专题04 平方根与立方根（四大题型总结）（计算题专项训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册计算题专项训练系列（湘教版2024）

专题04 平方根与立方根（四大题型总结） 【题型一：利用平方根与立方根解方程】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值． （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查利用平方根解方程，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解题的关键． （1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （3）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （4）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可． 【解题过程】 （1）解： （2）解： 或 （3）解： 或 （4）解： 或 ＝0或x＝－4 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）求下列各式中的： （1）； （2）． 【思路点拨】 （1）根据平方根的概念解方程即可； （）根据立方根的概念解方程即可； 本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解题的关键． 【解题过程】 （1）解： 或 ∴或； （2）解： ∴． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）求下列各式中的： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查根据平方根和立方根的性质解方程； （1）化简得到，再根据平方根解方程计算即可； （1）化简得到，再根据立方根解方程计算即可． 【解题过程】 （1）解：， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）求下列各式中的值： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查利用立方根解方程： （1）根据立方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【解题过程】 （1）解： ∴． （2） ∴ ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）解下列方程： （1） （2） 【思路点拨】 此题考查了用平方根和立方根的意义解方程． （1）变形后得到，则，即可求出方程的解； （2）变形后得到，则，即可求出方程的解． 【解题过程】 （1）解： ∴， 根据平方根的意义得到，， ∴或， 解得或； （2） ∴， 根据立方根的意义得到，， 解得． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查利用立方根解方程，掌握立方根的定义是解题的关键． （1）根据先移项，系数化为，然后利用立方根的概念求解； （2）先利用立方根的求解，然后解一元一次方程即可； （3）先系数化为，然后开立方即可求解； （4）根据先移项，系数化为，然后利用立方根的概念求解． 【解题过程】 （1）解： 解得：； （2） 解得； （3） 解得； （4） 解得． 7．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的值： （1） （2） （3） （4）． 【思路点拨】 本题考查利用平方根、立方根解方程，解题的关键是明确平方根和立方根的定义． （1）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值，再求的值； （2）利用立方根的定义求出的值，再求的值； （3）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值； （4）将方程变形为，然后利用立方根的定义求出的值，再求的值； 【解题过程】 （1）解： ∴， ∴， ∴或， ∴的值为或； （2）， ∴， ∴， ∴的值为； （3）， ∴， ∴或， ∴的值为或； （4）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中x的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查了利用立方根、平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根解方程即可； （2）利用平方根解方程即可； （3）利用平方根解方程即可； （4）利用平方根解方程即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）； ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 【题型二：求一个数（代数式）的平方根】 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根． （1）81； （2）1.96； （3）30； （4）； （5）； （6）． 【思路点拨】 本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键； （1）利用平方根的意义解答即可； （2）利用平方根的意义解答即可； （3）利用平方根的意义解答即可； （4）利用平方根的意义解答即可； （5）利用平方根的意义解答即可； （6）利用平方根的意义解答即可． 【解题过程】 （1）∵， ∴81的平方根为； （2）∵， ∴1.96的平方根为； （3）∵， ∴30的平方根为； （4）∵， ∴的平方根为； （5）∵， ∴的平方根为； （6）， ∵， ∴的平方根为． 10．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【思路点拨】 本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的意义得出，根据算术平方根的意义得出，，继而得出，的值，再代入进行计算，即可得解．掌握平方根与算术平方根的意义是解题的关键． 【解题过程】 解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 11．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【思路点拨】 本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【解题过程】 解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 12．（24-25八年级上·全国·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 【思路点拨】 此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的关系．由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求平方根． 【解题过程】 解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴，解得， ∴， 由，得， ∴， ∵， ∴的平方根是． 13．（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b的平方根是与， （1）求a和b的值． （2）求平方根． 【思路点拨】 本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【解题过程】 （1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 14．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． （1）求这个正数； （2）若和满足，求的平方根． 【思路点拨】 本题考查的是平方根和立方根，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答； （2）根据绝对值的非负性可得b，根据平方的非负性可得c，再根据平方根的定义求解即可． 【解题过程】 （1）解：一个正数的两个不相等的平方根是与． ，   ， ． （2）， ；，   ，， ，   的平方根是． 【题型三：平方根与立方根的综合运用】 15．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是 3， 求 的平方根． 【思路点拨】 本题考查了平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握平方根，立方根和算术平方根的定义是解题关键．根据算术平方根的平方等于被开方数，立方根的立方等于被开方数即可求出x，y，就可求出答案． 【解题过程】 解：∵的算数平方根是2， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴，                   把x的值代入解得：，       ∴， ∴的平方根为． 16．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根． 【思路点拨】 本题考查的是立方根、平方根及算术平方根的定义，根据题意求出a、b的值是解答此题的关键． 分别根据的平方根是，的算术平方根是4，求出a、b的值，再求出的值，求出其立方根即可． 【解题过程】 解：由题意可知： ， ， ， ， ， ， 的立方根是． 17．（23-24八年级上·四川·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【思路点拨】 本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果． 【解题过程】 解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 18．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是． （1）求与的值； （2）求的立方根． 【思路点拨】 本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根可直接求解． 【解题过程】 （1）解： 的算术平方根是， ， 解得：， 的立方根是， ， 解得：； （2）由(1)知，， ， 的立方根为． 19．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【思路点拨】 本题考查了立方根、平方根和算术平方根的综合应用，掌握相关结论即可. （1）根据1的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是，即可求解； （2）根据即可求解； 【解题过程】 （1）解：∵1的算术平方根是1， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵的平方根是， ∴， ∴； （2）解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 20．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为． （1）分别求的值； （2）求的平方根． 【思路点拨】 本题考查立方根，算术平方根，平方根．熟练掌握相关概念，是解题的关键． （1）根据立方根，平方根和算术平方根的定义进行求解即可； （2）先求出3a−b+c的值，再计算平方根即可． 【解题过程】 （1）解：∵的立方根是，的算术平方根为， ∴，， 解得：，， ∵， ∴； （2）当时， ∴， ∴的平方根是． 当时， ∴， ∴的平方根是． 综上所述，的平方根是或． 【题型四：与算数平方根有关的规律探究】 21．（23-24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下列解题过程： …… （1）计算： ； （2）按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； （3）计算： 【思路点拨】 本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【解题过程】 （1）解： ， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：＝， 故答案为：； （3）解：原式 ． 22．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1）_______； （2）简便计算：． 【思路点拨】 本题考查算术平方根，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键． （1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）将原式化为题目规律中的形式，利用简便方法求出结果即可． 【解题过程】 （1）解：， 故答案为：，21； （2）解： ． 23．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … （1）表格中________，________． （2）①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【思路点拨】 本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【解题过程】 （1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 24．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）将全体自然数的算术平方根如下图进行排列，如第3行第2列是． 请探究： （1）第6行第5列是 ； （2）第101行第100列是 ． 【思路点拨】 （1）根据题中数据排列的顺序，找出第6行，第5列的数即可求解； （2）根据题中数据排列的顺序，找出规律即可求解． 【解题过程】 （1）解：根据题意可知： 第2行，第1列的数为：， 第3行，第2列的数为：， 第4行，第3列的数为：， 第5行，第4列的数为：， 故第6行，第5列的数为：， 故答案为：． （2）解：由（1）可推测，第行，第列的数为： 当为偶数时，为， 当为奇数时，为， 故当时，第101行第100列的数为， 故答案为：． 25．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． （1）根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； （3）对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【思路点拨】 本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【解题过程】 （1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 26．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：______； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 【思路点拨】 本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据所给算式总结规律计算即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【解题过程】 解：（1）； ； ； …； ∴， ∴． 故答案为：； （2） ； （3）∵符合， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平方根与立方根（四大题型总结） 【题型一：利用平方根与立方根解方程】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值． （1）； （2）； （3）； （4）． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）求下列各式中的： （1）； （2）． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）求下列各式中的： （1） （2） 4．（2024八年级上·全国·专题练习）求下列各式中的值： （1）； （2）． 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）解下列方程： （1） （2） 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 7．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的值： （1） （2） （3） （4）． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中x的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型二：求一个数（代数式）的平方根】 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根． （1）81； （2）1.96； （3）30； （4）； （5）； （6）． 10．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 11．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 12．（24-25八年级上·全国·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 13．（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b的平方根是与， （1）求a和b的值． （2）求平方根． 14．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． （1）求这个正数； （2）若和满足，求的平方根． 【题型三：平方根与立方根的综合运用】 15．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是 3， 求 的平方根． 16．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根． 17．（23-24八年级上·四川·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 18．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是． （1）求与的值； （2）求的立方根． 19．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 20．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为． （1）分别求的值； （2）求的平方根． 【题型四：与算数平方根有关的规律探究】 21．（23-24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下列解题过程： …… （1）计算： ； （2）按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； （3）计算： 22．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1）_______； （2）简便计算：． 23．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … （1）表格中________，________． （2）①已知，则________； ②已知，，求m的值． 24．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）将全体自然数的算术平方根如下图进行排列，如第3行第2列是． 请探究： （1）第6行第5列是 ； （2）第101行第100列是 ． 25．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． （1）根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； （3）对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 26．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：______； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$