10.5 用二元一次方程组解决问题同步练习2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学下册

10.5 用二元一次方程组解决问题 一、单选题 1．某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了，总交出比去年减少了，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x，y表示的未知量分别为（） A．今年的总收入为x万元，总支出为y万元 B．今年的总支出为x万元，总收入为y万元 C．去年的总收入为x万元，总支出为y万元 D．去年的总支出为x万元，总收入为y万元 2．已知，当时，；当时，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．若两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（    ） A．266 B．288 C． D． 4．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，若客人为人，银子为两，可列方程组（   ） A． B． C． D． 5．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则，的值分别为（   ） 4 2 7 A．4，2 B．3，3 C．2，4 D．1，5 7．将一副直角三角板按如图方式摆放，图中比的3倍多，若求，的度数，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金的质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银的质量相同），称重，两袋的质量相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子的质量忽略不计）．问黄金，白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一个长方形的周长是，宽比长少，如果设长为，宽为，根据题意，可列方程组为 ． 10．一个笼子装有鸡和兔，共有10个头，34只脚，设鸡有只，兔有只，则可列二元一次方程组 ． 11．《九章算术》是我国古代的数学著作，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．那么学生人数为 人，该书的单价为 元． 12．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有，平路有，已经列出一个方程，则另一个方程是 ． 13．如图所示，在长方形中放入个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为 ． 14．“学习强国”平台提供权威，准确，详尽，丰富的学习资源，通过学习课程可以获得积分奖励，若小华的积分是三位数，将最左边的数字移到最右边，则比原来的积分少45，又知原来积分百位上数的9倍比十位上数与个位上数组成的两位数小3，设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，则可列方程组为 ． 15．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①的方式放置，再按图②的方式放置．则根据其平面示意图测量的数据，可得桌子的高度为 ． 16．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为．类似地，图2所示的算筹图我们用方程组可表述为 ． 三、解答题 17．某班52名师生准备去亮子河旅游，为确定旅游费用，班主任刘老师派班长去了解船只租金情况，班长得到如下表格： 型号 A型 B型 每只船载客（人） 5 3 每只船租金（元） 160 105 (1)如果两种船都租，且既不超载也不空载，那么你能设计出几种租船方案？ (2)若你是班长，为了使总租金最少，应该选择怎样的租船方案？ 18．某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A B 进价（元／件） 标价（元／件） (1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数； (2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 19．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______， 根据题意，得 请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米．请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 20．如今新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需95万元；购进4辆型新能源汽车、1辆型新能源汽车共需110万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆型汽车可获利1.5万元，销售1辆型汽车可获利0.7万元，假如这些新能源汽车全部售出，则该4S店共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 参考答案 1．C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出相应的方程组．分析方程组可得方程组中的，表示的未知量分别为：去年的总收入为万元、总支出为万元，根据去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年的利润为780万元，即可列方程组． 【详解】解：设去年的总收入为万元、总支出为万元， 由题意得，， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到关于k、b的二元一次方程组是关键．把x与y的值分别代入中，得到关于k、b的二元一次方程组，解二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 3．B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设这两个数为x和y，由题意得等量关系：两数之和是36，两数之差是12，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设这两个数为x和y， 依题意得：， 解得， ∴， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设客人为x人，银子为y两，根据题意列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意得， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设有客房间，客人人，根据每一间客房住7人，则有7人无房可住；每一间客房住9人，则就空出一间客房，再建立方程组解题即可. 【详解】解：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ． 如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房， ． 根据题意可列方程组， 故选D． 6．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据横向、纵向及对角线上的实数之和相等列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了由几何问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．根据等量关系：①三角板中最大的角是，从图中可看出，②比的3倍多 ，则． 【详解】解：由图可知： ， 又∵比的3倍多， ∴， ∴联立，得到方程组： ． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，由题意知：因为每枚黄金重x两，每枚白银重y两，甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，所以；两袋互相交换1枚后，甲袋中黄金是8枚，白银是1枚，重两，乙袋中黄金1枚，白银10枚，重两；又因为两袋互相交换后，甲袋比乙袋轻了13两，所以．即可得解 【详解】解：根据甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，可得方程； 根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋重忽略不计），可得方程． 综上所述，可以列出方程组：． 故选：B． 9． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．设长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设长为，宽为， 根据题意得，． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设鸡有只，兔有只，根据共有10个头，34只脚，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设鸡有只，兔有只，根据题意得 故答案为：． 11． 7 53 【分析】本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．设有学生x人，书的价格为y元，根据题意，得，解方程组即可． 【详解】解：设有学生x人，书的价格为y元，根据题意，得： ， 解得． 即有学生7人，书的价格为53元， 故答案为：7，53． 12． 【分析】本题考查了二元一次方程组知识，掌握以上知识是解题关键；根据二元一次方程组知识，找到题目中等量关系，列出方程即可求解，注意题目中上坡和下坡的区别； 【详解】解：∵从乙地到甲地需， ∴乙地到甲地需， ∵下坡有，下坡每小时走， ∴下坡时间为， ∵平路有，平路每小时走， ∴平坡时间为， ∴列方程为：， 故答案为：； 13． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，由图可知，，求出，然后代入求解即可，读懂图形，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知：，， 解得：， 图中阴影部分面积之和为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意知：百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，根据百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，由此可列方程组． 【详解】解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，由题意得， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意正确列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体的长比宽多， 根据题意得：， 解得： 故答案为： ． 16． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组；根据图1和方程组得关系即可确定图2的方程组． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 17．(1)三种 (2)A型船8只，B型船4只 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设租A型船只，B型船只，可得，根据取正整数求出方程的解即可； （2）分别求出三种方案的租金，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设租A型船只，B型船只，可得（取正整数）， 解得或或， 即如果两种船都租，且既不超载也不空载，一共有三种设计方案： 方案一，租用A型船2只，B型船14只； 方案二，租用A型船5只，B型船9只； 方案三，租用A型船8只，B型船4只． （2）解：方案一的租金为：（元）， 方案二的租金为：（元）， 方案三的租金为：（元）． 由上可得方案三租金最少， 故使总租金最少，应该选择的租船方案是A型船8只，B型船4只． 18．(1)A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件 (2)服装店比按标价出售少收入1210元 【分析】此题考查了二元一次方程组和有理数的混合运算的应用． （1）设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，据此列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件， 根据题意，得 解得 答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件． （2）（元）． 答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 故答案为，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，，． （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 20．(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元 (2)该店共有3种购买方案，最大利润为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设A种型号的新能源汽车每辆进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆进价为y万元，根据“购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A种型号的新能源汽车，n辆B种型号的新能源汽车，利用总价=单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出该公司共有四种购买方案，再求出各方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型号的新能源汽车每辆进价为万元，型号的新能源汽车每辆进价为万元， 由题意可得： ， 解得， 答：、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元． （2）解：设购买型号的新能源汽车辆，型号的新能源汽车辆，由题意可得，且，为正整数， 解得：，，， 所以该4S店共有3种购买方案． 当，时，获得的利润为（万元）， 当，时，获得的利润为（万元） 当，时，获得的利润为（万元）， 综上所述，最大利润为13.5万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$