第十讲 圆的认识及圆周长的应用(知识点＋经典讲练)-2024-2025学年五年级数学下册学习讲义（苏教版）

第十讲 圆的认识及圆周长的应用 【知识梳理】 知识点一：圆的认识和画圆 1、圆是由一条曲线围成的平面图形。 2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。 3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。（d=2r, r=d÷2） 5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。 6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。 知识点二：在长方形和正方形中画最大圆 1、正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径 画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 2、长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径 画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 知识点三：圆的周长 1、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。 2、用字母π（读pài）表示。π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653……；我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 3、如果用C表示圆的周长，那么C＝πd或C = 2πr 4、求圆的半径或直径的方法：d = C圆÷π r= C圆÷ π÷2 5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。　C半圆= πr＋2r C半圆= πd÷2＋d 经典讲练1：圆的认识 例1、画一个直径是5厘米的圆，并用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径。 例2、             圆的直径是( )   半圆形的直径是( )   扇形的半径是( ) 练习： 1、（1）指出下边圆里的线段哪一条是直径。 （2）量一量这几条线段的长度，你发现了什么？ （3）互相说说为什么可以用下面的方法测量圆的直径。 2、填表格。 经典讲练2：扇形的认识 例1、下面各圆中的涂色部分，哪些是扇形？为什么？ 例2、下面扇形的圆心角各是什么角，分别是多少度？ 练习： 1、每个圆里的涂色部分和空白部分都可以看作什么图形？这些图形各占圆的几分之几？ 2、下面各角中，哪些是圆心角？在括号里画“√”。 经典讲练3：画圆 例1、下边正方形的边长是40毫米，以正方形对角线的交点O为圆心，在正方形内画一个圆。 （1）在小组里比一比谁画的圆大。 （2）如果要在正方形内画一个最大的圆，圆的半径应是多少毫米？你能试着画一画吗？ 例2、每个小方格的边长表示10米。 （1）沿格线画出从猴山到孔雀园的路线，猴山到孔雀园的路程是（  ）米。 （2）在平面图上，以猴山的位置为圆心画一个直径20米的圆。 练习： 1、（1）用数对表示每个圆圆心的位置。 （2）要让圆移到圆的位置，可以先向（  ）平移（  ）格，再向（  ）平移（  ）格。 （3）把圆先向左平移9格，再向上平移2格，画出平移后的图形，并标出圆心 2、在方格纸中根据要求完成操作。（每小格的边长表示1厘米） （1）把圆向右平移4格，画出平移后的图形，并用数对标出新圆心的位置。 （2）把三角形绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）画出一个面积是12平方厘米的平行四边形。 经典讲练4：圆的对称轴 例1、正方形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴，半圆有( )条对称轴。 例2、画出每组图形的对称轴。想一想，各能画几条？ 练习：下面的图形各能画出几条对称轴？画一画，填一填。 （  ）条  （  ）条   （   ）条  （  ）条 经典讲练5：圆的周长 例1、计算下面各圆的周长。 例2、下图中的圆从点A开始，沿着直尺向右滚动一周，到达点B。 （1）这个圆的半径是（    ）厘米，周长是（    ）厘米。 （2）请在直尺上标出点B的大概位置，并画出滚动后的圆。 例3、如下图，圆的周长是62.8厘米。正方形的周长是多少？ 例4、张爷爷每天早上都要围绕体育场的跑道（如图）慢跑5圈。张爷爷每天慢跑多少米？ 例5、用绳子将2个相同的酒瓶如下图所示捆1圈，酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要13厘米的绳子。这根绳子大约需要多长？ 练习： 1、计算下面各圆的周长。         2、王老师响应“低碳生活，绿色出行”号召，每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是60厘米，平均每分行90圈（自行车车身长度忽略不计）。要通过一座1017.36米的桥，需要多少分？ 3、一个圆形花圃的直径是25米。沿着它的边线大约每隔0.5米种一棵杜鹃花，一共要种多少棵杜鹃花？ 4、一台压路机的前轮半径是0.5米，如果前轮每分转动8周，20分可以从路的一端转到另一端，这条路约长多少米？ 5、如图，把四个直径是8厘米的瓶子用包装绳捆一圈扎在一起。如果接头处用了20厘米长的包装绳，一共需要多少厘米长的包装绳？ 经典讲练6：大小圆的周长比较 例1、先计算下面每个图形中大圆的周长，再计算每个图形中小圆周长的和，比一比，看有什么发现。 我的发现：__________________。 例2、小明和小强同时以相同的速度从A处走向B处，小明按线路①走，小强按线路②走，谁先到达B处？为什么？ 练习：学习圆的周长后，同学们用直径为10厘米的半圆和其它较小的半圆设计了一些新图形，并对这些新图形的周长进行了探究。 (1)军军设计的新图形如下。 你同意军军的说法吗？ 我( )军军的说法。（填“同意”或“不同意”） 我的理由： （可以算一算，或用文字说明）。 (2)同学们还设计出了以下三个新图形。请你判断：这三个新图形的周长分别与直径为10厘米的圆的周长相等吗？若相等，在括号里画“√”；若不相等，在括号里画“×”。 ( )     ( )      ( ) (3)一只蚂蚁从点A到点B，沿甲路线和乙路线爬行都可以到达。如果蚂蚁全程速度不变，沿甲路线所需的时间( )沿乙路线所需的时间。（填“大于”“小于”或“等于”） 巩固提优 1、世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的数学家是（    ）。 A．刘徽 B．祖冲之 C．欧几里得 D．阿基米德 2、一个圆形花圃的直径是60米，沿着它的边缘每隔2米栽一棵黄杨，一共大约要栽( )棵。 3、如下图，甲、乙两部分的周长相比，（     ）。 A．甲部分的大 B．乙部分的大 C．一样大 4、甲、乙两只蚂蚁以同样的速度，同时从点A出发，甲蚂蚁沿着正方形走，乙蚂蚁沿着圆形走，（    ）回到起点。 A．甲先 B．乙先 C．同时 5、一昼夜，钟表的分针转了( )圈；如果时针长5厘米，那么它转一圈，尖端走过( )厘米。 6、填表。 7、如图，把一个直径2厘米的圆分成若干等份后拼成了一个近似的长方形，这个近似长方形的周长是 厘米。 8、计算下面两个图形的周长，它们的周长相等吗？ 9、看图回答问题。 （1）图中圆心O1的位置是（  ），圆心O2的位置是（  ）。 （2）要把圆心为O1的圆移到圆心为O2的圆的位置上，可以先向（ ）平移（ ）格，再向（ ）平移（ ）格。 （3）把圆心为O3的圆先向下平移4格，再向左平移7格，画出平移后的图形，并标出圆心。 10、按要求画一画、填一填。（每个小方格的边长都是1cm） （1）以（4，3）为圆心O，在图中画一个半径为3厘米的圆。 （2）画出这个圆的一条直径，使它通过点（2，3）。 （3）这个圆的周长是（    ）厘米。 （4）在这个圆中画出一个扇形，使扇形面积（涂上阴影）正好是圆面积的。 11、儿童乐园要在水族馆和猴园之间建一个周长为9.42米的圆形拱门。如果圆形拱门的高度为2.8米才符合标准，这个圆门符合标准吗？为什么？ 12、杂技演员在一根悬空的钢丝上骑独轮车，车轮的外直径是45厘米。从钢丝的一端到另一端，车轮正好滚动40圈。这根悬空的钢丝至少长多少米？ 13、春苗班的劳动基地是一块直径8米的圆形菜地，同学们想在菜地周围铺一条宽1米的环形石子路，石子路的周长是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十讲 圆的认识及圆周长的应用 【知识梳理】 知识点一：圆的认识和画圆 1、圆是由一条曲线围成的平面图形。 2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。 3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。（d=2r, r=d÷2） 5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。 6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。 知识点二：在长方形和正方形中画最大圆 1、正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径 画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 2、长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径 画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 知识点三：圆的周长 1、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。 2、用字母π（读pài）表示。π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653……；我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 3、如果用C表示圆的周长，那么C＝πd或C = 2πr 4、求圆的半径或直径的方法：d = C圆÷π r= C圆÷ π÷2 5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。　C半圆= πr＋2r C半圆= πd÷2＋d 经典讲练1：圆的认识 例1、画一个直径是5厘米的圆，并用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径。 答案： 例2、            圆的直径是( )    半圆形的直径是( )    扇形的半径是( ) 【答案】 6 8 10 【分析】第一个图形，圆的直径等于正方形的边长；第二个图形，半圆的半径等于长方形的宽，直径＝半径×2，据此求出直径；第三个图形，扇形的半径等于正方形的边长，据此解答。 练习： 1、（1）指出下边圆里的线段哪一条是直径。 （2）量一量这几条线段的长度，你发现了什么？ （3）互相说说为什么可以用下面的方法测量圆的直径。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【分析】（1）直径是经过圆心，且两端都在圆上；据此解答； （2）测量出几条线段的长度，说出发现； （3）根据直径的特征，左图是通过量线段长度；右图就是通过把直径平移，据此解答。 【详解】（1）经过圆心的线段是直径。 （2）这几条线段分别是1.8厘米，2.3厘米，2.5厘米（过圆心），2.4厘米； 我发现圆内最长的线段是直径。（3）左图是通过量线段长度，找圆内最长的线段；右图就是把直径平移到直尺上来测量圆的直径。 2、填表格。 答案： 经典讲练2：扇形的认识 例1、下面各圆中的涂色部分，哪些是扇形？为什么？ 【答案】见详解 【分析】扇形是圆的两条半径与其夹的弧所围成的图形是扇形。第二个扇形的顶点在圆弧上，不在圆心上；第三个扇形的顶点在圆内，也不在圆心上。 【详解】第一个，第四个为扇形，因为扇形是圆的两条半径与其夹的弧所围成的图形是扇形。 例2、下面扇形的圆心角各是什么角，分别是多少度？ 【答案】直角；90°；平角；180°；钝角；120° 【详解】图一是将整个圆的圆心角平均分成4份，360°÷4＝90°，因此这个扇形的圆心角是直角，是90°；图二是将整个圆的圆心角平均分成2份，360°÷2＝180°，因此这个扇形的圆心角是平角，是180°； 图三是将整个圆的圆心角平均分成6份，360°÷6＝60°，60°×2＝120°，因此这个扇形的圆心角是钝角，是120°。 练习： 1、每个圆里的涂色部分和空白部分都可以看作什么图形？这些图形各占圆的几分之几？ 【答案】扇形；见详解 【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。 第一个图，把圆看作单位“1”，平均分成3份，涂色部分占其中的1份，用分数表示；空白部分占其中的2份，用分数表示； 第二个图，把圆看作单位“1”，平均分成5份，涂色部分占其中的3份，用分数表示；空白部分占其中的2份，用分数表示； 第三个图，把圆看作单位“1”，平均分成8份，涂色部分占其中的5份，用分数表示；空白部分占其中的3份，用分数表示。 2、下面各角中，哪些是圆心角？在括号里画“√”。 【答案】见详解 【分析】顶点在圆心上的角叫做圆心角，据此分析。 【详解】据分析可知，第一幅是圆心角。 的顶点在圆心； 的顶点不在圆心；的顶点不在圆心； 的顶点不在圆心；（√） 经典讲练3：画圆 例1、下边正方形的边长是40毫米，以正方形对角线的交点O为圆心，在正方形内画一个圆。 （1）在小组里比一比谁画的圆大。 （2）如果要在正方形内画一个最大的圆，圆的半径应是多少毫米？你能试着画一画吗？ 【答案】（1）小组内操作； （2）见详解 【分析】在正方形内画一个最大的圆，就是以点O为圆心，以正方形的边长长度为直径。所以圆的直径是40毫米，根据公式半径＝直径÷2即可。 【详解】40÷2＝20（毫米） 例2、每个小方格的边长表示10米。 （1）沿格线画出从猴山到孔雀园的路线，猴山到孔雀园的路程是（    ）米。 （2）在平面图上，以猴山的位置为圆心画一个直径20米的圆。 【答案】（1）路线见详解；100米；（2）见详解 【分析】（1）沿格线画出从猴山到孔雀园的路线，从猴山向东走5格，再向北走5格到达孔雀园，或从猴山向北走5格，再向东走5格到达孔雀园，则总共移动10个格子，每个小方格的边长表示10米，用10米乘移动的格数就是猴山到孔雀园的路程。 （2）以猴山的位置为圆心画一个直径20米的圆，直径为20米，则半径为10米，因为每个小方格的边长表示10米，所以在图上，半径为1个格子，根据圆心和半径画圆即可。 【详解】（1）10×（5＋5）＝100（米） 则沿格线画出从猴山到孔雀园的路线见下图，猴山到孔雀园的路程是100米。 （2）半径：20÷2＝10（米） 画图如下： 练习： 1、 （1）用数对表示每个圆圆心的位置。 （2）要让圆移到圆的位置，可以先向（   ）平移（   ）格，再向（   ）平移（   ）格。 （3）把圆先向左平移9格，再向上平移2格，画出平移后的图形，并标出圆心 【答案】（1）（6，4）；（9，2）；（12，3） （2）右；3；下；2 （3）作图见详解 圆心 【分析】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 （2）决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。 （3）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。 画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 圆心决定圆的半径。 【详解】（1）（6，4）；（9，2）；（12，3） （2）要让圆移到圆的位置，可以先向右平移3格，再向下平移2格。或先向下平移2格，再向右平移3格。 （3）圆的位置与圆心有关。 2、在方格纸中根据要求完成操作。（每小格的边长表示1厘米） （1）把圆向右平移4格，画出平移后的图形，并用数对标出新圆心的位置。 （2）把三角形绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）画出一个面积是12平方厘米的平行四边形。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【分析】（1）根据平移的特征，把这个圆的圆心向右平移4格，再以半径长为2格画圆即可；根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可用数对表示出平移后的圆心的位置； （2）根据旋转图形的特征，这个三角形绕点A顺时针旋转90°后，点A的位置不动，其余各部分均绕点A按相同的方向旋转相同的度数； （3）根据平行四边形的面积＝底×高，只要画出的平行四边形底是4格（或3格），高是3格（或4格）即可（不唯一）。 据此解答即可。 【详解】（1）（2）（3）如下图所示： （平行四边形不唯一） 经典讲练4：圆的对称轴 例1、正方形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴，半圆有( )条对称轴。 【答案】 4 无数 1 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。据此根据平面图形的特点确定对称轴的数量。 【详解】根据分析，作图如下： 正方形有4条条对称轴，圆有无数条对称轴，半圆有1条对称轴。 例2、画出每组图形的对称轴。想一想，各能画几条？ 【答案】图见详解；4条；2条；3条 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图： 练习：下面的图形各能画出几条对称轴？画一画，填一填。 （    ）条       （    ）条         （    ）条        （    ）条 【答案】图见详解；3；4；6；无数 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图： 经典讲练5：圆的周长 例1、计算下面各圆的周长。 【答案】31.4cm；12.56m；18.84dm 【分析】（1）已知圆的直径是10cm，根据圆的周长公式，代入数据计算。 （2）已知圆的半径是2m，根据圆的周长公式，代入数据计算。 （3）已知圆的半径是3dm，根据圆的周长公式，代入数据计算。 【详解】（1）（cm）（2）（m） （3）（dm） 例2、下图中的圆从点A开始，沿着直尺向右滚动一周，到达点B。 （1）这个圆的半径是（    ）厘米，周长是（    ）厘米。 （2）请在直尺上标出点B的大概位置，并画出滚动后的圆。 【答案】（1）1；6.28 （2）图见详解 【分析】（1）由该图可知圆的直径是3－1＝2厘米，根据直径＝半径×2，用直径÷2，即可求出半径；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出圆的周长； （2）沿着直尺向右滚动一周，即滚动的距离是圆一周的长度，用圆的周长＋2厘米，即可求出B的位置，画出圆即可。 【详解】（1）（3－1）÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3.14×2＝6.28（厘米） 这个圆的半径是1厘米，周长是6.28厘米。 （2）6.28＋2＝8.28（厘米） 如图： 例3、如下图，圆的周长是62.8厘米。正方形的周长是多少？ 【答案】80厘米 【分析】如图所示，圆的直径是正方形的边长，先根据d＝C÷π求出圆的直径，再根据C＝4a计算正方形的周长。 【详解】 （厘米） 例4、张爷爷每天早上都要围绕体育场的跑道（如图）慢跑5圈。张爷爷每天慢跑多少米？ 【答案】1228米 【分析】由图可知，跑道的周长＝圆的周长＋长方形的长×2，“”把图中数据代入公式求出跑道的周长，再乘张爷爷跑的圈数，即可求得。 【详解】40×3.14＋60×2＝245.6（米） 245.6×5＝1228（米） 例5、用绳子将2个相同的酒瓶如下图所示捆1圈，酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要13厘米的绳子。这根绳子大约需要多长？ 【答案】43.84厘米 【分析】通过下图的观察可知，这根绳子的长度等于直径是6厘米的圆的周长加上直径的2倍，再加上打结用的13厘米。根据圆的周长公式：，把数据代入公式解答。 【详解】 （厘米） 练习： 1、计算下面各圆的周长。         【答案】25.12分米；18.84米；11.304分米 【分析】（1）根据圆的周长公式，代入数据计算即可。 （2）（3）根据圆的周长公式，代入数据计算即可。 【详解】（1） （分米） （2）（米） （3）（分米） 2、王老师响应“低碳生活，绿色出行”号召，每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是60厘米，平均每分行90圈（自行车车身长度忽略不计）。要通过一座1017.36米的桥，需要多少分？ 【答案】6分 【分析】利用圆的周长＝3.14×直径，结合题中数据计算出自行车轮胎的周长，再乘90，求出每分钟骑行路程。然后利用时间＝路程÷速度，计算通过一座1017.36米的桥，需要多少分。 【详解】3.14×60×90＝16956（厘米） 16956厘米＝169.56米 1017.36÷169.56＝6（分） 3、一个圆形花圃的直径是25米。沿着它的边线大约每隔0.5米种一棵杜鹃花，一共要种多少棵杜鹃花？ 【答案】157棵 【分析】圆形花圃的边线就是圆的周长，根据圆的周长公式，代入数据计算得到圆的周长，再计算周长里有几个0.5，用除法计算，有几个0.5就有几棵杜鹃花。 【详解】 （棵） 4、一台压路机的前轮半径是0.5米，如果前轮每分转动8周，20分可以从路的一端转到另一端，这条路约长多少米？ 【答案】502.4米 【分析】前轮是圆形的，根据圆周长＝2πr列式求出前轮的周长，再将周长乘8，求出每分钟前轮压过的路程。速度×时间＝路程，将前轮每分钟压过的路程乘20，即可求出20分钟的路程，即这条路约长多少米。 【详解】2×3.14×0.5×8×20 ＝3.14×8×20 ＝25.12×20 ＝502.4（米） 5、如图，把四个直径是8厘米的瓶子用包装绳捆一圈扎在一起。如果接头处用了20厘米长的包装绳，一共需要多少厘米长的包装绳？ 【答案】77.12厘米 【分析】根据图示可知，包装绳的绳长等于4个瓶子直径的长度和加上一个圆的周长最后加上接头处的20厘米长即可，结合圆的周长公式：，代入数据，计算即可。 【详解】4×8＋3.14×8＋20＝77.12（厘米） 经典讲练6：大小圆的周长比较 例1、先计算下面每个图形中大圆的周长，再计算每个图形中小圆周长的和，比一比，看有什么发现。 我的发现：__________________。 【答案】几个小圆的直径之和组成的大圆的周长就等于这几个小圆的周长之和。 【分析】观察可知，每个图形中小圆直径的和都等于大圆的直径，根据圆的周长公式，代入数据分别求出每个图形中的大圆的周长以及大圆中的小圆的周长之和，再比较即可解答问题。 【详解】（1）（cm） （cm） （2）（cm）（cm） （3）（cm） （cm） （4）（cm） （cm） 通过计算，我发现几个小圆的直径之和组成的大圆的周长就等于这几个小圆的周长之和。 例2、小明和小强同时以相同的速度从A处走向B处，小明按线路①走，小强按线路②走，谁先到达B处？为什么？ 【答案】同时到达B处；因为线路①和线路②的路程相等 【分析】 圆周长＝2πr＝πd，线路①的长度是半径为20米的圆周长的一半，线路②的长度是直径为20米圆周长的一半，加上一个直径是10米圆的周长。据此求出两条线路的路程，再比较谁先到达终点即可。 【详解】线路①：2×3.14×20÷2＝62.8（米） 线路②：3.14×20÷2＋3.14×10 ＝31.4＋31.4 ＝62.8（米） 62.8米＝62.8米 练习：学习圆的周长后，同学们用直径为10厘米的半圆和其它较小的半圆设计了一些新图形，并对这些新图形的周长进行了探究。 (1)军军设计的新图形如下。 你同意军军的说法吗？ 我( )军军的说法。（填“同意”或“不同意”） 我的理由： （可以算一算，或用文字说明）。 (2)同学们还设计出了以下三个新图形。请你判断：这三个新图形的周长分别与直径为10厘米的圆的周长相等吗？若相等，在括号里画“√”；若不相等，在括号里画“×”。 ( )                  ( )                  ( ) (3)一只蚂蚁从点A到点B，沿甲路线和乙路线爬行都可以到达。如果蚂蚁全程速度不变，沿甲路线所需的时间( )沿乙路线所需的时间。（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】(1) 同意 算出来的周长相等 (2) √ √ √ (3)等于 【分析】（1）根据圆的周长公式C＝πd，求出直径为10厘米圆的周长；军军设计的新图形的周长＝半径为5厘米的圆周长的一半＋2个直径为5厘米的圆周长的一半，根据圆的周长公式C＝πd、C＝2πr，代入数据计算求出新图形的周长；再与直径为10厘米圆的周长进行比较，得出结论，写出理由。 （2）分别计算出三个新图形的周长，再与直径为10厘米圆的周长进行比较，得出结论。 （3）结合前两题可知，蚂蚁从点A到点B，沿甲路线和乙路线爬行的距离相等，且蚂蚁全程速度不变，根据“时间＝路程÷速度”，所以沿两条路线所需的时间相等。 【详解】（1）直径为10厘米圆的周长：3.14×10＝31.4（厘米） 新图形的周长： 2×3.14×5÷2＋3.14×5÷2×2 ＝31.4÷2＋15.7÷2×2 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（厘米） 新图形周长与直径为10厘米的圆的周长是相等的。 我同意军军的说法。 我的理由：算出来的周长相等。（答案不唯一） （2）3.14×（3＋4＋3）÷2＋3.14×3÷2＋3.14×4÷2＋3.14×3÷2 ＝3.14×10÷2＋9.42÷2＋12.56÷2＋9.42÷2 ＝15.7＋4.71＋6.28＋4.71 ＝31.4（厘米） 3.14×（2＋8）÷2＋3.14×2÷2＋3.14×8÷2 ＝3.14×10÷2＋6.28÷2＋25.12÷2 ＝15.7＋3.14＋12.56 ＝31.4（厘米） 3.14×（2＋3＋5）÷2＋3.14×2÷2＋3.14×3÷2＋3.14×5÷2 ＝3.14×10÷2＋6.28÷2＋9.42÷2＋15.7÷2 ＝15.7＋3.14＋4.71＋7.85 ＝31.4（厘米） 这三个新图形的周长分别与直径为10厘米的圆的周长相等。 （3）因为甲路线半圆的直径等于乙路线4个小半圆的直径之和，那么甲路线的长度与乙路线的长度相等，因为蚂蚁全程速度不变，所以沿甲路线所需的时间等于沿乙路线所需的时间。 巩固提优 1、世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的数学家是（    ）。 A．刘徽 B．祖冲之 C．欧几里得 D．阿基米德 【答案】B 【分析】圆周率：圆周率是圆的周长与直径的比值，通常用希腊字母“π”表示。它是一个无限不循环小数，约等于3.1415926535......。 【详解】A．刘徽是中国古代杰出的数学家，但不是第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的数学家。 B．祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的数学家。 C．欧几里得是古希腊著名的数学家，以其所著的《几何原本》闻名，但与把圆周率的值精确到小数点后7位无关。 D．阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家，但不是第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的数学家。 故答案为：B 2、一个圆形花圃的直径是60米，沿着它的边缘每隔2米栽一棵黄杨，一共大约要栽( )棵。 【答案】94 【分析】先根据求出这个圆形花圃的周长，在封闭图形上面植树间隔数等于棵数，再根据“间隔数＝总长÷间距”求出需要栽黄杨的棵数，据此解答。 【详解】60×3.14＝188.4（米） 188.4÷2≈94（棵） 3、如下图，甲、乙两部分的周长相比，（     ）。 A．甲部分的大 B．乙部分的大 C．一样大 【答案】C 【分析】根据正方形的4条边都相等的特点，及观察可知，甲乙共用一条弧线，因此甲、乙的周长都等于正方形的两条边长加圆的周长，据此解答。 【详解】据分析可知，甲、乙的周长都等于正方形的两条边长加圆的周长，即甲、乙两部分的周长一样长。 故答案为：C 4、甲、乙两只蚂蚁以同样的速度，同时从点A出发，甲蚂蚁沿着正方形走，乙蚂蚁沿着圆形走，（    ）回到起点。 A．甲先 B．乙先 C．同时 【答案】B 【分析】设正方形的边长是1，从图中可知：正方形的边长＝圆的直径，根据正方形的周长＝边长×4，圆的周长：C＝πd，分别代入数据计算，再判断即可。 【详解】设正方形的边长是1。 甲：1×4＝4 乙：1×3.14＝3.14 4＞3.14 乙先回到起点。 故答案为：B 5、一昼夜，钟表的分针转了( )圈；如果时针长5厘米，那么它转一圈，尖端走过( )厘米。 【答案】 24 31.4 【分析】根据题意可知，一昼夜是一天的意思，一天24小时，分针每转一圈表示1个小时，所以一昼夜，分钟转了24圈；时针转一圈尖端走过距离就是半径是5厘米的周长，结合圆的周长公式：，代入数据计算即可。 【详解】2×5×3.14＝31.4（厘米） 所以一昼夜，钟表的分针转了24圈；如果时针长5厘米，那么它转一圈，尖端走过31.4厘米。 6、填表。 【答案】0.5分米；1.5厘米；3米；12米；3厘米；6米；37.68米；3.14分米 【分析】根据圆的周长＝半径×2×π；半径＝周长÷2÷π；直径＝半径×2；半径＝周长÷2计算即可。 7、如图，把一个直径2厘米的圆分成若干等份后拼成了一个近似的长方形，这个近似长方形的周长是 厘米。 【答案】8.28 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆剪拼成一个近似长方形，拼成的长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度（也就是一条直径的长度），根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出圆的周长，进而求出长方形的周长。 【详解】3.14×2＋2＝8.28（厘米） 这个近似长方形的周长是8.28厘米。 8、计算下面两个图形的周长，它们的周长相等吗？ 【答案】18.28分米；18.28分米；周长相等 【分析】左边图形：周长＝边长是4分米的正方形的3条边的和与直径是4分米圆的周长一半的和；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 右边图形：周长＝边长是4分米的正方形的3条边的和与直径是4分米圆的周长一半的和；代入数据，求出周长，再进行比较，进而解答。 【详解】左边图：4×3＋3.14×4÷2＝18.28（分米） 右边图：4×3＋3.14×4÷2＝18.28（分米） 18.28＝18.28，它们的周长相等。 周长是18.28分米，18.28分米；它们的周长相等。 9、看图回答问题。 （1）图中圆心O1的位置是（    ），圆心O2的位置是（    ）。 （2）要把圆心为O1的圆移到圆心为O2的圆的位置上，可以先向（    ）平移（    ）格，再向（    ）平移（    ）格。 （3）把圆心为O3的圆先向下平移4格，再向左平移7格，画出平移后的图形，并标出圆心。 【答案】（1）（1，4）；（5，2） （2）右；4；下；2 （3）见详解 【分析】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示圆心O1、圆心O2的位置。 （2）在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的运动叫做图形的平移。 （3）根据平移的特征，把圆心O3先向下平移4格，再向左平移7格，即是平移后圆心O4的位置，然后以半径为1格画圆，即是平移后的圆。 【详解】（1）图中圆心O1的位置是（1，4），圆心O2的位置是（5，2）。 （2）要把圆心为O1的圆移到圆心为O2的圆的位置上，可以先向右平移4格，再向下平移2格（或可以先向下平移2格，再向右平移4格）。 （3）平移后的圆见下图，圆心为O4。 10、按要求画一画、填一填。（每个小方格的边长都是1cm） （1）以（4，3）为圆心O，在图中画一个半径为3厘米的圆。 （2）画出这个圆的一条直径，使它通过点（2，3）。 （3）这个圆的周长是（    ）厘米。 （4）在这个圆中画出一个扇形，使扇形面积（涂上阴影）正好是圆面积的。 【答案】（1）（2）（4）见详解（扇形答案不唯一） （3）18.84 【分析】（1）数对（4，3）表示第4列第3行，据此找出点O的位置，再根据圆的半径即可画出圆。 （2）点（2，3）表示第2列第3行，据此找出这个点，通过这个点和圆心画出圆的一条直径。 （3）已知圆的半径是3厘米，根据圆的周长＝2πr即可解答。 （4）要使扇形面积（涂上阴影）正好是圆面积的，则扇形的圆心角是360°÷4＝90°，据此画出扇形。 【详解】（1）（2）（4）画图如下： （3）3×2×3.14＝18.84（厘米），则这个圆的周长是18.84厘米。 11、儿童乐园要在水族馆和猴园之间建一个周长为9.42米的圆形拱门。如果圆形拱门的高度为2.8米才符合标准，这个圆门符合标准吗？为什么？ 【答案】不符合；高不是2.8米 【分析】已知圆形拱门的周长为9.42米，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出圆形拱门的直径；再用直径与2.8米进行比较，如果相等，则这个圆门符合标准；如果不相等，则不符合标准。 【详解】9.42÷3.14＝3（米） 3＞2.8 答：这个圆门不符合标准，因为高不是2.8米。 12、杂技演员在一根悬空的钢丝上骑独轮车，车轮的外直径是45厘米。从钢丝的一端到另一端，车轮正好滚动40圈。这根悬空的钢丝至少长多少米？ 【答案】56.52米 【分析】车轮转过的路径就是钢丝绳的长度，车轮是圆形，车轮转1圈就是圆的周长，圆的周长＝πd，40圈的长度就是用车轮的周长乘圈数，然后把单位厘米转化为米即可。 【详解】3.14×45＝141.3（厘米） 141.3×40＝5652（厘米）＝56.52（米） 13、春苗班的劳动基地是一块直径8米的圆形菜地，同学们想在菜地周围铺一条宽1米的环形石子路，石子路的周长是多少？ 【答案】56.52米 【分析】根据题意可知，石子路是一个圆环，所以石子路的周长等于内圆的周长＋外圆的周长，即石子路的周长等于直径是8米的圆的周长，再加上直径等于（8＋1×2）米的圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×8＋3.14×（8＋1×2） ＝25.12＋3.14×（8＋2） ＝25.12＋3.14×10 ＝25.12＋31.4＝56.52（米） 学科网（北京）股份有限公司 $$