精品解析：陕西省西安市某校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024--2025学年度第一学期高二年级数学学科期末试卷 注意：本试卷共4页，19题，满分150分，时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项. 【详解】若等差数列通项公式为，此时，，，， 不为常数，所以不是等差数列； 不为常数，所以不是等差数列， 为常数，所以是等差数列， 不为常数，所以不是等差数列. 故选：B 2. 若直线与直线平行，则实数的取值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程一般式两直线平行的系数关系即可求解，同时注意舍去直线重合的情况 【详解】由已知，若直线与直线平行，则需满足，解得,由于当时，两直线重合，因此 故选：B 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 50 B. 63 C. 72 D. 135 【答案】A 【解析】 【分析】思路一：由已知利用等差数列的求和公式和通项公式求解和d，即可求解；思路二：由得，结合、等差数列求和公式以及等差数列下标和性质即可求解. 【详解】方法一：设等差数列的公差为， 由已知可得，解得， 所以. 方法二：，所以， 从而由等差数列求和公式得. 故选：. 4. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，写出直线方向向量，利用夹角公式，可得答案. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，设， 则，，，， 由分别为的中点，则，， 取，，设异面直线与的夹角为， . 故选：C. 5. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求出点的坐标，代入抛物线方程求解. 【详解】 如图，因为，所以， 又因为，所以过点作轴的垂线，垂足为， 则,所以， 因为点在抛物线上， 所以，整理得，， 解得或（舍）， 故选:B. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 7. 已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得异号，根据可知，且，所以，利用等差数列的前n项和公式即可得出结果. 【详解】解：因为，所以异号， 因为，所以， 又有，所以，即， 因为，， 所以的最大整数n为17. 故选：C 8. 已知，直线与的交点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线过定点以及垂直关系确定点在以为直径的圆上，进而根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】由直线，的方程知直线过定点，直线过定点， 又，所以，即，所以点在以为直径的圆上， 的中点,, 故在圆上，又在圆上，所以圆与圆有交点， 即，又，所以，即的取值范围是． 故选:D． 二、不定项选择（本题共3小题，每小题6分共18分.在小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则该椭圆的焦距为 D. 若椭圆的离心率为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由方程表示椭圆可得判断A，再根据其它各项描述及椭圆的性质判断正误即可. 【详解】由题意，A错； 椭圆的焦点在y轴上，则，B对； 若，则，故，该椭圆的焦距为，C对； 若椭圆的离心率为，则或，可得或，D错. 故选:BC. 10. （多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ） A. B. 为偶数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，再根据递推公式逐一分析判断即可. 【详解】对于A，记该数列为，由题意知，，，，， ，，，， ，，故A正确； 对于B，因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和， 此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组， 而，故为奇数，故B错误； 对于C，由题意知，所以， ，故C正确； 对于D，， 故D正确． 故选：ACD. 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知题意，探索递推规律，由规律得通项，由此判断选项. 【详解】由题意得，第层有个球，. 即，，，， 因为，所以，A正确； 由，当时，，故B错误，C正确； 由，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 【答案】2米 【解析】 【详解】 如图建立直角坐标系，设抛物线方程为， 将A（2，-2）代入， 得m=-2， ∴，代入B得， 故水面宽为米，故答案为米． 考点：抛物线的应用 13. 等差数列前13项和为91，正项等比数列满足，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的下标和性质求解可得. 【详解】由题知，，解得， 所以， 所以. 故答案为：13 14. 已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为________ 【答案】## 【解析】 【分析】设直线方程为与双曲线方程联立，根据求解. 【详解】解：如图所示： 设直线方程为与双曲线方程联立， 解得， 因为， 所以， 即，即， 解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，证明：. 【答案】（1） 因为，当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，则，即且， 所以，数列是等比数列，且其首项和公比都为. （2） 由（1）可知，，则，所以，， 所以，. 【解析】 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，结合裂项相消法可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． 【小问1详解】 圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 17. 椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4． （1）求椭圆的方程； （2）设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆几何性质求解即可； （2）设，直线：，并联立直线和椭圆方程求出，，再将面积表达出即可利用求函数最值的方法求出直线. 【小问1详解】 令， 由题意得：，解得，则 ∴椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题意可知，直线斜率必存在，故设，直线：， 联立，得，。 ，， ， 令，则， 又∵在单调递增， ∴当即即时，面积最大， 此时直线：. 18. 已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足． （1）求证：数列为等差数列，并求出； （2）求； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1） 证明：，， ，，， ， 又由，是以1为首项，1为公差的等差数列； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由平方差公式结合等差数列定义求解即可； （2）由与的关系得出； （3）由求和公式得出数列的前项和，再分类讨论得出． 【小问1详解】 所以， 【小问2详解】 因为， 且，所以． 【小问3详解】 由（2）知，所以时，；时，， 记数列的前项和为，则，从而 当时，； 当时，， 所以． 19. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设（表示不超过的最大整数），求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，由可得出，两式作差可得出的表达式，当时，可得出的值，综合可得出数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得； （3）求得，对的取值进行分类讨论，结合分组求和法可求得数列的前项和. 【小问1详解】 因为，① 当时，，② ①②，得，所以. 当时，由①得，适合， 故对任意的，. 【小问2详解】 因为， 可得， 上述两个等式作差可得， 因此，. 【小问3详解】 由（1）得， 因为，则， 当时，则，则； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，. 因此，所以的前项和为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年度第一学期高二年级数学学科期末试卷 注意：本试卷共4页，19题，满分150分，时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则实数的取值为（ ） A. 或 B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 50 B. 63 C. 72 D. 135 4. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 7. 已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 18 8. 已知，直线与的交点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、不定项选择（本题共3小题，每小题6分共18分.在小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则该椭圆的焦距为 D. 若椭圆的离心率为，则 10. （多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ） A. B. 为偶数 C. D. 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 13. 等差数列前13项和为91，正项等比数列满足，则______． 14. 已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，证明：. 16. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 17. 椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4． （1）求椭圆的方程； （2）设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程． 18. 已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足． （1）求证：数列为等差数列，并求出； （2）求； （3）设，求数列的前项和． 19. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设（表示不超过的最大整数），求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $