8.4 乘法公式 寒假自学讲义 2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学下册

8.4 乘法公式 【学习目标】 1.理解和掌握平方差公式和完全平方公式。 2.利用两个公式解决问题，提高综合运用公式的能力。 3.感受两个公式在解决实际问题中的魅力 【教学重难点】 能够熟练利用两个公式解决问题，提高知识点的综合运用能力 考点1：完全平方公式 知识点与方法技巧梳理： （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．（运用多项式乘多项式进行推导，简单记为“头平方，尾平方，二倍乘积中间放”） （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 要点诠释：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【例】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到的数学公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【变式2】计算：已知：，，则 ． 【变式3】若，，则 ． 【变式4】若关于x的方程的等号左边是完全平方式，则k的值为 ． 考点2：平方差公式 知识点与方法技巧梳理：（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 要点诠释：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便 【例】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（2x﹣y）（2x+y） B．（x﹣y）（﹣y﹣x） C．（b﹣a）（b+a） D．（﹣x+y）（x﹣y） 【变式1】如果计算时能使用平方差公式，则、应满足　　 A．、同号 B．、异号 C． D． 【变式2】如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），将余下的部分剪开后拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（    ） A．2022 B．2023 C． D．1 【变式4】仔细观察，探索规律： (1)； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； (2)根据上述规律求的值； (3)根据上述规律：的值为______． 【思维拓展】 1、、为实数，整式的最小值是　　 A． B． C． D． 2、比较图1和图2你可以得到①，如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，CF为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分的面积是②（　　） A．①（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；②26 B．①（a+b）2﹣（a﹣b）2＝+4ab；② C．①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；② D．①（a+b）2﹣（a﹣b）2＝+4ab；②26 3、用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要B类卡片 张．    4、【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 　　； 　　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　（用字母表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： 计算：． 【拓展】 ①结果的个位数字为 　　； ②计算：． 5、先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解： ， ， 问题（1）若，求的值． （2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 6、阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图 ， 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：余式为能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）多项式除以多项式，所得的商式为 　　； （2）已知关于的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式； （3）已知能被整除，则　　； （4）如图2，有2张卡片，3张卡片，1张卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【课后作业】 1、下列各式使用乘法公式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2、已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值（　　） A．4 B．3 C．1 D．0 3、已知x﹣y＝﹣2，x+y＝6，则x2﹣y2的值为（　　） A．2 B．4 C．12 D．﹣12 4、计算的结果等于 ． 5、如果是一个完全平方式，那么m的值为 ． 6、化简下列各式： (1)； (2)． 7、利用乘法公式计算： (1)； (2)． 8、完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值； 解：因为，所以，即：，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和． 9、如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________． A． B． C． D． (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：求的值； ②计算：； 10、将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，求的值． 解：， ，即． 又， ， 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，（）它们面积和为，边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4 乘法公式 【学习目标】 1.理解和掌握平方差公式和完全平方公式。 2.利用两个公式解决问题，提高综合运用公式的能力。 3.感受两个公式在解决实际问题中的魅力 【教学重难点】 能够熟练利用两个公式解决问题，提高知识点的综合运用能力 考点1：完全平方公式 知识点与方法技巧梳理： （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．（运用多项式乘多项式进行推导，简单记为“头平方，尾平方，二倍乘积中间放”） （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 要点诠释：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【例】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式逐一判断各个选项即可． 【详解】A. ，错误，不符合题意；     B. ，正确，符合题意；     C. ，错误，不符合题意； D. ，错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】如图，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到的数学公式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【解答】解：阴影部分正方形的边长为a﹣b， 阴影部分的面积为（a﹣b）2， 根据题意可得， （a﹣b）2＝a2﹣2（a﹣b）×b﹣b2＝a2﹣2ab+b2． 故选：D． 【变式2】计算：已知：，，则 ． 【解答】解：，， ． 故答案为：7 【变式3】若，，则 ． 【解答】解：， 所以可得：， 故答案为：2． 【变式4】若关于x的方程的等号左边是完全平方式，则k的值为 ． 【答案】或4/4或 【分析】本题考查了完全平方公式，解一元一次方程，直接根据完全平方公式的结构特征作答即可． 【详解】解：∵关于x的方程的等号左边是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或4， 故答案为：或4． 考点2：平方差公式 知识点与方法技巧梳理：（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 要点诠释：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便 【例】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（2x﹣y）（2x+y） B．（x﹣y）（﹣y﹣x） C．（b﹣a）（b+a） D．（﹣x+y）（x﹣y） 【解答】解：A、（2x﹣y）（2x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误； B、（x﹣y）（﹣y﹣x）＝（﹣y+x）（﹣y﹣x），符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误； C、（b﹣a）（b+a）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误； D、（﹣x+y）（x﹣y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确． 故选：D． 【变式1】如果计算时能使用平方差公式，则、应满足　　 A．、同号 B．、异号 C． D． 【解答】解：， 时能使用平方差公式， 即故． 故选：． 【变式2】如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），将余下的部分剪开后拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第一个图形阴影面积为， 第二个图形阴影部分为梯形，面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴， 故选：C． 【变式3】（    ） A．2022 B．2023 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键． 先变形，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式4】仔细观察，探索规律： (1)； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； (2)根据上述规律求的值； (3)根据上述规律：的值为______． 【答案】(1)（1）①，②，③，④，⑤， (2) (3)342 【分析】本题考查了平方差公式以及拓展应用，多项式乘以多项式规律等知识，熟练掌握平方差公式并根据题目中呈现的式子发现其中规律并灵活应用是解题关键． （1）根据结果的规律得出答案； （2）将写成，通过（1）规律即可求解； （3）由得当，，，将变形为，即可得到再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）由上式的规律可得，， ①故答案为：； 由题干中提供的等式的规律可得， ②； 故答案为：； ③， 故答案为：； ④ 故答案为：； ⑤， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴取，，， ． 【思维拓展】 1、、为实数，整式的最小值是　　 A． B． C． D． 【分析】利用完全平方公式对式子进行整理，再分析即可． 【解答】解： ， ，， 的最小值为， 即的最小值为． 故选：． 2、比较图1和图2你可以得到①，如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，CF为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分的面积是②（　　） A．①（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；②26 B．①（a+b）2﹣（a﹣b）2＝+4ab；② C．①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；② D．①（a+b）2﹣（a﹣b）2＝+4ab；②26 【分析】①利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式，②用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题． 【解答】解：①大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b）2， 大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b）2， 因此（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 即（a+b）2﹣（a﹣b）2＝+4ab， ②设AC＝a，CF＝b， 因为AB＝8，S1+S2＝26， 所以a+b＝8，a2+b2＝26， 因为（a+b）2＝a2+b2+2ab， 所以64＝26+2ab，解得ab＝19， 由题意：∠ACF＝90°， 所以， 故选：B． 3、用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要B类卡片 张．    【答案】4 【分析】利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量． 【详解】解：∵， ∴拼成一个边长为的正方形需要A类卡片4张，B类卡片4张，C类卡片1张． 故答案为：4． 4、【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 　　； 　　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　（用字母表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： 计算：． 【拓展】 ①结果的个位数字为 　　； ②计算：． 【解答】解：（1）图1阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即：，图2的长是，宽为的长方形，因此面积为， 故答案为：，； （2）由（1）得，， 故答案为：； 【应用】 ； 【拓展】①原式 ， ，，，，，，而， 的个位数字为6， 故答案为：6； 【拓展】原式 ． 5、先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解： ， ， 问题（1）若，求的值． （2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【分析】（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式计算即可； （2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出、的值，然后利用三角形的三边关系即可求解． 【解答】解：（1） ， ，， 解得，， ； （2）， ， 即， ，， 解得，， 是中最长的边， ． 6、阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图 ， 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：余式为能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）多项式除以多项式，所得的商式为 　　； （2）已知关于的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式； （3）已知能被整除，则　　； （4）如图2，有2张卡片，3张卡片，1张卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （2）关于的二次多项式除以，商式是，余式是， 该二次多项式为：， 即多项式为：； （3）列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：3； （4）能， 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，3张卡片，1张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为0，能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 【课后作业】 1、下列各式使用乘法公式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，根据平方差公式和完全平方公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，故选项A不符合题意； B. ，计算正确，故选项B不符合题意； C. ，计算错误，故选项C符合题意； D. ，计算正确，故选项D不符合题意； 故选：C． 2、已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值（　　） A．4 B．3 C．1 D．0 【分析】先根据平方差公式进行变形，再代入，最后求出答案即可． 【解答】解：∵a﹣b＝1， ∴a2﹣b2﹣2b ＝（a+b）（a﹣b）﹣2b ＝（a+b）•1﹣2b ＝a+b﹣2b ＝a﹣b ＝1， 故选：C． 3、已知x﹣y＝﹣2，x+y＝6，则x2﹣y2的值为（　　） A．2 B．4 C．12 D．﹣12 【分析】根据平方差公式得出x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），再代入计算即可． 【解答】解：∵x﹣y＝﹣2，x+y＝6， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） ＝﹣2×6 ＝﹣12． 故选：D． 4、计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，利用平方差公式即可算得答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 5、如果是一个完全平方式，那么m的值为 ． 【答案】12或 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏解．这里首末两项是和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和3积的2倍． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12或． 6、化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ； 7、利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式．解题的关键是将各式化为完全平方公式或平方差公式进行运算． （1）根据完全平方公式即可求出答案； （2）根据平方差公式即可求出答案； 【详解】（1）解： ； （2） ． 8、完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值； 解：因为，所以，即：，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和． 【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）根据题目的已知可得，，然后设，，从而可得，，最后根据完全平方公式进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， 的值为12； （2）设，， ， ， ， ， 的值为6； （3）四边形是长方形， ，， ， ，， 设，， ， 长方形的面积为200平方单位， ， 图中阴影部分的面积和正方形的面积正方形的面积 ， 图中阴影部分的面积和为500平方单位． 9、如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________． A． B． C． D． (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：求的值； ②计算：； 【答案】(1)B (2)①；② 【详解】（1）解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为 ∴可以验证的等式是： 故答案为：B； （2）解：①∵， ∴， 即， ∴； ② 10、将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，求的值． 解：， ，即． 又， ， 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，（）它们面积和为，边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是完全平方公式变形的应用，掌握、、、、之间的关系是解题的关键． （1）由可得，再代入可得答案； （2）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由已知条件得，，同理可求，由，可求得，从而可求得，由 ，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）设大正方形的边长为，正方形的边长为，面积和为，边长和为， ，， ， ， 解得：， ， ， ②， 由①②解得：， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$