精品解析：2025届湖北省武汉市黄陂区高三1月月考数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的非空子集的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式求得集合，进而求得，从而求得正确答案. 【详解】，所以， 所以，所以， 其非空子集个数为. 故选：B. 2. 已知（其中为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数根的特征得出另外一个根，再结合韦达定理及模的公式计算即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根，则是方程的另外一个根， 所以，所以， 则. 故选：C. 3. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，即确定一户居民月均用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.通过抽样获得了100户居民的月均用水数据（单位：t），制成如下频率分布表. 分组 频率 0.23 0.32 0.13 0.09 0.09 0.05 0.03 0.04 0.02 如果以居民月均用水量不超过的占，大于的占20%为标准，根据频率分布表估计，下列最接近的数是（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则求出分位数，即可判断. 【详解】由表格数据可知用水量在的频率为； 用水量在的频率为， 所以分位数位于，设， 则，解得， 所以，则选项中与最接近的为. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据利用两角和（差）的正弦公式展开，再分子、分母同除将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：B 5. 已知矩形的长为4，宽为3，将沿对角线翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接相交于点，根据为矩形得点为三棱锥的外接球的球心，求出半径可得答案. 【详解】连接相交于点，则点为的中点， 因为为矩形，所以， 所以点为三棱锥的外接球的球心， 则则三棱锥的外接球的体积为. 故选：A. 6. 已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前12项和（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出等比数列的公比，由此计算数列的通项公式，化简即可计算数列的前12项和. 【详解】设等比数列的公比为，则，，， ∵，，∴，解得或， ∵等比数列是递减数列，∴. ∵，∴，∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 7. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹是一条曲线，我们称该曲线为卡西尼卵形线.已知两定点，，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列结论不正确的是（ ） A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. C. 的面积大于2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】A项根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；B项结合曲线方程特征消元转化进行判断即可；D项根据方程特征求得P纵坐标的范围，C项结合三角形面积公式及的纵坐标的范围进行判断即可. 【详解】由题意可知的轨迹方程为：， 则关于轴对称的点的横、纵坐标满足 ， 同理关于轴对称的点，关于原点对称的点均满足轨迹方程， ， ， 即的轨迹关于轴、轴轴对称，关于原点中心对称，故A正确； 将轨迹方程平方得： ， 整理得， 解得， 所以，即，故B正确； 又因为，故，故D正确； 又，当且仅当时取得最大值，故C错误. 故选：C. 8. 已知集合，定义在上的函数满足：，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，通过赋值得到的奇偶性和单调性，解不等式可得结果. 【详解】令，得，故， 令，得，故， 令，得，即， 令，则定义域为，且，故为偶函数. ，且， 则， ∵，∴， ∵时，，∴，故， ∴，即， ∴在上为增函数，在上为减函数， 由得，，即， ∴，解得且，故不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过赋值法分析函数的奇偶性和单调性，不等式等价变形之后可求解集. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列为假命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】在正方体中，通过举反例可说明选项A、B、D错误；利用线面平行的性质可得选项B正确. 【详解】 A.平面平面，平面，平面，但，选项A错误. B.平面，平面，平面平面，但，选项B错误. C. ∵，∴存在，使得，∴， ∵，∴，∴，选项C正确. D.平面，平面，，但平面平面，选项D错误. 故选：ABD. 10. 设函数，则（ ） A. 的极大值为0 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数得出函数的单调性判断B，再根据极值计算判断A，根据函数单调性结合正弦值的范围判断C，根据函数单调性结合特殊值计算判断D. 【详解】因为函数，则， 所以当单调递减；当单调递增；当单调递增； 在上单调递增,在上单调递减,B选项错误； 的极大值为，A选项正确； 当时，则，所以，又因为当单调递减； 所以，C选项正确； 因为函数，所以， 又因为当单调递增；当单调递减； 所以可得或， 解集为，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（ ） A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为2 B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为 C. 若，则的渐近线方程为 D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意写出直线的方程，与渐近线方程联立求出点的坐标,对于A，由圆的性质得，结合向量数量积坐标运算求得间的等量关系，结合离心率定义求出离心率，；对于B，由三角函数求出，，结合双曲线定义求得的值，由此可求离心率，对于C，由知为线段的中点，求出点的坐标，代入双曲线方程求得的值，由此可求渐近线方程；对于D，由双曲线的定义及余弦定理的推论求出，由条件建立不等式可求的取值范围，再求的取值范围. 【详解】如图，连接， 由题意知直线的方程为，即， 直线与双曲线的渐近线平行， 所以， 则，， 联立方程，解得，即， 对于A，因为以为直径的圆经过点，则， 因为，， 所以， 解得，则的离心率，所以A正确； 对于B，因为以为直径的圆经过点， 则，则，， 所以由双曲线的定义知，可得， 所以的离心率，所以B不正确； 对于C，若，则为线段的中点，所以， 于是由在双曲线上，得，即， 解得，所以， 则的渐近线方程为，所以C正确； 对于D，因为，所以， 由余弦定理的推论得， 即， 解得，因为点不在圆外， 所以，即，解得， 所以的渐近线的斜率的绝对值不大于，所以D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： （1）求出，代入公式； （2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为关于的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为_________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 函数的零点个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由可得或，对于的零点个数，考虑将其转化成两函数，的交点个数,通过作图即得. 【详解】令，得或． 设，，在平面直角坐标系中先画出的图象， 保留轴上方的部分图象并把轴下方的图象向上翻折即得的图象， 再作出的图象，如图所示，由图可知两者共有3个交点. 综上所述，函数共有4个零点． 故答案为：4. 14. 如图，在平行四边形中，分别为的中点，为上一点，且，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】过点作于点，设，可得，结合图形借助平面向量的数量积运算、平面向量的线性运算即可得到答案. 【详解】 如图，连接，在平行四边形中，分别为的中点， 则三点共线，且为的中点，所以． 过点作于点，设， 由，， 得，则． 由分别为的中点， 则，，所以， 所以 ． 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为且满足. （1）求； （2）若的角平分线与交于点，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由二倍角公式计算可得； （2）利用得出边的关系，从而求，再由余弦定理求得的可得结论． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 即， 又，所以，， 所以，所以； 【小问2详解】 如图，由题意得，， 所以，即， 又，代入解得， 由余弦定理，可得，即， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，为等边三角形，. （1）求证：平面平面； （2）设为棱上一点，，四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 分析】（1）先证明，结合，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）由条件结合体积公式求得四棱锥四棱锥的高为，建立空间直角坐标系求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 因为，且，，又， 所以，所以，又 所以，所以，， 所以， 因为为正三角形，所以． 在中，， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为，所以，设点到平面的距离为， 则， 解得， 如图，取的中点，连接， 则，且， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，所以， 因为平面，所以， 因为，所以， 又因为， 所以为等边三角形， 所以，且. 故可以为原点所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 又 ， 即， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 故为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则即， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若，，求整数的最大值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分，讨论的正负区间，进而求得函数的单调区间； （2）化简不等式，构造函数，利用导数讨论的单调性，求出，由得构造函数，讨论其单调性，可求得整数的最大值． 【小问1详解】 函数的定义域为，又， 则当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 依题知，恒成立， 即恒成立， 化简为恒成立． 设， 则， 当时，恒成立， 故在上单调递增，因为，所以不符合题意； 当时，又因为，由，得， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 只需即可， 整理得． 设，， 则恒成立，所以在上单调递增， 又，且，因，所以，则， 所以， 所以在上存在唯一零点，当时，当时， 因为，所以， 所以整数的最大值为． 【点睛】关键点点睛：第（1）问，是利用导数研究的单调性时，由于含有参数，需要根据参数的范围分类讨论；第（2）问，是化简不等式后，构造函数，利用导数法讨论函数的单调性和最值，找出需要满足的条件为，再利用导数探讨的可取值． 18. 已知为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，当线段的长为6时，弦的中点到轴的距离是2. （1）求的方程； （2）已知为上一点，的准线交轴于点. ①若位于第一象限，且，求证：与相切； ②若异于坐标原点，是的内心，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的值即可得到结果. （2）①根据条件可求出直线的方程为，与抛物线方程联立利用判别式等于0可证明结论； ②利用内心的性质找到面积之间的关系，表示出的面积，利用函数求导分析单调性可求出最大值. 【小问1详解】 设，则弦的中点坐标为， 由题意得，，，∴， ∴的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）得，准线方程为，. 过点作准线的垂线，垂足为，则， 由得，，故为等腰直角三角形， ∴，即直线的斜率为，故直线的方程为， 由得，由得与相切. ②不妨设点在第一象限，设，则，，，，. 设内切圆的半径为，则点到三边的距离均为， ∴， ∴， ∴， 设，则， 记，则， ∴在上增函数， 由得，， ∴当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， ∴，此时面积有最大值，最大值为. 【点睛】方法点睛：对于与三角形内心相关的面积问题，可以利用等面积法，得到不同部分面积之间的关系求解即可，当处理的式子比较复杂时，可以构造函数求解. 19. 近年来，数学标准化测试中出现了一种新题型：多项选择题.该类型题目是在A，B，C，D这4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得6分，部分选对得部分分（有两个选项正确的每个正确选项得3分，有三个选项正确的，每个正确选项得2分），有选错的得0分. （1）某考生有一道正确答案为ABC的多项选择题不会做，他给出的答案可以只含一个选项，只含两个选项或只含三个选项，记该考生本题得分为，求的分布列和数学期望； （2）若某次测试共道多项选择题，已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.记事件为正确选项有个，第（且）题正确选项为个的概率为.正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为，若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为. ①证明：为等比数列，并求出； ②若第题只选择B，C两个选项，设表示第题的得分，证明：. 【答案】（1）分布列见解析，期望为； （2）①证明见解析，；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先分析各个得分的样本点，再计算相关分布列和期望即可； （2）①构造得，再求出首项即可证明并求出； ②分析得的取值为0，4，6，再求出其分布列和期望值，最后作差判断其单调性即可. 【小问1详解】 该考生可能的选项有：A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，共14个样本点， 故考生得0分包含的样本点有D，AD，BD，CD，ABD，ACD，BCD，共7个； 得2分包含的样本点有A，B，C，共3个； 得4分包含的样本点有AB，AC，BC共3个； 得6分包含的样本点有ABC， 所以， 故的分布列为 所以． 【小问2详解】 ①由题意知， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，以为公比的等比数列． 所以，所以． ②由①知， 由题意知的取值为0，4，6， 所以， ， ， 所以， 因为，所以，因为， 所以数列单调递增， 所以，所以． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问的关键是构造出即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的非空子集的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 2. 已知（其中为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 3. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，即确定一户居民月均用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.通过抽样获得了100户居民的月均用水数据（单位：t），制成如下频率分布表. 分组 频率 0.23 0.32 0.13 0.09 0.09 0.05 0.03 0.04 0.02 如果以居民月均用水量不超过的占，大于的占20%为标准，根据频率分布表估计，下列最接近的数是（ ） A 15 B. 14 C. 13 D. 12 4. 已知，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 已知矩形长为4，宽为3，将沿对角线翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前12项和（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 27 7. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹是一条曲线，我们称该曲线为卡西尼卵形线.已知两定点，，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列结论不正确的是（ ） A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. C. 的面积大于2 D. 8. 已知集合，定义在上的函数满足：，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列为假命题的是（ ） A 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 设函数，则（ ） A. 的极大值为0 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 的解集为 11. 已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（ ） A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为2 B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为 C. 若，则的渐近线方程为 D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为_________.（用数字作答） 13. 函数的零点个数为______． 14. 如图，在平行四边形中，分别为的中点，为上一点，且，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为且满足. （1）求； （2）若的角平分线与交于点，，，求. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，为等边三角形，. （1）求证：平面平面； （2）设为棱上一点，，四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若，，求整数的最大值. 18. 已知为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，当线段的长为6时，弦的中点到轴的距离是2. （1）求的方程； （2）已知为上一点，的准线交轴于点. ①若位于第一象限，且，求证：与相切； ②若异于坐标原点，是的内心，求面积的最大值. 19. 近年来，数学标准化测试中出现了一种新题型：多项选择题.该类型题目是在A，B，C，D这4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对得6分，部分选对得部分分（有两个选项正确的每个正确选项得3分，有三个选项正确的，每个正确选项得2分），有选错的得0分. （1）某考生有一道正确答案为ABC的多项选择题不会做，他给出的答案可以只含一个选项，只含两个选项或只含三个选项，记该考生本题得分为，求的分布列和数学期望； （2）若某次测试共道多项选择题，已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.记事件为正确选项有个，第（且）题正确选项为个的概率为.正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为，若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为. ①证明：为等比数列，并求出； ②若第题只选择B，C两个选项，设表示第题的得分，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$