解直角三角形的实际应用专项2025年九年级中考数学一轮复习

解直角三角形的实际应用 专项 2025年九年级中考一轮复习数学 1．定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 2．如图1是我们衡阳市的地标建筑 “首峰之眼”摩天轮．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A处测得摩天轮顶端M的仰角为，接着沿水平方向向左行走米到达点B，再沿着坡度的斜坡走了米到达点C，最后再沿水平方向向左行走米到达摩天轮最低点N处（A，B，C，M，N均在同一平面内）． (1)求点C到的距离； (2)求摩天轮的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 3．容睿使用桌上书架如图1所示．睿睿发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．睿睿调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想．     (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果睿睿的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，睿睿看点的俯角为，眼睛到桌面高度为，点到点的距离为，求此时眼睛到F点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 4．如图，建筑物后有一座假山，其坡度，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离，与凉亭距离，小明从建筑物顶端测得E点的俯角为，求建筑物的高度． 5．如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为，已知教学楼前台阶的斜坡的坡度为，台阶斜坡的铅直高度为2米，求旗杆的高度．（参考数据：，，） 6．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．当米时，请求出该秋千的长度（参考数据：，，结果精确到米）． 7．中原福塔作为郑州市地标性建筑之一，现已成为外地游客到郑州旅游打卡的网红地．如图，为测量福塔顶部处的高度，某数学兴趣小组在福塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为，塔底部B处的俯角为．已知建筑物的高约为米，请计算中原福塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：） 8．如图，A为海上一供给站，小岛B在供给站A的正西方向，灯塔D在供给站A的正南方向，另一供给站C在灯塔D的西南方向，与灯塔D相距海里，在供给站C处测得小岛B在北偏西方向，且海里． (1)求供给站C到的距离；（结果精确到个位） (2)一游艇在小岛B处突发故障滞留并发出求救信号，此时从D处派出了两艘救援船甲、乙前往B处救援，甲选择的路线为，乙选择的路线为，若甲的速度为每小时海里，乙的速度为每小时海里，请通过计算说明甲、乙两艘救援船谁先到达B处？（参考数据：，，，，，） 9．学科实践：风力发电是一种利用风能转化为电能的技术，它通过风力发电机将风的动能转换为机械能，进而通过发电机将机械能转换为电能．某校实践活动小组到当地的电力部门安装的一批风力发电机场地进行实地调研，并对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量． 数据采集：如图1是要测量的风力发电机，图2为测量示意图，已知斜坡长为，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离． 数据应用：已知图中点，，，均在同一平面内，．请根据上述数据，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到；参考数据：，，，） 10．如图1所示是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成．图2、图3、图4是其三种不同状态下的侧面结构示意图，支撑板，托板固定在支撑板顶点C处，且，支撑板可绕点D转动，托板可绕点C转动． (1)如图2，已知，保持的度数不变，现将支撑板绕点D逆时针转动到如图3的状态，此时，求此过程中点B的运动路径长； (2)保持图3中的度数不变，再将托板绕点C转动到如图4的状态，此时，求此时点B到底座的距离． 11．关圣殿是湘潭沿湘江风光带一个重要景点，重装后于2024年元月1日对外开放．如图，某数学活动小组为测量关圣殿牌楼的高度，在小斜坡顶端点处测得牌楼的仰角为，沿小斜坡下到底端点处测得牌楼的仰角为，的坡度为，点到地面的垂直距离为．点、、在一条直线上，，，都在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求牌楼的高度． （结果精确到．参考数据，，） 12．如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道的顶端有一个长2米的水平面． 《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定： 坡度 最大高度（米） 1.50 1.00 0.75 (1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的？说明理由； (2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道建造需要规划多少面积的用地？ 13．图1是某学校教师办公楼的人脸识别考勤机（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． (1)体育王老师的身高，头部高度为，若他正常站立，王老师能否在有效识别距离内被识别？请计算说明． (2)数学张老师身高，头部高度为，若张老师正常站立被识别，则张老师离摄像头水平距离的最小值是多少？请计算说明 （精确到，参考数据，，） 14．如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下的处，射线从肿瘤右侧的处进入身体． (1)求射线与皮肤所成的锐角的度数． (2)为保证器官不受伤害，需要将射线照射点沿方向继续右移，当，既可以保证器官安全，也能保证疗效．求射线照射点从点到点右移的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 15．如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道（步道可以骑行），组成一个四边形，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西方向米处，景点A在景点B的北偏东方向，景点B和休息区M两地相距米（），景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向． (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿路线，速度为每分钟米；小莹沿路线，速度为每分钟米．请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点A．（参考数据：，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)的长是10米 (2)不同意， 2．(1)12米 (2)88米 3．(1) (2) 4． 5．旗杆的高度为13.6米 6．(1)秋千绳索的长度为尺； (2)该秋千的长度约为米． 7．米． 8．(1)61海里 (2)甲先到达B处 9．该风力发电机塔杆的高度为 10．(1) (2) 11．(1)； (2)牌楼的高度约为 12．(1)建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度， (2)45平方米 13．(1)能， (2)张老师离摄像头水平距离的最小值约为 14．(1)射线与皮肤所成的锐角的度数为 (2)射线照射点从点B到点D右移的距离为 15．(1)步道AB的长度为米； (2)小莹先到达景点A 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$