精品解析：内蒙古赤峰市红山区2024-2025学年高一上学期期末学情监测数学试题

红山区2024-2025学年度第一学期期末学情监测 高一年级数学 2025.1 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到，根据交集概念进行求解即可. 【详解】等价于，解得， 故， 又，所以. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式书写即可判断. 【详解】利用全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定为：“”， 故选：. 3. 拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径作圆弧，交于点C，等边哥特拱是由线段AB，，所围成的图形.若，则该拱券的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出扇形的面积和三角形的面积即得解. 【详解】解：设的长为. 所以扇形的面积为. 的面积为. 所以该拱券的面积为. 故选：D 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的增长速度，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 当时，，， 当时，，， 故对任意的，，所以，函数为偶函数，排除BD选项； 当时，，则函数在的增长速度快于函数的增长速度，排除C选项. 故选：A. 5. 在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合指、对数运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的范围及同角三角函数关系可得，再由，即可求值. 【详解】由，，则， 所以， 则. 故选：A 7. 已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设有在定义域上单调递减，结合已知判断的区间符号，进而求不等式的解集. 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出、和的图象，结合图象以及函数有两个零点求得的取值范围. 【详解】函数有两个零点， 即有两个不相等的实数根， 即与的图象有两个交点. 画出、和的图象如下图所示， 由解得，设. 由解得，设. 对于函数， 要使与的图象有两个交点，结合图象可知，. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若为正整数，则 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案． 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，时，，故B正确； 对于C，由，则，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：BC． 10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上存在零点 C. 当时， D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】应用奇偶性定义判断A；由正弦函数的性质判断单调性及区间符号，结合零点存在性定理判断B、C；应用特殊值法有判断D. 【详解】由解析式知，函数定义域为R，且，A错； 在上单调递增，且，， 所以函数在区间上存在零点，B对； 由上单调递增，且，故，C对； 由，显然，D错. 故选：BC 11. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形.在工程中有广泛的应用，例如县索桥､双曲拱桥､架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线.直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中为有关参数.这样，数学上又多了一对与有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数.则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新定义，直接运算即可判断A，根据即可判断B，结合同底数幂的乘法法则，利用作差法即可判断CD. 【详解】A： ，故A错误； B：，故B正确； C：， ，即，故C正确； D： ， 由得，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结果. 【详解】由得： ， 解得：； 由得： 又因为,且,所以即 所以 则 故答案为：. 13. 已知幂函数，，的图象如图所示，则，，用<连接为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据在时函数值的大小关系可判断，，的大小. 【详解】 由图可得，， 根据指数函数在上为增函数可得，. 故答案为：. 14. 已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为_______小时. 【答案】72 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，求出，确定函数解析式，再代入求值即可. 【详解】由题意得：，①÷②得：，故， 则，，故 故当时，. 故答案为：72 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，利用集合间的基本运算可得结果. （2）根据条件可得⫋，根据集合间的关系列不等式组计算可得结果. 【小问1详解】 由得，，解得：， ∴， 当时，， ∴，即. 【小问2详解】 ∵“”是“”成立的必要不充分条件 ∴⫋， ∴，解得， ∴的取值范围是. 16. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得. （2）根据齐次式的知识求得正确答案. 小问1详解】 ， 若角的终边过点，则， 所以. 【小问2详解】 若， 所以； . 17. 已知函数（且）. （1）求函数的奇偶性； （2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可得出结论； （2）由可得出，求出函数在上的值域，可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：对于函数，有，则，解得， 所以函数的定义域为， ，故函数为奇函数. 【小问2详解】 解：由可得， 则， 令，其中， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 当时，， 因此，实数的取值范围是. 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 19. 已知函数，． （1）判断并证明在上的单调性： （2）当时，都有成立，求实数的取值范围； （3）若方程在上有4个实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）令，由可得出在恒成立，利用对勾函数的单调性可求得实数的取值范围； （3）令，令，分析可知函数在上有两个不等的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 小问1详解】 函数在上单调递增，证明如下： 任取、且，则，， 则 ， ，所以函数在上单调递增. 【小问2详解】 因为，， 即， 当时，令，则， ， 由恒成立可得，在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 因为函数在上单调递增，所以， 所以实数取值范围是. 【小问3详解】 对任意的，， 所以函数为偶函数， 由（1）可知，函数在上为增函数，则该函数在上为减函数， 令，当时，， 由可得， 令，则函数在上有两个不等的零点， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 红山区2024-2025学年度第一学期期末学情监测 高一年级数学 2025.1 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径作圆弧，交于点C，等边哥特拱是由线段AB，，所围成的图形.若，则该拱券的面积是（ ） A. B. C D. 4. 函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 5. 在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若为正整数，则 B. 若，则 C D. 若，则 10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上存在零点 C. 当时， D. 若，则 11. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形.在工程中有广泛的应用，例如县索桥､双曲拱桥､架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线.直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中为有关参数.这样，数学上又多了一对与有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数.则（ ） A. B. C. D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，则__________． 13. 已知幂函数，，的图象如图所示，则，，用<连接为__________． 14. 已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为_______小时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”成立必要不充分条件，求的取值范围． 16. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 17. 已知函数（且）. （1）求函数的奇偶性； （2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围. 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 19. 已知函数，． （1）判断并证明在上的单调性： （2）当时，都有成立，求实数的取值范围； （3）若方程在上有4个实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$