，抛物线的准线方程为. 因为直线与椭圆相交所得弦长为. 结合椭圆的对称性， 可得直线与椭圆相交弦的一个端点坐标是， 将代入椭圆方程化简得，解得. 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 如图，设圆心的坐标为， 由在抛物线上，可知到轴距离为，， 则， ， 故圆心在抛物线上运动时，弦的长为定值4. 【小问3详解】 由（1）知. 易知，直线，的斜率存在且不为零， 如图，设直线，的方程分别为，， 点、， 由得， ，， 则， 同理可得， 所以四边形的面积为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即四边形的面积的最小值为32. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与抛物线有关的四边形面积最值问题，属于较难题. 考虑到过焦点的两条弦互相垂直，将直线方程与抛物线方程联立得出韦达定理，利用焦半径公式求出弦长后，可直接写出，最后对于四边形的面积表达式，通过基本不等式求其最值. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的单调区间； （2）先由在定义域内单调递增得，再结合不等式求最小值即可； （3）先根据极值点得出导函数为0，结合韦达定理，再应用分离参数，构造函数，根据单调性求出最大值即可. 【小问1详解】 由函数解析式，可得在定义域为， 当，，则， 令， 可得，即， 解得，. 所以当变化时，，的变化情况如下表： + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由函数解析式，可得在定义域为， 所以， 由在定义域内单调递增，得对任意的恒成立， 即恒成立，即恒成立. 因为，所以， 当且仅当，时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 因为函数有两个极值点，， 所以方程有两个不相等的实数根，. 设，则有两个不相等的正实数根，， 故，且，， 所以，，， 又恒成立，即恒成立， . 设， 则，在恒成立， 故在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性与导数的关系.利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是重点和难点。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试题 2025.1 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆焦点坐标为（ ） A 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点为平行四边形对角线的交点，点为空间任意一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 与圆及圆都内切的圆的圆心在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的左支上 C. 双曲线的右支上 D. 抛物线上 6. 按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1973年5月出生的男职工退休年龄为（ ） A. 61岁3个月 B. 62岁 C. 62岁1个月 D. 62岁2个月 7. 在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 满足点共有4个 D. 的最大值为8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是、、的中点.则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 若动直线与直线夹角为，且与平面交于点，则点的轨迹构成的图形的面积为. 11. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______. 13. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前项和______. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆：，点是圆与轴公共点，点是圆上到轴距离最大的点. （1）求直线的方程； （2）求与直线垂直，且与圆相切的直线的方程. 16. 如图，和所平面垂直，且，. （1）求证：； （2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.数列的前项和为，满足. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足求数列的前项和. 18. 已知抛物线：的准线与椭圆相交所得弦长为. （1）求抛物线的方程； （2）若圆过点，且圆心在抛物线上运动，是圆在轴上截得的弦.求证：弦的长为定值； （3）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和点，求四边形面积的最小值. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$