精品解析：重庆市丰都县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋八年级学业质量监测 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试卷的答案书写在答题卡（卷）上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡（卷）上的注意事项． 3．考试结束后，由监考人员将试题的答题卡（卷）收回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号对应的正确答案的方框涂黑． 1. 下面是某四所中学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】A、不是轴对称图形，本选项不合题意； B、不是轴对称图形，本选项不合题意； C、不是轴对称图形，本选项不合题意； D、是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 2. 如图是一个折叠凳子及其侧面示意图，点是，的中点，且，则折叠凳子的宽可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的含义，三角形三边关系的应用．确定第三边的取值范围是解题的关键． 先求解，结合，即，然后判断作答即可． 【详解】解：∵点是，的中点，且， ∴， ∵， ， ∴A符合题意； 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了幂的运算法则．根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方进行运算即可得到答案． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意． 故选：C 4. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断． 【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，正确，该选项符合题意； 故选；D． 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵，， A、在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； B、由，不能判定，故选项B符合题意； C、由，能判定，故选项C不符合题意； D、由，能判定，故选项D不符合题意； 故选：B． 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 三角形的外角和等于内角和 B. 若，则点是线段的中点 C. 面积不相等的两个三角形一定不是全等三角形 D. 等腰三角形一个角的平分线与对边上的中线、高重合 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对命题真假的判断，掌握相关的知识点是解题的关键．根据三角形外角性质，线段中点的含义，全等三角形的旋转，等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：A．三角形的外角等于它不相邻的两个内角和，原命题不符合题意； B．若在同一直线上，，则点是线段的中点，原命题不符合题意； C．面积不相等的两个三角形一定不是全等三角形，正确，原命题符合题意； D．等腰三角形顶角的平分线与等边上的中线、高重合，原命题不符合题意； 故选：C． 7. 活动探究：有些地板的拼合图案如图所示，它是用正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙不重叠，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．商店出售下列形状的瓷砖（同一形状均是全等的），若只从其中选择一种瓷砖镶嵌地面（墙边墙角需要切割的部分忽略不计），则可以选择的是（ ） A. 只能④ B. 只能③或④ C. 只能①或②或④ D. 只能①或③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合内角度数和能整除，任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除，由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数和是否能整除，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能，理解题意是解决问题的关键． 【详解】解：①三角形的内角和是，6个能组成镶嵌； ②四边形的内角和是，4个能组成镶嵌； ③正五边形每个内角是，不能整除，不能密铺； ④正六边形的每个内角是，能整除，3个能组成镶嵌； 综上所述，若只选购题中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖只能①或②或④， 故选：C． 8. 渝万高速铁路，即重庆市南岸区至万州区的高速铁路，是国家“八纵八横”高速铁路京昆通道、包（银）海通道和重庆“米”字型高铁网的重要组成部分，是高铁沿江通道的重要补充，渝万高铁项目全长252公里，自重庆东站引出，沿长江向东经南岸、巴南、涪陵、丰都、忠县至万州，沿线设重庆东、涪陵北、丰都北、忠县、万州北等车站，预计2027年4月建成通车．高铁速度是动车速度的1.7倍，建成后，渝万高铁丰都到重庆段距离缩短为120公里（原渝利铁路丰都到重庆的距离为公里），所用时比原来缩短了30分钟．设原渝利铁路动车速度为千米/时，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式方程实际应用，设原渝利铁路动车速度为千米/时，则高铁速度的千米/时，建成后，渝万高铁丰都到重庆段距离缩短为120公里（原渝利铁路丰都到重庆的距离为公里），所用时比原来缩短了30分钟．据此列出方程即可． 【详解】解：设原渝利铁路动车速度为千米/时，则高铁速度的千米/时，由题意可得， 故选：B 9. 如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ） A. 75° B. 90° C. 95° D. 105° 【答案】C 【解析】 【分析】先构造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，当FH+BF最小时，即是BF+CE最小时，此时求出∠AFB的度数即可． 【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小， ∵AC=BC， ∴CH=AC， ∵∠HCB=90°，AD⊥BC， ∴AD//CH， ∵∠ACB=50°， ∴∠ACH=∠CAE=40°， ∴△CFH≌△AEC， ∴FH=CE， ∴FH+BF=CE+BF最小， 此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度． 10. 有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都相加再除以2，所得的结果写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：，，，这称为第1次操作；将第1次操作后的整式列按上述方式再做一次操作，可得到整式串：，，，，，这称为第2次操作，，按此方式操作下去，记第次操作得到的整式串之和为．下列说法： ①无论经过多少次操作，每一个整式中字母的系数都为1； ②第4次操作后，； ③第次操作后，将得到个整式； ④第11次操作后，从左往右第11个整式为． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，根据题目的规律计算几次，找到规律后判断即可． 【详解】解：第1次操作后产生一个新的整式列：，共个整式，和为； 第2次操作后产生一个新的整式列：x，，共个整式，和为； 第3次操作后产生一个新的整式列：x，，共个整式，和为； ∴第次操作后共个整式，和为； 根据上面的规律可得：①无论经过多少次操作，每一个整式中字母x的系数都为1，说法正确； ②经过4次操作后，将整式列求和，和为，说法正确； ③第次操作后，将得到个整式，说法正确； ④第次操作后，将得到个整式，第11次操作后，得到个整式，把，分成了等份，因此第11次操作后，从左往右第11个整式为，故说法正确． 综上所述，正确是①②③④； 故选：D． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂，零次幂的含义，先分别计算负整数指数幂，零次幂，再计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 点关于轴对称的点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标．关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点坐标为， 故答案为： 13. 世界上最小的鸟是生活在古巴的一种吸蜜蜂鸟，它的质量约为千克．将用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 科学记数法的表现形式为，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 当______时，分式的值为零． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．根据分式的值为零的条件，即可求解． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故答案为：1． 15. 若是完全平方式，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在正五边形中，连接两条对角线，，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和，等边对等角，先求出正五边形的一个内角的度数，再根据等边对等角，求出和的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为： 17. 已知关于的分式方程有整数解，且关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程整数解和不等式组的整数解问题，熟练掌握分式方程和不等式组的解法，根据关于y的分式方程有整数解得到或或，根据有解且最多有4个整数解，综合得到a的整数解为，，即可得到答案． 【详解】解：∵解分式方程， 解得：， ∵y的分式方程有整数解， ∴， 解得或或或 ∵， ∴， ∴或或， ∵的解集为， ∵有解且最多有4个整数解， ∴， 解得， 综上满足条件的整数a的值为，之积为． 故答案为：8． 18. 若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“两同和七数”．已知为一个“两同和七数”，且可以被9整除．则满足条件的最大值是_____．将的各个数位数字之和记为，的个位数字与千位数字的差记为，并令，当是整数时，则满足条件的最小值是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，整式的加减，分式的值等知识，灵活运用不等式的性质推导是解题的关键．设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，， ，．根据M可以被9整除和a的取值范围可知，从而可得的最大值，求解，又求出，再根据是整数求出a的值，从而得出复合条件的M的值，继而求出满足条件 M 的最小值． 【详解】解：设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，， ∴，． ∵M可以被9整除，， ∴是9的倍数， 又∵，且b为自然数， ∴，且是奇数， ∴，即． 解得：， ∵为一个“两同和七数”， ∴当时，则， ∴的最大值为； 又∵M的个位数字与千位数字的差记为，即． ∴， 又∵，且a为正整数， ∴，且是奇数， 又∵是整数， ∴或或1或3， 解得：或4或3或2， ∴或4113或3114或2115． ∴满足条件 M 的最小值是：． 故答案为：；． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和分式的混合运算． （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式展开，再合并同类项即可； （2）先计算括号内的加法，再计算分式的除法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 20. （1）因式分解： （2）解分式方程： 【答案】（1）；（2）分式方程无解 【解析】 【分析】此题考查了因式分解和解分式方程． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）去分母化为整式方程，解方程后检验即可得到答案． 【详解】解：（1） （2） 两边同乘以得，， 解得， 当时，， ∴是增根，原分式方程无解 21. 我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹） （2）证明：∵平分线， ①__________． 在和中， ∴． ③_____． ④_____， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，⑤________． 【答案】（1） 解：如图所示 （2）①；②；③；④；⑤大边所对角比小边所对角大． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，运用全等三角形判定角相等是解题的关键． （1）根据要求尺规作图即可． （2）根据条件证明，然后通过三角形的外角性质得出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵平分线， ． 在和中， ∴． ． ∵， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，大边所对角比小边所对角大． 故答案为：①；②；③；④；⑤大边所对角比小边所对角大 22. 如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使的周长最小，在图中标出点的位置； （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是画轴对称图形，轴对称的性质，求解网格三角形的面积； （1）分别确定关于的对称点，再顺次连接即可； （2）由关于的对称，连接交于，则即为所求； （3）利用割补法求解的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为： ； 23. 如图，与中，，是直角，边，在一条直线上，且，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∵，是直角， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴． （2） ∵ ∴， ∴ 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定和性质 （1）证明，根据即可证明； （2）根据得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，正方形边长为，正方形的边长为，与在同一直线上，连接，． （1）用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； （2）若，，求出阴影部分的面积的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，完全平方公式的变形求值； （1）根据割补法，结合图形列式，代入数值进行计算即可求解； （2）根据，将式子的值代入，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由①可得 当，时， ． 25. 综合与实践：随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车（电车）逐渐受到人们的青睐．小聪家计划购买新车，正在考虑购买油车还是电车．小聪通过市场调查，获取了以下信息： 信息一：燃油车的油箱容积为50升，油价：7.6元/升，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）为千米，每千米行驶费用：元； 信息二：新能源车同样行驶千米时，需要耗费电池的电量为70千瓦时，电价为0.5元/千瓦时，每千米行驶费用：①_________元； 信息三：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： （1）根据信息二，用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用①是_____元； （2）分别求出这两款车的每千米行驶费用的具体数值； （3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？请你帮小聪给出购车建议．（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1） （2）燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 （3）当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．建议：如果每年行驶里程超过大于买新能源车，如果每年行驶里程小于买燃油车，如果每年行驶里程等于买新能源车和燃油车都可以． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的应用、列代数式等知识． （1）行驶千米时，需要耗费电池的电量为70千瓦时，电价为0.5元/千瓦时，据此列代数式即可； （2）燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，据此列方程，解方程并检验即可得到答案； （3）根据设每年行驶里程为，根据燃油车费用高于新能源车列不等式，解不等式即可求出答案，根据求出的答案提出建议即可． 【小问1详解】 解：新能源车的每千米行驶费用是（元） 故答案为： 【小问2详解】 解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问3详解】 解：设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 即当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 建议：如果每年行驶里程超过大于买新能源车，如果每年行驶里程小于买燃油车，如果每年行驶里程等于买新能源车和燃油车都可以． 26. 已知点与点为轴上关于轴对称的两点，点为轴负半轴上一点． （1）如图1，若，点在的延长线上，连接交轴于点，若，，直接写出的周长=_____； （2）如图2，点为第四象限内一点，，连接并延长交轴于，请探究与之间的数量关系； （3）如图3，点在射线上，且，以为边向下构造等边，以为边向上构造等腰，其中，，连接，，猜想与的数量关系并证明． 【答案】（1） （2） （3） 解：． 证明：延长到点P，使得，连接， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∴ ∵∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）点与点为轴上关于轴对称的两点，，得到，证明是等边三角形，得到，即可求出答案； （2）连接，作于点H，证明，设，则，，设，则，得到，，即可得到结论； （3）延长到点P，使得，连接，证明，则，求出，设，证明，则，则，证明为等边三角形，则，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵点与点为轴上关于轴对称的两点，， ∴ ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴的周长； 【小问2详解】 解：， 连接，作于点H， ∵ ∴ ∴， 设，则，， ∵, ∴ ∵ ∴， 设，则， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、坐标和图形、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、轴对称等知识，添加适当的辅助线构造全等三角形以及设参数找寻角之间的数量关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋八年级学业质量监测 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试卷的答案书写在答题卡（卷）上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡（卷）上的注意事项． 3．考试结束后，由监考人员将试题的答题卡（卷）收回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号对应的正确答案的方框涂黑． 1. 下面是某四所中学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个折叠凳子及其侧面示意图，点是，的中点，且，则折叠凳子的宽可能为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 三角形的外角和等于内角和 B. 若，则点是线段的中点 C. 面积不相等的两个三角形一定不是全等三角形 D. 等腰三角形一个角的平分线与对边上的中线、高重合 7. 活动探究：有些地板的拼合图案如图所示，它是用正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙不重叠，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．商店出售下列形状的瓷砖（同一形状均是全等的），若只从其中选择一种瓷砖镶嵌地面（墙边墙角需要切割的部分忽略不计），则可以选择的是（ ） A. 只能④ B. 只能③或④ C. 只能①或②或④ D. 只能①或③或④ 8. 渝万高速铁路，即重庆市南岸区至万州区的高速铁路，是国家“八纵八横”高速铁路京昆通道、包（银）海通道和重庆“米”字型高铁网的重要组成部分，是高铁沿江通道的重要补充，渝万高铁项目全长252公里，自重庆东站引出，沿长江向东经南岸、巴南、涪陵、丰都、忠县至万州，沿线设重庆东、涪陵北、丰都北、忠县、万州北等车站，预计2027年4月建成通车．高铁速度是动车速度的1.7倍，建成后，渝万高铁丰都到重庆段距离缩短为120公里（原渝利铁路丰都到重庆的距离为公里），所用时比原来缩短了30分钟．设原渝利铁路动车速度为千米/时，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ） A. 75° B. 90° C. 95° D. 105° 10. 有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都相加再除以2，所得的结果写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：，，，这称为第1次操作；将第1次操作后的整式列按上述方式再做一次操作，可得到整式串：，，，，，这称为第2次操作，，按此方式操作下去，记第次操作得到的整式串之和为．下列说法： ①无论经过多少次操作，每一个整式中字母的系数都为1； ②第4次操作后，； ③第次操作后，将得到个整式； ④第11次操作后，从左往右第11个整式为． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_____． 12. 点关于轴对称的点坐标为_____． 13. 世界上最小的鸟是生活在古巴的一种吸蜜蜂鸟，它的质量约为千克．将用科学记数法表示为_____． 14. 当______时，分式的值为零． 15. 若是完全平方式，则的值是_____． 16. 如图，在正五边形中，连接两条对角线，，则的度数为_____． 17. 已知关于的分式方程有整数解，且关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之积为_____． 18. 若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“两同和七数”．已知为一个“两同和七数”，且可以被9整除．则满足条件的最大值是_____．将的各个数位数字之和记为，的个位数字与千位数字的差记为，并令，当是整数时，则满足条件的最小值是_____． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 计算： （1） （2） 20. （1）因式分解： （2）解分式方程： 21. 我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹） （2）证明：∵平分线， ①__________． 在和中， ∴． ③_____． ④_____， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，⑤________． 22. 如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使的周长最小，在图中标出点的位置； （3）求出的面积． 23. 如图，与中，，是直角，边，在一条直线上，且，． 求证： （1）； （2）． 24. 如图，正方形边长为，正方形的边长为，与在同一直线上，连接，． （1）用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； （2）若，，求出阴影部分的面积的值． 25. 综合与实践：随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车（电车）逐渐受到人们的青睐．小聪家计划购买新车，正在考虑购买油车还是电车．小聪通过市场调查，获取了以下信息： 信息一：燃油车的油箱容积为50升，油价：7.6元/升，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）为千米，每千米行驶费用：元； 信息二：新能源车同样行驶千米时，需要耗费电池的电量为70千瓦时，电价为0.5元/千瓦时，每千米行驶费用：①_________元； 信息三：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： （1）根据信息二，用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用①是_____元； （2）分别求出这两款车的每千米行驶费用的具体数值； （3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？请你帮小聪给出购车建议．（年费用=年行驶费用+年其它费用） 26. 已知点与点为轴上关于轴对称的两点，点为轴负半轴上一点． （1）如图1，若，点在的延长线上，连接交轴于点，若，，直接写出的周长=_____； （2）如图2，点为第四象限内一点，，连接并延长交轴于，请探究与之间的数量关系； （3）如图3，点在射线上，且，以为边向下构造等边，以为边向上构造等腰，其中，，连接，，猜想与的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $