精品解析：江苏省无锡市经开区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024年秋学期期末考试试卷八年级数学 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中．只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 2. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形两个底角相等，进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角的度数是：． 故选：C． 4. 点与点关于轴对称，则的值为（ ） A 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 故选：A． 5. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，理解并掌握一次函数的性质是解题关键．根据题意可知，，可知该一次函数的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，即可获得答案． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴该一次函数的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 6. 在中，，若，则等于（ ） A. 4 B. 16 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求得，代入式子即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7. 如图，，，，则（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，结合，，即可求解． 【详解】解：， ， ，即， ，， ， 故选：A． 8. 如图，一次函数的图像与轴交于点，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像和系数的关系，直线经过一、三、四象限，可得，，据此推理判断即可． 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，，故选项A、B错误； 直线与轴交于点， 当时，函数， ，故C错误； ∵， ∴，即，故D正确； 故选：D． 9. 如图，在中，，，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 10. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①联立，求出的值即可得到答案； ②由定义可知点在直线上，求出，再将点代入即可求出的值； ③将一次函数的“关联点”代入求出k的值即可； ④由题意可得直线与直线平行，从而得出直线为，再求出，，即，设，则，计算出，，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：①联立， 解得：， 一次函数的“关联点”为，故①正确； ②∵一次函数的“关联点”为， ∴点在直线上， ， ， 一次函数的“关联点”为， ， 解得：，故②错误； ③∵一次函数的“关联点”为， ∴把代入得：， 解得：，故③正确； ④直线上没有“关联点”， 直线与直线平行， ， ， 当时，， 当时，，解得， ，， ， ∴， ∵， ∴， 设， ， ， ， 解得：或， 或，故④错误； 综上分析可知：正确的是①③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义，是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 12. 无锡经济开发区2024年秋学期新开学校8所，新校总投资26.5亿元，总建筑面积36.6万平方米，新增14880个学位．将数据14880用四舍五入法精确到1000，所得近似数用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了近似数和科学记数法等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．首先将原数用四舍五入法精确到1000可得15000，再根据科学记数法的表示形式即可获得答案． 【详解】解：14880用四舍五入法精确到1000，所得近似数用科学记数法表示， 可有． 故答案为：． 13. 比较大小_______（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 估算出的大小，进而得到，即可作答． 【详解】∵， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 14. 写出一个一次函数，过点，且随增大而增大：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出符合要求的函数解析式，这是一道开放性题目，答案不唯一，只要符合要去即可．根据题意可以得到k的正负情况，然后写出一个符合要求的解析式即可解答本题． 【详解】解：∵一次函数y随x的增大而增大， ∴， ∵一次函数图象过点， ∴，即， ∴令，则， ∴满足条件的一个函数解析式是， 故答案为：．（答案不唯一） 15. 在平面直角坐标系中，若点坐标为，则点到原点的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查两点坐标距离公式，根据两点坐标分别为，，则求解即可． 【详解】解：若点坐标为，则点到原点的距离， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式．将点代入一次函数，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∴． 故答案为：0． 17. 如图，甲，乙两车从A城出发匀速行驶到B城．在整个行驶过程中，甲，乙两车距离B城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，则甲乙两车相距时，的值为________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，准确识图，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．先求出甲、乙两车行驶的路程与时间的关系式，然后分三种情况：甲、乙在行驶过程中，乙车出发前，乙车到达B城后，分别列式算出结果即可． 【详解】解：设甲车离开A城的距离y与t的关系式为， 把，代入可得：， 解得， ∴， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为， 把和代入可得， 解得， ∴， 令，可得， 解得：或； 把代入得：， 解得： 即当时，甲车行驶了，此时乙车还没出发； 把代入得：， 解得：， 即当时，乙到达B城，甲车离B城还有； 综上，当甲、乙两车相距时， 或或或． 故答案为：或或或． 18. 如图，已知，点是线段的中点，以为直角顶点，作等腰直角三角形（C，，三点按顺时针方向排列），且，将等腰直角三角形绕点顺时针方向旋转，在旋转过程中，的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作，且，连接，，证明，，可得当三点共线时，，此时最大，再进一步利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过作，且，连接，， ∵，点是线段的中点， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∴， 当三点共线时，，此时最大， ∴的最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 求下列各式中的的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根和平方根的应用，熟练掌握立方根和平方根定义，是解题的关键． （1）先移项，合并同类项，再开平方求出x的值即可； （2）先移项，再开立方求出x的值即可． 【小问1详解】 解：， 移项，合并同类项得：， ∴， 开平方得：； 小问2详解】 解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 20. 已知实数的算术平方根是，的立方根是2． （1）求、的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出a的值，根据立方根的定义求出b的值； （2）将a、b的值代入中计算，再求其平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 21. 如图，，，，点在边上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）由可得，进而利用即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，有一点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标轴上点坐标特征，各象限点的坐标特征，一元一次不等式的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）由x轴上点的纵坐标为0得出关于a的方程，解之即可； （2）由第二象限内点的坐标符号特点列出关于a的不等式组，解之即可． 【小问1详解】 解：∵点P在x轴上， ∴， 解得, ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点P在第二象限， 解得：． 23. 如图，已知点和点的坐标分别为和． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点的坐标为_______； （3）网格中存在格点，使得，请写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或． 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形、平面直角坐标系、全等三角形等知识． （1）根据点和点的坐标分别为和建立平面直角坐标系即可； （2）根据点的位置得到坐标为； （3）根据题意，找到点的位置，写出所有符合条件的点的坐标． 【小问1详解】 解：建立的平面直角坐标系如图所示， 【小问2详解】 点的坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 如图，所有符合条件的点的坐标为或． 24. 已知，如图，中，，； （1）请用圆规和无刻度的直尺在上找一点，使沿过点的某一条直线折叠，点落在边上的点处，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，过点的直线与交于点，若，，则的长为_______．（如需画草图，请在备用图上作答） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作过点A作的垂线，交于点G，作的平分线，交于点E，过点E作的垂线，垂足为F，则点E、F即为所求作的点，即为求作的线段； （2）先利用等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理求得，再由列方程求得． 【小问1详解】 解：如图，点E、F即为所求作的点； 证明：由作图得为的平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴和关于直线对称， 故点E、F即为所求作的点； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 即, 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图-过一点作已知直线的垂线、作已知角的角平分线，折叠性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，综合性强，理解相关知识并灵活应用是解题关键． 25. 如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点． （1）求该一次函数的表达式； （2）若点是坐标轴上一点，使得，求点的坐标； （3）如果轴上有一动点，当时，请直接写出符合条件的点坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）分两种情况：当点C在y轴上时，当点C在x轴上时，根据两点间距离公式列出方程，解方程即可； （3）分两种情况讨论：当点D在点A左侧时，当点D在点A右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴该一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当点C在y轴上时，设点C的坐标为，则： ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴此时点C的坐标为； 当点C在x轴上时，设点C的坐标为，则： ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴此时点C的坐标为； 综上分析可知：点C的坐标为或． 【小问3详解】 解：当点D在点A左侧时，过点D作于点E，过点E作轴于点F，延长，过点B作于点G，如图所示： 则， 设点E的坐标为，则，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点D的坐标为； 当点D在点A右侧时，过点D作于点E，过点E作轴于点F，延长，过点D作于点G，如图所示： 则， 设点E的坐标为，则，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴此时点D的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，余角的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，求一次函数解析式，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 26. 【问题】我们已经学习了很多与直角三角形有关的结论，比如直角三角形两锐角互余；勾股定理；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等；三位同学在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．于是三位同学都尝试进行了证明． 已知：在中，，．求证：． 小娟采用“截长法”（如图1）在上截取，连接 小丽采用“补短法”（如图2）延长到点，使得，连接 小辉采用“中线法”（如图3）取中点，连接 （1）请你任选一位同学的方法完成证明； 【应用】 （2）在中，，，点是平面内一点，满足，，连接，则的面积为_______； 【延伸】 （3）如图4，在中，，，点是边上一动点，当的值最小时，的长为________． 【答案】（1）见详解（2）或（3）1 【解析】 【分析】（1）小娟采用的“截长法”：在上截取，连接，证明为等边三角形，易得，，再证明为等腰三角形，可得，即可证明结论；小丽采用“补短法”：延长到点，使得，连接，证明，由全等三角形的性质可得，，进而证明为等边三角形，易得，即可证明结论；小辉采用“中线法”：取中点，连接，证明为等边三角形，易得，即可证明结论 （2）分两种情况讨论，①当点在右侧时，过点作于点，由含30度角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理解得的值，然后由求解；②当点在左侧时，过点作，交延长线于点，首先确定，，的值，然后由求解，即可获得答案； （3）在右侧取一点，使得，，则，故当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，然后求解即可． 【详解】解：（1）小娟采用的“截长法”： 如图1，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 小丽采用“补短法”： 如图2，延长到点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 小辉采用“中线法”： 如图3，取中点，连接， ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）分两种情况讨论， ①当点在右侧时，如下图，过点作于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ②当点在左侧时，如下图，过点作，交延长线于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，的面积为或． 故答案为：或； （3）如下图，在右侧取一点，使得，， 则， ∴， ∴当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即，解得． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，理解并掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期期末考试试卷八年级数学 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中．只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 5. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在中，，若，则等于（ ） A. 4 B. 16 C. 20 D. 25 7. 如图，，，，则为（ ）     A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图像与轴交于点，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为（ ） A. B. C. D. 3 10. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 25的算术平方根是 _______ . 12. 无锡经济开发区2024年秋学期新开学校8所，新校总投资26.5亿元，总建筑面积36.6万平方米，新增14880个学位．将数据14880用四舍五入法精确到1000，所得近似数用科学记数法表示为______． 13. 比较大小_______（填“”，“”或“”） 14. 写出一个一次函数，过点，且随的增大而增大：______． 15. 在平面直角坐标系中，若点坐标为，则点到原点的距离为________． 16. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，则________． 17. 如图，甲，乙两车从A城出发匀速行驶到B城．在整个行驶过程中，甲，乙两车距离B城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，则甲乙两车相距时，的值为________． 18. 如图，已知，点是线段的中点，以为直角顶点，作等腰直角三角形（C，，三点按顺时针方向排列），且，将等腰直角三角形绕点顺时针方向旋转，在旋转过程中，的最大值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 20. 已知实数的算术平方根是，的立方根是2． （1）求、的值； （2）求的平方根． 21. 如图，，，，点在边上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 平面直角坐标系中，有一点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点在第二象限，求的取值范围． 23. 如图，已知点和点的坐标分别为和． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点的坐标为_______； （3）网格中存在格点，使得，请写出所有符合条件点的坐标． 24. 已知，如图，中，，； （1）请用圆规和无刻度直尺在上找一点，使沿过点的某一条直线折叠，点落在边上的点处，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，过点的直线与交于点，若，，则的长为_______．（如需画草图，请在备用图上作答） 25. 如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点． （1）求该一次函数的表达式； （2）若点是坐标轴上一点，使得，求点的坐标； （3）如果轴上有一动点，当时，请直接写出符合条件的点坐标． 26. 【问题】我们已经学习了很多与直角三角形有关的结论，比如直角三角形两锐角互余；勾股定理；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等；三位同学在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．于是三位同学都尝试进行了证明． 已知：在中，，．求证：． 小娟采用“截长法”（如图1）在上截取，连接 小丽采用“补短法”（如图2）延长到点，使得，连接 小辉采用“中线法”（如图3）取中点，连接 （1）请你任选一位同学的方法完成证明； 【应用】 （2）在中，，，点是平面内一点，满足，，连接，则的面积为_______； 【延伸】 （3）如图4，在中，，，点是边上一动点，当的值最小时，的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $