精品解析：上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

东昌中学2024学年第一学期高一年级数学期末 一、填空题：（共48分，每小题3分） 1. 的角是第________象限角． 【答案】二 【解析】 【分析】根据象限角的定义可得出结论. 【详解】因为，且为第二象限角，故的角是第二象限角. 故答案为：二. 2. 已知集合，则的子集个数为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用子集概念列举出即可得到答案. 【详解】集合,则集合的子集有： 所以集合的子集个数有个. 故答案为：4. 3. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 4. 若函数在上存在零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式列不等式来求得正确答案. 【详解】依题意，函数在上存在零点， 所以， 解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 5. 给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据角的定义和象限角的概念得到答案. 【详解】①终边相同的角不一定相等，比如终边相同，①正确； ②第二象限的角可能小于第一象限的角，比如，，②错误； ③若，则是第一象限的角，③正确； ④不妨考虑，小于，但不是锐角，④错误. 故选：②④ 6. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】左右平方利用同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】∵，则， 即，故. 故答案为：. 7. 已知实数、满足，则的最小值为________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据对数运算和基本不等式求得正确答案. 【详解】， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：20 8. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 9. 若扇形的中心角，扇形半径，则阴影表示的弓形面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据，可知是等边三角形，可得，由锐角三角函数的定义求出的长，再根据即可得出结论． 【详解】如图，过点作于点， 中心角，， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键，属于基础题． 10. 若函数在区间内的值域为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分情况讨论，结合单调性即可求. 【详解】当时，， 所以在区间内单调递增，值域为， 所以，解得， 所以； 当时，， 所以在区间内单调递减，值域为， 则，，解得， 所以； 当时，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 故值域为或， 若,则； 若,则， 综上，的取值范围为． 故答案为： 11. 不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】令，分析该函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】令，则该函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数， 当时，， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且， 由可得，即， 所以，，解得或， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 12. 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程根的分布，求出的取值范围. 【详解】因为函数为“半缩函数”， 所以存在，使得在上的取值范围是， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以有两个不等的实数根， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根， 可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 故答案为： 二、选择题：（共12分，每小题3分） 13. 若实数，，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案. 【详解】依题意，，，所以，A选项错误； ，则，B选项错误. 根据不等式的性质可知，C选项错误. ，其中， 所以，D选项正确. 故选：D 14. 函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 15. 已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据三等分关系求出坐标，，即可求出对应幂函数得解析式，解出的值. 【详解】由题得：点，，， 所以，，分别代入，， 因为，， 所以. 故选：C. 16. 已知为定义在R上的函数，则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举特殊函数说明充分性不成立，利用奇偶性的定义说明必要性成立，从而得解. 【详解】当既不是奇函数也不是偶函数时，取，满足条件， 当时，，则， 当或时，或，则， 此时对于任意，均有，即充分性不成立； 当存在，使得，则， 则既不是奇函数也不是偶函数，即必要性成立； 所以“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的必要非充分条件. 故选：B. 三、解答题：（共52分） 17. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式，再由交集运算即可； （2）由，构造不等式即可求解. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， ， 因为“”是“”的充分条件， 所以， 所以或， 解得或， 所以的取值范围是． 18. 在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． （1）求的值： （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得两点的横坐标，然后求得. （2）利用诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，角、的终边分别与单位圆交于，两点， 且，两点的纵坐标分别为，， 所以. 所以. 【小问2详解】 由（1）得， ， . 19. 设，其中． （1）若函数的图像关于原点成中心对称图形，求实数的值； （2）若函数在上是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义可知，由此可构造方程求得结果； （2）根据单调性定义可知对任意，恒成立，由此可整理得到，根据可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得为奇函数，， 又，，解得：. 【小问2详解】 设，在上为严格增函数，恒成立， 即， ，，即， ，，，即的取值范围为. 20. 据㤠一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为. （1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式； （2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值. 【答案】（1） （2）发车时间间隔为10分钟时，每辆列车的日均营业总额最大，最大值为22080元. 【解析】 【分析】（1）由题意设当时的函数表达式，由时满载求得比例系数，进而求得当时表达式，写为分段函数形式，即得答案； （2）由题意可得，采用换元并结合二次函数性质可解. 【小问1详解】 当时，设， 由的满载可知，得， 此时， 所以时，， 当时，， 综上， 【小问2详解】 化简得 令，则 当，即时， 答；发车时间间隔为10分钟时，每辆列车的日均营业总额最大，最大值为22080元. 21. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 【答案】（1）是“不动点”函数，不动点是和2； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义列出方程，求解方程即可； （2）根据新定义列出方程，求解方程即可得； （3）设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答． 【小问1详解】 设是的不动点，则，所以，解得或， 所以是“不动点”函数，不动点是和2； 【小问2详解】 因为a是的次不动点，所以，显然，解得； 【小问3详解】 设分别是在上的不动点和次不动点，且唯一， 由得，即，， 令，显然在上单调递增，所以，， 所以， 由得：，即，， 时， 综上，， 所以的范围是． 【点睛】思路点睛：本题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，然后进行转化、抽象为相应的数学问题进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东昌中学2024学年第一学期高一年级数学期末 一、填空题：（共48分，每小题3分） 1. 的角是第________象限角． 2. 已知集合，则的子集个数为__________. 3. 已知，则________． 4. 若函数在上存在零点，则实数的取值范围是________． 5. 给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是________． 6. 已知，则__________. 7. 已知实数、满足，则的最小值为________． 8. 已知，则________． 9. 若扇形的中心角，扇形半径，则阴影表示的弓形面积为___________. 10. 若函数在区间内的值域为，则的取值范围为______． 11. 不等式的解集为________ 12. 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是__________ 二、选择题：（共12分，每小题3分） 13. 若实数，，满足，，则（ ） A. B. C. D. 14. 函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（ ） A. B. C. 1 D. 3 16. 已知为定义在R上的函数，则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 三、解答题：（共52分） 17. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． （1）求的值： （2）求的值． 19. 设，其中． （1）若函数的图像关于原点成中心对称图形，求实数的值； （2）若函数在上是严格增函数，求实数的取值范围． 20. 据㤠一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为. （1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式； （2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值. 21. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $