第十一讲 圆的面积应用(知识点＋经典讲练)-2024-2025学年五年级数学下册学习讲义（苏教版）

第十一讲 圆的面积应用【知识梳理】 知识点一：常用数计算 1、常用的3.14的倍数： 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 2、常用的平方数： 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 知识点二：圆的面积及公式推导 3、圆的面积公式：S圆=πr2。圆的面积是半径平方的π倍。 4、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面积相等（即S长方形＝S圆）； 长方形的宽是圆的半径（即b＝r）；长方形的长是圆周长的一半（即a＝=πr）。 即：S长方形＝ a×b S圆 ＝ πr × r ＝ πr2 知识点三：半圆和圆周长的一半 5、半圆的面积和周长。S半圆=πr²÷2 C半圆=+d 注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。C长方形＝2πr＋2r=C圆＋d 周长相等的平面图形中，圆的面积最大；面积相等的平面图形中，圆的周长最短。 经典讲练1：圆的面积推导 例1、在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( )cm2。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】(1) 周长的一半 半径 (2) 25.12 200.96 (3) 5 78.5 【分析】（1）把圆转化成长方形，面积不变。长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径。据此解答即可； （2）由（1）可知长方形的长等于圆周长的一半，根据圆的周长公式C＝，结果除以2就得这个长方形的长；再根据圆的面积公式S＝，把数据代入公式即可解答； （3）由图可知，圆的周长比长方形的周长少10cm，即少了2条半径的长度，用10除以2即可求得半径长度，再根据圆的面积公式S＝求得圆的面积。 【详解】（1）拼成的长方形的长相当于圆的周长的一半，宽相当于圆的半径。 （2）2×3.14×8×＝25.12（cm） 3.14×＝200.96（cm2）则这个长方形的长是25.12cm，面积是200.96cm2。 （3）10÷2＝5（cm） 3.14×5×5＝78.5（cm2）则圆的半径是5cm，面积是78.5cm2。 例2、下图是推导圆面积计算公式的一种方法，把一个草绳编织的圆形茶杯垫片沿半径剪开，打开后得到一个近似的三角形。 仔细观察：三角形的底相当于圆的( )，高相当于圆的( )。如果圆的半径为r，根据三角形的面积＝底×高÷2，可以推出圆的面积计算公式为S＝( )。 【答案】 周长 半径 πr2 【分析】根据题意，把一个草绳编织的圆形茶杯垫片沿半径剪开，打开后得到一个近似的三角形，那么圆的面积等于这个三角形的面积； 从图中可知，三角形的底相当于圆的周长2πr，高相当于圆的半径r；根据三角形的面积＝底×高÷2，据此把含有字母的式子代入三角形的面积公式中，推导出圆的面积公式。 【详解】圆的面积＝三角形的面积 三角形的面积＝底×高÷2 圆的面积＝2πr×r÷2＝πr2 仔细观察：三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径。如果圆的半径为r，根据三角形的面积＝底×高÷2，可以推出圆的面积计算公式为S＝πr2。 例3、画一个直径4厘米的圆，并用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径，再求出它的周长和面积。 【答案】图见详解；周长12.56厘米；面积12.56平方厘米 【分析】要画一个直径4厘米的圆，则半径是2厘米；用圆规画圆，有针的一脚不动，确定圆心的位置；圆规两脚间的距离等于2厘米，有笔头的一脚旋转一周，即可画出直径是4厘米的圆，并在用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径。 根据圆的周长公式C＝πd，求出它的周长； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出它的面积。 【详解】如图： （以实际测量为准） 半径：4÷2＝2（厘米） 周长：3.14×4＝12.56（厘米） 面积：3.14×22＝12.56（平方厘米） 练习： 1、计算下面各圆的面积。 【答案】3.14平方厘米；7.065平方厘米；0.5024平方米 【分析】第一、二图直接根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算，即可求出圆的面积；第三个图先根据公式：r＝d÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算，即可求出圆的面积。 【详解】3.14×12＝3.14（平方厘米） 3.14×1.52＝7.065（平方厘米） 3.14×（0.8÷2）2＝3.14×0.16＝0.5024（平方米） 2、填表。 【答案】2米；6.28米；3.14平方米 3分米；18.84分米；28.26平方分米 4.5厘米；9厘米；63.585平方厘米 经典讲练2：圆的面积实际应用 例1、一个钟表的分针长10厘米，这根分针的尖端在钟面上转动一圈所走的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 62.8 314 【分析】圆的周长公式为C＝2πr，面积公式为S＝πr²，分针的长度就是圆的半径，分针转动一圈，尖端走过的路程就是圆的周长，扫过的面积就是圆的面积，将数据代入公式计算即可。 【详解】求分针尖端转动一圈所走的路程（即圆的周长）分针长10厘米，即圆的半径，r＝10厘米。圆的周长： C＝2πr ＝2×3.14×10＝6.28×10＝62.8（厘米） 求分针扫过的面积（即圆的面积）圆的面积： S＝πr²＝3.14×10²＝3.14×100＝314（平方厘米） 例2、在一张长方形纸上（如图）剪下一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？剩下纸的面积呢？ 【答案】圆的面积200.96平方厘米；剩下纸的面积119.04平方厘米 【分析】根据题意，在一张长20厘米、宽16厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，则最大圆的直径等于长方形的宽； 根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，求出圆的面积、长方形的面积；再用长方形的面积减去圆的面积，求出剩下纸的面积。 【详解】圆的面积： 3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 长方形的面积： 20×16＝320（平方厘米） 剩下的面积： 320－200.96＝119.04（平方厘米） 答：这个圆的面积是200.96平方厘米，剩下纸的面积是119.04平方厘米。 例3、王师傅和李师傅用两张同样大的正方形铁皮，分别按下图剪下不同规格的圆片。哪张铁皮的利用率高？ 【答案】一样高 【分析】假设正方形的边长是8，那么王师傅剪下圆片的直径是8，李师傅剪下圆片的直径是（8÷2）；根据圆的面积＝πr2，分别求出两种图形中不同规格的圆片的面积，进行比较；如果两种图片中剪下的圆片的面积相等，则两张铁皮的利用率同样高；如果哪张图形中剪下的圆片面积大，则该张铁皮的利用率高；据此解答。 【详解】假设正方形的边长是8，则王师傅剪圆片利用的材料的面积为： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24 李师傅剪圆片利用的材料的面积为： 3.14×（8÷2÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝3.14×16 ＝50.24 因为王师傅剪下圆片的面积和李师傅剪下圆片的面积相等，所以两张铁皮的利用率一样高。 例4、小红：阿姨，我买一个12寸的披萨。（12寸＝40厘米）阿姨：12寸的卖完了，给你换成两个6寸的披萨，可以吗？如果你是小红，你同意这种换法吗？为什么？（画一画或算一算，说明理由） 【答案】不同意；理由见详解 【分析】根据圆的面积公式：S＝，先算出一个12寸的披萨的面积，再算出2个6寸的披萨的面积，然后比较大小即可。 【详解】12寸＝40厘米 40÷2＝20（厘米） 3.14× ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 6寸＝20厘米 20÷2＝10（厘米） 3.14××2 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（平方厘米） 1256＞628由此可知一个12寸的披萨大于两个6寸的披萨。 练习： 1、从一张长14厘米、宽10厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 5 78.5 【分析】长方形内画一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14× ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 所以，这个圆的半径是5厘米，面积是78.5平方厘米。 2、一个挂钟的时针长10厘米，转一圈，这根时针的尖端走了( )厘米，时针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 62.8 314 【分析】时针尖端所走的轨迹是一个圆，其中圆的半径就是时针的长度，所以半径就是10厘米，根据圆的周长＝2×r，圆的面积＝将数字代入公式即可得解。 【详解】2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（厘米） 3.14×＝314（平方厘米） 所以这根时针的尖端走了62.8厘米，时针扫过的面积是314平方厘米。 3、用一根胶带将2瓶“可口可乐”饮料罐如图所示捆一圈，饮料罐底面直径是6厘米。（π值取3.14） （1）这根胶带至少需要多少厘米？（接头处忽略） （2）这根胶带围成的平面图形面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）30.84厘米； （2）64.26平方厘米 【分析】 所需胶带的长度等于一个直径6厘米的圆的周长加上两条直径的长度；这根胶带围成的平面形面积等于一个直径为6厘米的圆的面积加上一个边长为6厘米的正方形的面积；据此解答。 【详解】（1）3.14×6＋2×6 ＝18.84＋12 ＝30.84（厘米） 答：这根胶带至少需要30.84厘米。 （2）3.14×（6÷2）2＋6×6 ＝3.14×32＋36 ＝3.14×9＋36 ＝28.26＋36 ＝64.26（平方厘米） 4、如图，圆的周长是18.84厘米，圆的面积正好等于长方形的面积。涂色部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】21.195平方厘米 【分析】已知圆的周长是18.84厘米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径； 已知圆的面积正好等于长方形的面积，涂色部分的面积＝长方形的面积－圆的面积＝圆的面积－圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求出涂色部分的面积。 【详解】圆的半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 涂色部分的面积： 3.14×32－3.14×32× ＝3.14×9－3.14×9× ＝28.26－7.065 ＝21.195（平方厘米） 5、向阳学校劳动实践基地新增自动旋转喷水器，喷水器的最远喷水距离大约是4米。它旋转一周喷灌的面积大约是多少平方米？ 【答案】50.24平方米 【分析】由题意可知，喷水器的最远喷水距离相当于圆的半径，计算喷洒的面积相当于求半径4米的圆的面积，根据圆的面积＝πr2，代入数据据此解答。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 6、如图，有一个花坛，中间正方形的边长是24米。这个花坛的面积是多少平方米？ 【答案】1932.48平方米 【分析】由图可知，这个花坛的面积等于4个半径是24÷2＝12（米）的圆的面积的，再加上正方形的面积，据此解答。 【详解】3.14×（24÷2）2××4＋24×24 ＝3.14×122××4＋576 ＝3.14×144××4＋576 ＝452.16××4＋576 ＝339.12×4＋576 ＝1356.48＋576 ＝1932.48（平方米） 经典讲练3：半圆的周长与面积 例1、操作。 （1）画一个长5厘米、宽2厘米的长方形，再在这个长方形内画一个最大的半圆形。 （2）这个半圆形的半径是（    ）厘米，周长是（    ）厘米。 【答案】（1）见详解 （2）2；10.28 【分析】（1）当圆的半径等于长方形宽的时候，则圆的直径是：2×2＝4厘米，5厘米＞4厘米，所以长方形内画最大的半圆，半径是2厘米；据此画出半圆； （2）半圆的半径等于长方形的宽；再根据求半圆的周长公式：C＝πr＋2r，代入数据，即可解答。 【详解】（1）如图： （画法不唯一） （2）半圆形的半径是2厘米。 3.14×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 例2、求图中求周长。（单位：cm） 【答案】23.13cm 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出直径是9cm的圆的周长，再除以2，求出周长的一半，再加上直径，即可求出这个半圆的周长，据此解答。 【详解】3.14×9÷2＋9 ＝28.26÷2＋9 ＝14.13＋9 ＝23.13（cm） 半圆周长是23.13cm。 例3、在一个长6厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 15.42 14.13 【分析】在长6厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的半圆，因为这里长边长度恰好是宽边的2倍，所以这个半圆的直径应等于长方形的长，即d＝6厘米，所以半径r＝＝3厘米，依据圆的周长公式计算半圆：C＝2πr。 依据圆的面积公式计算半圆面积：S＝πr2。 【详解】计算半圆的周长： 半圆的周长为圆周长的一半加上直径，C半圆＝πr＋d 3.14×3＋6 ＝9.42＋6 ＝15.42（厘米） 计算半圆的面积： S＝πr2，半圆的面积S半圆＝πr2 S半圆＝×3.14×32 ＝×3.14×9 ＝1.57×9 ＝14.13（平方厘米） 这个半圆的周长是15.42厘米，面积是14.13平方厘米。 例4、用47.1米长的篱笆靠墙围一个半圆形的养鸡场（如图）。这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【答案】353.25平方米 【分析】篱笆长相当于圆周长的一半，养鸡场的形状是个半圆，根据圆的半径＝圆周长的一半÷圆周率，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式解答即可。 【详解】3.14×（47.1÷3.14）2÷2 ＝3.14×152÷2 ＝3.14×225÷2＝353.25（平方米） 练习： 1、（判断）半圆的面积和周长分别是它所在圆的面积和周长的一半。( ) 【答案】× 【分析】面积：图形平面的大小即是面积，所以半圆的面积是圆的面积的一半；周长：图形一周的长度，半圆的周长有一个半圆弧以及一个直径，所以是圆周长的一半加上直径，分析判断即可。 原题干说法错误。 故答案为：× 2、（判断）一张周长是6.28分米的圆形纸，对折后每个半圆的周长是3.14分米。( ) 【答案】× 【分析】根据题意，作图如下： 从图中可知：对折后每个半圆的周长＝圆周长的一半＋直径。根据圆的周长：C＝πd，用C÷π求出直径，再用圆周长÷2，求出圆周长的一半，相加即可求出半圆的周长。 【详解】6.28÷2＋6.28÷3.14 ＝3.14＋2＝5.14（分米） 一张周长是6.28分米的圆形纸，对折后每个半圆的周长是5.14分米。原题说法错误。 故答案为：× 3、在一个长为12cm、宽为10cm的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 30.84 56.52 【分析】在一个长为12厘米、宽为10厘米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的直径是12厘米，根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，半圆的面积＝÷2解答即可。 【详解】3.14×12÷2＋12 ＝37.68÷2＋12 ＝18.84＋12 ＝30.84（厘米） 3.14×÷2 ＝3.14×36÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（平方厘米） 所以这个半圆的周长是30.84厘米，面积是56.52平方厘米。 4、奶奶用15.7米长的篱笆墙围成一个半圆形的养鸡场，这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【答案】39.25平方米 【分析】由题意知道，15.7米就是养鸡场半圆弧的长度，根据半圆弧的长度＝πr，可求出半径，根据圆的面积公式S＝πr2，可求出养鸡场的面积. 【详解】15.7÷3.14＝5（米） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝39.25（平方米） 答：这个养鸡场的面积是39.25平方米。 5、求如图中阴影部分的周长。 【答案】37.68cm 【分析】观察图形可知，阴影部分周长＝半径是6cm圆的周长一半＋直径是6cm圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×6×2÷2＋3.14×6 ＝18.84×2÷2＋18.84 ＝37.68÷2＋18.84 ＝18.84＋18.84 ＝37.68（cm） 阴影部分周长是37.68cm。 巩固提优 1、一个圆的半径扩大3倍,直径扩大( )倍, 周长扩大( )倍, 面积扩大( )倍。 【答案】3，3，9 2、手表的分针长1厘米,当时针从上午8点走到9点时,分针扫过的面积是( )平方厘米,分针走过的距离的( )厘米。 【答案】3.14，6.28 3、把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了20厘米，这个圆形纸片原来的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 31.4 78.5 【分析】把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，周长增加了2条直径，增加的周长÷2＝原来的直径，根据圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】20÷2＝10（厘米） 3.14×10＝31.4（厘米） 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 4、从长4厘米，宽3厘米的长方形纸上剪下一个最大的半圆，这个半圆的周长是多少厘米？剩余部分的面积是多少平方厘米？（先在图上画一画，再解答） 【答案】图见详解；10.28厘米；5.72平方厘米 【分析】要在长方形内画最大的半圆，则这个半圆的直径等于长方形的长，以长方形长的一半的位置为圆心，以长方形的长的一半为半径，画出这个半圆； 根据半圆的周长公式：周长＝圆周长的一半＋直径，代入数据，求出这个半圆的周长； 剩余部分面积＝长方形面积－半圆的面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】 如图： 3.14×4÷2＋4 ＝12.56÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 4×3－3.14×（4÷2）2÷2 ＝12－3.14×22÷2 ＝12－12.56÷2 ＝12－6.28 ＝5.72（平方厘米） 答：这个半圆的周长是10.28厘米，剩余部分的面积是5.72平方厘米。 5、画一画、算一算。（下图中每个小正方形的边长是2厘米。） （1）在方格图中画一个半圆，圆心O的位置是（5，6），圆的半径是8厘米。所画这个半圆的周长是（    ）厘米，面积是（    ）平方厘米。（保留作图痕迹） （2）如果在长方形中画一个最大的圆，所画圆的直径是（    ）厘米，这个长方形中最多可以剪出（    ）个这样最大的圆，剪去后剩下图形的面积是（    ）平方厘米。（计算时π取值为3） 【答案】（1）见详解；41.12；100.48 （2）6；2；42 【分析】（1）数对的第一个数表示第几列，第二个数表示第几行，圆心O的位置是（5，6），圆心O在第5列第6行，据此找到圆心，圆的半径是8厘米，每个小正方形的边长是2厘米，8÷2＝4（格），所以画图时半径要画4格，根据半径和圆心画出半圆即可。半圆的周长是由圆周长的一半加上一条直径组成的，根据直径＝半径×2，圆周长＝2×圆周率×半径，代入数据计算，即可求出这个半圆的周长；根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，求出圆的面积，再除以2，即可得这个半圆的面积。 （2）由图可得，宽：3×2＝6（厘米），长：8×2＝16（厘米），在长方形中画一个最大的圆，此时直径等于长方形的宽时， 即圆的直径为6厘米；用除法计算出长方形的长里有几条直径，就能求出长方形最多可以剪几个这样的大圆；根据面积公式：长方形的面积＝长×宽，圆的面积＝圆周率×半径的平方，计算时π取值为3，求出长方形的面积以及剪去的圆的面积和，再相减，即可求出剪去后剩下图形的面积，据此解答。 【详解】（1）如图所示： 2×8＋2×3.14×8÷2 ＝16＋25.12 ＝41.12（厘米） 3.14×82÷2 ＝3.14×64÷2 ＝100.48（平方厘米） 所画这个半圆的周长是41.12厘米，面积是100.48平方厘米。 （3）宽：3×2＝6（厘米） 长：8×2＝16（厘米） 即所画圆的直径是6厘米。 16÷6＝2（个）……4（厘米） 这个长方形中最多可以剪出2个这样最大的圆。 6×16＝96（平方厘米） 3×（6÷2）2×2 ＝3×32×2 ＝3×9×2 ＝54（平方厘米） 96－54＝42（平方厘米） 6、如图，李大伯把一只羊拴在一块长方形草地顶点处的一棵大树上，拴羊的绳子长4米，这只羊最多可以吃到多少平方米的草？（打结处的绳子忽略不计） 【答案】12.56平方米 【分析】如下图，求这只羊最多可以吃到草的面积，就是求一个半径为4米的圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×42× ＝3.14×16× ＝12.56（平方米） 7、如图，从一张长2.4米、宽1.2米的长方形硬纸板上裁下6个大小相等的圆，剩余部分的面积是多少平方米？ 【答案】1.1844平方米 【分析】观察图形可知，剩余部分的面积等于长方形面积减去6个圆的面积；长方形的长是2.4米，宽是1.2米；圆的半径＝长方形的宽÷4，根据长方形的面积公式：面积＝长×宽；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据即可解答。 【详解】2.4×1.2－3.14×（1.2÷2÷2）2×6 ＝2.88－3.14×（0.6÷2）2×6 ＝2.88－3.14×0.32×6 ＝2.88－3.14×0.09×6 ＝2.88－0.2826×6 ＝2.88－1.6956 ＝1.1844（平方米） 8、用18.84米的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场，这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【答案】56.52平方米 【分析】篱笆长度相当于圆周长的一半，根据圆的半径＝圆周长的一半÷圆周率，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式解答即可。 【详解】18.84÷3.14＝6（米） （平方米） 9、下面是一个边长为5厘米的正方形。如果在这个正方形内画一个最大的圆，那么圆的面积是多少？ 【答案】19.625平方厘米 【分析】在正方形里面画出一个最大的圆，这个圆的直径相当于正方形的边长，已知边长是5厘米，则这个圆的半径是（5÷2）厘米，根据圆的面积公式：S＝πr2，用3.14×（5÷2）2即可求出圆的面积。 【详解】3.14×（5÷2）2 ＝3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（平方厘米） 10、墙角O点处的一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4米，墙角两边的墙长2米。这只羊能吃到草的面积是多少？ 【答案】18.84平方米 【分析】如图： 羊吃到草的面积由三部分组成：一部分是半径为4米的圆面积的四分之一；另外两部分均是半径为2米的圆面积的四分之一，这三部分合起来的面积就是羊吃到草的面积。根据圆面积公式，用3.14×42即可求出半径为4米的圆面积；用3.14×22即可求出半径为2米的圆面积；根据分数的意义，半径为4米的圆面积的四分之一就是把半径为4米的圆面积看作单位“1”，平均分成4份，取其中的一份，所以用3.14×42÷4即可求出半径为4米的圆面积的四分之一；同理，用3.14×22÷4即可求出半径为2米的圆面积的四分之一，然后将三部分相加即可求出羊吃到草的面积。 【详解】3.14×42÷4＋3.14×22÷4＋3.14×22÷4 ＝3.14×16÷4＋3.14×4÷4＋3.14×4÷4 ＝12.56＋3.14＋3.14 ＝18.84（平方米） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一讲 圆的面积应用【知识梳理】 知识点一：常用数计算 1、常用的3.14的倍数： 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 2、常用的平方数： 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 知识点二：圆的面积及公式推导 3、圆的面积公式：S圆=πr2。圆的面积是半径平方的π倍。 4、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面积相等（即S长方形＝S圆）； 长方形的宽是圆的半径（即b＝r）；长方形的长是圆周长的一半（即a＝=πr）。 即：S长方形＝ a×b S圆 ＝ πr × r ＝ πr2 知识点三：半圆和圆周长的一半 5、半圆的面积和周长。S半圆=πr²÷2 C半圆=+d 注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。C长方形＝2πr＋2r=C圆＋d 周长相等的平面图形中，圆的面积最大；面积相等的平面图形中，圆的周长最短。 经典讲练1：圆的面积推导 例1、在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( )cm2。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 例2、下图是推导圆面积计算公式的一种方法，把一个草绳编织的圆形茶杯垫片沿半径剪开，打开后得到一个近似的三角形。 仔细观察：三角形的底相当于圆的( )，高相当于圆的( )。如果圆的半径为r，根据三角形的面积＝底×高÷2，可以推出圆的面积计算公式为S＝( )。 例3、画一个直径4厘米的圆，并用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径，再求出它的周长和面积。 练习： 1、计算下面各圆的面积。 2、填表。 经典讲练2：圆的面积实际应用 例1、一个钟表的分针长10厘米，这根分针的尖端在钟面上转动一圈所走的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米。 例2、在一张长方形纸上（如图）剪下一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？剩下纸的面积呢？ 例3、王师傅和李师傅用两张同样大的正方形铁皮，分别按下图剪下不同规格的圆片。哪张铁皮的利用率高？ 例4、小红：阿姨，我买一个12寸的披萨。（12寸＝40厘米）阿姨：12寸的卖完了，给你换成两个6寸的披萨，可以吗？如果你是小红，你同意这种换法吗？为什么？（画一画或算一算，说明理由） 练习： 1、从一张长14厘米、宽10厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 2、一个挂钟的时针长10厘米，转一圈，这根时针的尖端走了( )厘米，时针扫过的面积是( )平方厘米。 3、用一根胶带将2瓶“可口可乐”饮料罐如图所示捆一圈，饮料罐底面直径是6厘米。（π值取3.14） （1）这根胶带至少需要多少厘米？（接头处忽略） （2）这根胶带围成的平面图形面积是多少平方厘米？ 4、如图，圆的周长是18.84厘米，圆的面积正好等于长方形的面积。涂色部分的面积是多少平方厘米？ 5、向阳学校劳动实践基地新增自动旋转喷水器，喷水器的最远喷水距离大约是4米。它旋转一周喷灌的面积大约是多少平方米？ 6、如图，有一个花坛，中间正方形的边长是24米。这个花坛的面积是多少平方米？ 经典讲练3：半圆的周长与面积 例1、操作。 （1）画一个长5厘米、宽2厘米的长方形，再在这个长方形内画一个最大的半圆形。 （2）这个半圆形的半径是（    ）厘米，周长是（    ）厘米。 例2、求图中求周长。（单位：cm） 例3、在一个长6厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 例4、用47.1米长的篱笆靠墙围一个半圆形的养鸡场（如图）。这个养鸡场的面积是多少平方米？ 练习： 1、（判断）半圆的面积和周长分别是它所在圆的面积和周长的一半。( ) 2、（判断）一张周长是6.28分米的圆形纸，对折后每个半圆的周长是3.14分米。( ) 3、在一个长为12cm、宽为10cm的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 4、奶奶用15.7米长的篱笆墙围成一个半圆形的养鸡场，这个养鸡场的面积是多少平方米？ 5、求如图中阴影部分的周长。 巩固提优 1、一个圆的半径扩大3倍,直径扩大( )倍, 周长扩大( )倍, 面积扩大( )倍。 2、手表的分针长1厘米,当时针从上午8点走到9点时,分针扫过的面积是( )平方厘米,分针走过的距离的( )厘米。 3、把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了20厘米，这个圆形纸片原来的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 4、从长4厘米，宽3厘米的长方形纸上剪下一个最大的半圆，这个半圆的周长是多少厘米？剩余部分的面积是多少平方厘米？（先在图上画一画，再解答） 5、画一画、算一算。（下图中每个小正方形的边长是2厘米。） （1）在方格图中画一个半圆，圆心O的位置是（5，6），圆的半径是8厘米。所画这个半圆的周长是（    ）厘米，面积是（    ）平方厘米。（保留作图痕迹） （2）如果在长方形中画一个最大的圆，所画圆的直径是（    ）厘米，这个长方形中最多可以剪出（    ）个这样最大的圆，剪去后剩下图形的面积是（    ）平方厘米。（计算时π取值为3） 6、如图，李大伯把一只羊拴在一块长方形草地顶点处的一棵大树上，拴羊的绳子长4米，这只羊最多可以吃到多少平方米的草？（打结处的绳子忽略不计） 7、如图，从一张长2.4米、宽1.2米的长方形硬纸板上裁下6个大小相等的圆，剩余部分的面积是多少平方米？ 8、用18.84米的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场，这个养鸡场的面积是多少平方米？ 9、下面是一个边长为5厘米的正方形。如果在这个正方形内画一个最大的圆，那么圆的面积是多少？ 10、墙角O点处的一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4米，墙角两边的墙长2米。这只羊能吃到草的面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$