精品解析：浙江省慈溪市2024-2025学年高二上学期期末测试数学试卷

2024学年第一学期高二期末测试卷 数学学科试卷 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时间120分钟，不得使用计算器，请考生将所有题目的答案均写在答题卷上. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l过点和，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两点坐标可求得其斜率，再根据倾斜角与斜率之间的关系可得结果. 【详解】易知直线l的斜率为， 设l的倾斜角为，则，由，可得. 故选：D 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义对函数求导代入计算即可. 【详解】易知， 所以. 故选：A. 3. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 51 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出公比后由等比数列的前项和公式得结论． 【详解】记公比为，则，即，所以， 从而， 故选：C． 4. 已知，，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出与的向量坐标，再根据投影向量的公式来计算. 【详解】已知，，，. ； . 计算和, . 根据投影向量公式，则投影向量为. 故选：A. 5. 已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，两圆外切，根据圆与圆的位置关系可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，且， 由题意可得，即，解得. 故选：B. 6. 已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，向量、、表示和，再利用数量积的运算律及夹角公式计算可得. 【详解】设，因为，， 所以， ， 所以， ， ， 设向量与的夹角为，则 ∴直线和夹角的余弦值为． 故选：D 7. 已知双曲线的左焦点为，一条渐近线方程为，过作这条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直关系求得直线的方程，解得两点坐标即可求得比值. 【详解】设左焦点为 根据题意可知，所以直线的方程为，如下图所示： 联立，可得， 同理联立，可得， 因此. 故选：B 8. 已知斐波那契数列满足，.卢卡斯数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知确定与的关系后判断． 【详解】由已知，， ，因此， 所以，从而， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则（ ） A. 当时，C是半径为的圆 B. 当时，C是焦点在x轴上的椭圆 C. 当时，C是焦点在x轴上的双曲线 D. 当时，C是两条直线 【答案】AC 【解析】 【分析】结合圆、椭圆、双曲线的方程特征逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，是半径为的圆，A正确； 对于B，取，，即，曲线是焦点在轴上的椭圆，B错误； 对于C，当时，是焦点在x轴上的双曲线，C正确； 对于D，当时，是一条直线，D错误. 故选：AC. 10. 已知数列的前n项和为，若，且对任意m，，都有，则（ ） A. B. C. D. 数列是递增数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可计算得出AB正确，C错误，可证明得出数列是等差数列，求得即可判断D正确. 【详解】由，且可得，即可得A正确； 易知，又，即， 因此，因此B正确； 易知，可得C错误； 令可得，即， 所以可得数列是以为首项，2为公差的等差数列，可得， 因此，则，即数列是递增数列，可知D正确. 故选：ABD 11. 如图，已知正方体的棱长为4，P，Q分别是线段，上的动点，M是线段的中点，且满足，过作平面，使得，则（ ） A. 当时，平面 B. 当P为线段中点时，直线到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的最大角的正弦值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知构建空间直角坐标系，A应用向量法判断平面是否成立，B问题化为求到平面的距离，应用向量法求点面距，C、D设且，且，根据已知有在圆的四分之一圆弧上，向量法求线面角正弦值的含参表达式、向量数量积的坐标表示得含参表达式，应用三角换元求最值. 【详解】构建如下图示的空间直角坐标系， A：，则，且，又， 所以，可得，则，此时， 又，则，，， 显然、，则平面不成立，错； B：且，，又，则，可得， 所以，则，而， 若是的一个法向量，则， 令，则，而， 显然直线到平面的距离，即为到平面的距离，对； C：令且，且，， 则，可得，且， 由，，若是面的一个法向量， 所以，令，则， 所以直线与平面所成角的正弦值， 要使夹角最大，即最大，而在圆的四分之一圆弧上， 令且，则， 所以或时，最大， 此时最大正弦值为，对； D：由C分析，则， 所以， 令且， 则且， 所以的最小值为，对. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：注意构建空间直角坐标系，利用向量法判断证明位置关系、求点面距、线面角、坐标表示数量积，综合应用三角换元、圆的性质求最值. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点和直线，则点P到l的距离为______. 【答案】3 【解析】 【分析】代入点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知点P到l的距离为. 故答案为：3 13. 已知数列满足，若，，则的前n项积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由递推公式可得数列周期，从而根据周期性得出前项积的最大值. 【详解】因为，所以， 两式相除得，即，故数列的周期, 由，，可得，设的前项积为， 所以当时，，当时, 取最大值为. 当时，，当时, 取最大值为. 当时，，当时, 取最大值为. 综上所述，的前n项积的最大值为. 故答案为： 14. 椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左、右焦点为，，P为椭圆上一点，过P的切线l分别与坐标轴交于M、N两点，若时，（O为坐标原点）的面积取到最小值，则C的离心率为______. 【答案】. 【解析】 【分析】由切线方程求得与坐标轴的两交点坐标，利用基本不等式可得当时面积取得最小值，再根据余弦定理计算可得，再由等面积法可知，可得，可求得离心率. 详解】由题可知满足， 切线与两坐标轴交点为，如下图所示： 易知的面积为，又， 即，因此， 当且仅当示，即时，等号成立； 又因为， 即，解得； 易知的面积为， 又， 即可得，所以， 可得，所以. 即C的离心率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用基本不等式求得面积最小时的交点坐标，再由余弦定理由三角形面积公式计算得出的关系式，可求得离心率. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）若，求； （2）若在处切线与直线垂直，求a. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算来求得正确答案. （2）根据斜率的关系列方程，化简求得的值. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 由题意知，，即， 所以，所以或. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 分析】（1）利用面面垂直性质以及勾股定理，结合线面垂直判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系并利用空间向量求得两平面的法向量，即可得出结论. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以； 在中，，，， 所以， 所以，即； 又因为， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面，， 建立以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如下图所示： 则，，， 所以，， 设平面的一个平面法向量， 则，即，所以取； 同理可得，平面的一个法向量； 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知直线，圆，点在上，点在上. （1）若一条光线沿着直线从右上往左下射出，经轴反射后，与相切，求； （2）若，，求点的坐标，使有最小值，并求出这最小值. 【答案】（1） （2），最小值等于. 【解析】 【分析】（1）求出反射光线所在直线的方程，求出圆心到反射光线所在直线的距离，即为的值； （2）求出点关于直线的对称点的坐标，数形结合可知，当点、为线段与直线、圆的交点时，取最小值，联立直线和直线的方程，可求出点的坐标，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意知，入射光线与轴交于点，反射光线的斜率为， 所以反射光线所在的直线方程为， 因为圆心，所以圆心到反射光线所在直线的距离等于，即. 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 因为，， 所以的最小值等于， 当且仅当点、为线段与直线、圆的交点时，取最小值， 直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，解得， 所以当点时，的最小值等于. 18. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，且. （1）求C的方程； （2）若M，N是C上的两个不同动点（M在x轴上方，N在x轴下方），满足. （ⅰ）求证：直线过定点P； （ⅱ）设直线的斜率为k，过点P，且斜率为的直线交C于R，S两点，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式可得，可求抛物线方程； （2）（ⅰ）联立直线和抛物线方程利用韦达定理并结合向量数量积计算可证明直线过定点P； （ⅱ）依题意联立直线和抛物线方程利用韦达定理求出四边形面积的表达式，再结合基本不等式可求得面积最值. 【小问1详解】 因为，所以，所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设直线的方程为，，， 联立得，显然， 且，，易知，所以； 因为 ， 所以或（舍），所以直线过定点. （ⅱ）设直线的方程为，，，，，如下图所示： 由得，，则，， 所以， 则R，S到直线的距离和 因为直线RS的直线方程为，所以， 所以， 由得，，即，，所以， 所以， 令，，则在上单调递增， 所以当，即时，. 19. 若数列满足：（，且），则称数列为“差增数列”；若对于差增数列，存在整数k，同时满足以下两个条件：①对任意，都有成立；②存在，使得成立，则称数列为差增数列的“下限数列”. （1）已知数列是差增数列，若，试写出项数为5的差增数列； （2）已知等差数列是公差为d的正项数列，其前n项和为，等比数列是公比为的非常数数列，且； （ⅰ）试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由； （ⅱ）若，且，，成等比数列，则是否存在以数列为“下限数列”的差增数列？若存在，求q的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），，，， （2）（ⅰ）数列为“差增数列”，理由见解析；（ⅱ）存在，4. 【解析】 【分析】（1）由“差增数列”的定义以及质数概念即可求得结果； （2）（ⅰ）由等差数列通项公式以及前n项和公式得出表达式，再由“差增数列”的定义即可得出结论； （ⅱ）依题意可得，，根据“下限数列”和“差增数列”的定义对参数进行分类讨论，即可得出结果. 【小问1详解】 根据“差增数列”的定义可得，，，，； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，则首项，公差，所以，， 因为 ， 即对任意且恒成立， 故数列为“差增数列”. （ⅱ）因为，则，且， 所以，所以， 假设存在以数列为“下限数列”的差增数列， 则，而，，所以q的可能取值为2、4， ①若，则，若存在，则其下限数列为，即恒成立， 事实上，当时，，故时不符合； ②若，则，所以 ，， 而，所以对任意恒成立， 所以数列是差增数列，令， 则， 当时，，即，当时，， 所以，即，所以， 所以符合，所以数列的下限数列为； 综上所述，存在以数列为“下限数列”的差增数列，此时q的值为4. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于由“差增数列”的定义以及“下限数列”的定义，结合等差等比数列性质综合研究即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期高二期末测试卷 数学学科试卷 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时间120分钟，不得使用计算器，请考生将所有题目的答案均写在答题卷上. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l过点和，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 51 B. C. D. 4. 已知，，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左焦点为，一条渐近线方程为，过作这条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知斐波那契数列满足，.卢卡斯数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则（ ） A. 当时，C是半径为的圆 B. 当时，C是焦点在x轴上的椭圆 C. 当时，C是焦点在x轴上双曲线 D. 当时，C两条直线 10. 已知数列的前n项和为，若，且对任意m，，都有，则（ ） A. B. C. D. 数列是递增数列 11. 如图，已知正方体的棱长为4，P，Q分别是线段，上的动点，M是线段的中点，且满足，过作平面，使得，则（ ） A. 当时，平面 B. 当P为线段中点时，直线到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的最大角的正弦值为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点和直线，则点P到l的距离为______. 13. 已知数列满足，若，，则的前n项积的最大值为______. 14. 椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左、右焦点为，，P为椭圆上一点，过P的切线l分别与坐标轴交于M、N两点，若时，（O为坐标原点）的面积取到最小值，则C的离心率为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）若，求； （2）若在处的切线与直线垂直，求a. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 17. 已知直线，圆，点在上，点在上. （1）若一条光线沿着直线从右上往左下射出，经轴反射后，与相切，求； （2）若，，求点坐标，使有最小值，并求出这最小值. 18. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，且. （1）求C的方程； （2）若M，N是C上的两个不同动点（M在x轴上方，N在x轴下方），满足. （ⅰ）求证：直线过定点P； （ⅱ）设直线的斜率为k，过点P，且斜率为的直线交C于R，S两点，求四边形面积的最小值. 19. 若数列满足：（，且），则称数列为“差增数列”；若对于差增数列，存在整数k，同时满足以下两个条件：①对任意，都有成立；②存在，使得成立，则称数列为差增数列的“下限数列”. （1）已知数列是差增数列，若，试写出项数为5的差增数列； （2）已知等差数列是公差为d的正项数列，其前n项和为，等比数列是公比为的非常数数列，且； （ⅰ）试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由； （ⅱ）若，且，，成等比数列，则是否存在以数列为“下限数列”差增数列？若存在，求q的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$