精品解析：安徽省肥东瑶岗高级中学2024-2025学年高三上学期第二次调研考试数学试卷

安徽省肥东瑶岗高级中学2024-2025学年高三 第二次调研考试数学试卷 （考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟） 一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1. 已知集合.若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. -2 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数有3个零点的充分不必要条件是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 7. 已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分） 9. 在整数集中，被6除余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充要条件是“” 10. 已知函数，若，则（ ） A. 为偶函数 B. 在上为增函数 C. D. 11. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分） 12. 已知，则是的条件___________.（在充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要中选一个正确的填入） 13. 曲线在点处的切线方程为___________． 14. 设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分） 15. 已知非空集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 已知函数，函数的图像与函数的图像关于原点对称. （1）写出函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若时，总有成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）若，讨论的单调性； （2）证明：. 18. 设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 19. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省肥东瑶岗高级中学2024-2025学年高三 第二次调研考试数学试卷 （考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟） 一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1. 已知集合.若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系可得求解. 【详解】由于，所以， 故的最大值为， 故选：C 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊，计算对应的函数值的正负，即可用排除法，得出结果. 【详解】因为， 当时，，故AD排除； 当时，，故B排除； 故选：C. 3. 已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，然后比较的大小，再利用函数的单调性可求得结果. 【详解】因为为奇函数， 所以， 因为在上递增，且， 所以， 因为在上递增，且， 所以， 所以， 因为在上是减函数， 所以， 所以， 故选：A 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 5. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知为偶函数，结合偶函数可得，进而可知6为的周期，赋值可知，结合周期性运算求解. 【详解】由题意可知：函数的定义域为R， 因为，则， 可得，所以为偶函数， 由可得， 即，整理得， 可得， 则，可得， 所以6为的周期， 由， 令，可得，可得； 令，可得，可得； 所以． 故选：A． 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 6. 函数有3个零点的充分不必要条件是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数有3个零点的充要条件为且，逐个选项分析其是否为且的充分不必要条件即可得. 【详解】，有， 若有三个零点，则有且， 故函数有3个零点的充要条件为： 且， 对A：，且，则当时，有，不符，故A错误； 对B：可能，不符，故B错误； 对C：且，则，不符，故C错误； 对D：，且，则， 即由，且能得到且， 但且并不意味着，且， 故，且是且的充分不必要条件， 即是函数有3个零点的充分不必要条件，故D正确. 故选：D. 7. 已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，利用导数判断函数的单调性，再由分类讨论即可得解. 【详解】由，得， 令， 则， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以， 所以函数在上是增函数， 所以， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，满足题意； 当时，则存在，使得， 且当，，函数单调递减， 所以，故不恒成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 8. 已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助分段函数性质计算可得，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得. 【详解】令，即时，，解得， 时，，无解，故， 设过点与曲线相切的直线的切点为， 当时，，则有， 有，整理可得，即， 即当时，有一条切线， 当时，，则有， 有，整理可得， 令， 则， 令，可得， 故当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由， ，故在上没有零点， 又， 故在上必有唯一零点， 即当时，亦可有一条切线符合要求， 故. 故选：B. 二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分） 9. 在整数集中，被6除余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充要条件是“” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由所给定义，逐项分析判断即可求解. 【详解】因为余，故A正确； 因为，所以，故B错误； 任意整数被6除必余其中之一， 所以，故C正确； 整数属于同一“类”，则， 所以，故，反之也成立，故D正确； 故选：ACD 10. 已知函数，若，则（ ） A. 为偶函数 B. 在上为增函数 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，根据偶函数的定义判断即可；对B，求导分析函数的单调性即可；对C，根据函数的单调性与奇偶性判断即可；对D，根据不一定成立判断即可. 【详解】对A，因为，所以为偶函数，故A正确； 对B，，当时，，所以，当时，，所以，所以在上单调递增，因为为偶函数，所以在上为减函数，故B错误； 因为，所以，又因为在上递增，所以，即，故C正确； 显然不一定成立，则不成立，故D错误. 故选：AC 11. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分） 12. 已知，则是的条件___________.（在充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要中选一个正确的填入） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】首先根据题意得到，从而得到，即可得到答案. 【详解】， 当时，，解集不是，舍去， 当时，，解得. 综上：. 因为，所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 13. 曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】. 【解析】 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解： 所以， 所以，曲线在点处的切线方程为，即． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 14. 设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分） 15. 已知非空集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，根据条件，直接利用补集、并集的运算法则，即可求出结果；方法二，利用，利用交集运算，求出，即可求出结果. （2）根据条件得出是的真子集，再根据集合间的包含关系即可求出结果. 【小问1详解】 方法一：当时，， 所以或． 因为， 所以或， 所以或． 方法二：当时，， 故， 所以或． 【小问2详解】 因为是成立的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，或 解得或， 综上，实数a的取值范围是． 16. 已知函数，函数的图像与函数的图像关于原点对称. （1）写出函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）若时，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）函数为偶函数. 理由如下： 记，即，. ∵，∴函数为偶函数，即函数为偶函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）由图像关于原点对称得出即可求出的解析式． （2）利用函数奇偶性定义即可证明． （3）对恒成立问题转化为求函数的最值，即可求出． 【小问1详解】 ∵函数的图像与的图像关于原点对称， ∴，即，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 记，. 由题知恒成立，∴. 令， ∵，，∴单调递减，∴， ∴，即实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了求函数解析式、函数奇偶性的证明以及数学中常见的恒成立问题；在证明奇偶性时注意求定义域，首先判断定义域是否对称；解决恒成立问题时常常要转化为求函数的最值． 17. 已知函数. （1）若，讨论的单调性； （2）证明：. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）解：由题意，函数， 可得，且在上单调递增， 又由，， 所以存在唯一的，使得，即， 所以，可得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 可得. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，令，求得，结合，的单调性，求得的符号，即可求解； （2）求得，且在上单调递增，根据题意得到，得出函数的单调性，转化为，设设，结合函数单调性与最值，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，函数， 可得， 令，可得， 又由函数，可得 当时，，所以函数在上单调递增， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增. 【小问2详解】 略 18. 设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【答案】（1）； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【解析】 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数； （2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）略 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性. 19. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； 【小问2详解】 ，则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 由（1）得，即，所以， 当时，， 则存在，使得， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 由（1）得当时，，，所以， 此时 存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $