精品解析：重庆市忠县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

忠县2024年秋九年级期末学业水平监测 数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 如果把下列化学元素符号看成图形，那么既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件为不可能事件的是（ ） A. 国奥队篮球队员在罚球线上投篮未投中 B. 在忠县万达购物广场买彩票中奖 C. 48名同学中有两个同学的生日在同一月 D. 三角形的内角和是 5. 将抛物线的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数应该在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 7. 如图，设的直径垂直于弦，如果，，则直径的长是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 8. 如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知点的坐标为，，点在轴的正半轴上，边长为的正方形绕点旋转，当、、三点共线时，（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 10. 有两个函数，对于任意的自变量，记这两个函数对应的函数值为，，若点与点关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数．对于以下命题：①若为常数，则和为关于的对称函数；②若函数和函数为关于的对称函数，则，；③若两个一次函数为关于的对称函数，则两一次函数图像关于直线对称；④如果和为关于的对称函数，且对于任意实数，都有，那么实数的取值范围．其中，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 二次函数图象与轴的交点坐标为__________． 12. 抛物线的对称轴是直线__________． 13. 在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下球的颜色后又把它放回．不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中白球个数为__________． 14. 如图，在矩形中，，，将绕点按逆时针方向旋转到并使点在边上时，连接，则__________． 15. 如图，在中，，平分，且交于点，点是边上的点，以为弦的交于点，若，，则阴影部分的面积是__________． 16. 若关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组的解集为，则满足条件的所有整数的和为__________． 17. 忠州街道某小区全力推进城市水环境治理，通过建设雨水、污水独立的管网及其附属设施，改善城市水环境、水生态．如图是“忠城”施工程队在施工工地上利用互相垂直的两面墙、，其余用栅栏围成一个矩形作业区，包括中间也用栅栏分割成四个小矩形，已知栅栏总长米，墙的长为米，墙的长为米．设米，矩形作业区的面积为平方米，则将表示为的函数的解析式为__________，其中的取值范围是__________． 18. 如果一个四位自然数的各位上的数字互不相等且都不为0，并满足千位数字与个位数字之和为9，百位数字与十位数字之和也为9，那么称这个四位数为“和久数”．例如：对于，因为，所以为“和久数”．请写出最小的“和久数”是__________．已知是千位数字是，百位数字是，十位数字是（其中，，，且，，，均为整数）的“和久数”，记的千位数字与十位数字的乘积为，百位数字与个位数字的乘积为．若是一个自然数的平方，则满足此条件的最大“和久数”为__________． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余各题10分，共78分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，，根据要求在答题卡上作图，标上字母，并回答问题． （1）作关于点成中心对称的； （2）作向右平移2个单位后的； （3）当的值最小时，在轴上作一点，并直接写出其最小值． 21. 在“奔跑吧·少年”第四届川渝青少年科学健身普及知识竞赛中，每个参赛者独立完成50道答题．现随机抽取了若干名参赛者竞赛答题情况进行统计分析，发现所有参赛者答题正确的道数都在22道及以上，设表示答题正确的道数，并分成四组统计，然后根据部分统计绘制了如图所示的频数分布直方图，已知第二组时频率为0.25，解答： （1）随机抽取了多少人进行统计？并在答题卡上补全第三组时频数分布直方图； （2）若川渝两地共有2200名参赛者参加此次知识竞赛，估计参赛者中答题正确的道数不低于36道的参赛者人数？ （3）若某校九年级一班的，，，四名同学参赛并全部答对，其中和是女生，和是男生，若要从4名全部答对同学中随机抽取2名同学接受健康报记者采访，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到两名女生的概率． 22. 如图，设抛物线与直线交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是抛物线上的一个动点，当的面积为10时，求点的坐标． 23. 我县某楼盘准备以每平方米元的均价销售，由于国家房地产政策调控，购房者购房意愿下降，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后以每平方米元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）刘女士准备购买一套平方米的住房，开发商为过年促销还给出了两种优惠方案．方案一：每平方米在开盘价基础上先降价元，再打折销售，总房款还少元；方案二：不打折，一次性每平方米送元装修费．当两种优惠方案一样时，求的值． 24. 如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止．设运动时间为，于点，设以为边长的正方形的面积为． （1）求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 25. 如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，设点在抛物线上． （1）求已知抛物线的解析式； （2）如图1，当点位于第四象限时，若面积的最大，求点坐标； （3）如图2，过点作直线与抛物线还交于另一点，直线，分别交轴于点，，设点在轴的左侧．证明：点为线段的中点． 26. 如图，在中，已知，点在边上，连接． （1）如图1，若，，，求线段的长度； （2）如图2，若，，证明：； （3）如图3，若，为内一点，且满足，，连接并延长交于点，将绕点逆时针旋转至位置，连接，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忠县2024年秋九年级期末学业水平监测 数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答的关键．根据二次项系数就是前面的数字即可求解． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是， 故选：A． 2. 如果把下列化学元素符号看成图形，那么既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 整理，得， 配方得，，即， 故选：C． 4. 下列事件为不可能事件的是（ ） A. 国奥队篮球队员在罚球线上投篮未投中 B. 在忠县万达购物广场买彩票中奖 C. 48名同学中有两个同学的生日在同一月 D. 三角形的内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项判定即可． 【详解】解：A、国奥队篮球队员在罚球线上投篮未投中是随机事件，不符合题意； B、在忠县万达购物广场买彩票中奖是随机事件，不符合题意； C、48名同学中有两个同学的生日在同一月是必然事件，不符合题意； D、三角形的内角和是是不可能事件，符合题意， 故选：D． 5. 将抛物线的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据函数图像平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是，即， 故选：C． 6. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数应该在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、无理数的估算，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系．根据当时，方程有两个相等的实数根求得c值，再利用无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：∵方程即有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，即， 故选：B． 7. 如图，设的直径垂直于弦，如果，，则直径的长是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理和解直角三角形．连接，则，由垂径定理得，在中，利用正弦函数即可求解． 【详解】解：连接， ， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律及关于轴、轴对称点的坐标，根据所给变换方式，依次求出点，…，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，所得点的坐标按循环是解题的关键． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，如图所示： ∵点的坐标为， ∴． 由旋转可知，． 又∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标为． 依次类推： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 则从点开始，所得点的坐标按循环， ， 点的坐标是． 故选：D． 9. 如图，已知点的坐标为，，点在轴的正半轴上，边长为的正方形绕点旋转，当、、三点共线时，（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】当点D在上时，过A作轴于P，过C作轴于H，过E作轴于F，先求得点B坐标， 设，则直线的表达式为，证明得到点E坐标，进而利用待定系数法求得直线的函数表达式为，由点B坐标和勾股定理求得，（负值已舍去），则，再利用两点坐标距离公式求解即可；当点E在上时，同理可求解． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 当点D在上时，如图，过A作轴于P，过C作轴于H，过E作轴于F， ∵的坐标为，， ∴，则， ∴， 设，则直线的函数表达式为， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， ∴， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 由题意，点B在直线上， ∴，则， ∵， ∴，（负值已舍去）， ∴， ∴； 当点E在上时，如图， 设，同理可求得直线的函数表达式为，，直线的函数表达式为， 由题意，点B在直线上， ∴，则， ∵， ∴，（正值已舍去）， ∴， ∴； 综上，或， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，利用数形结合、分类讨论及函数思想是解答的关键． 10. 有两个函数，对于任意的自变量，记这两个函数对应的函数值为，，若点与点关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数．对于以下命题：①若为常数，则和为关于的对称函数；②若函数和函数为关于的对称函数，则，；③若两个一次函数为关于的对称函数，则两一次函数图像关于直线对称；④如果和为关于的对称函数，且对于任意实数，都有，那么实数的取值范围．其中，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，根据这一规律逐一判断即可求解． 【详解】解：①， 和不关于对称，①不正确； ②函数和函数为关于的对称函数， ， ， ， 解得， ②正确； ③若两个一次函数为关于的对称函数， 这两个一次函数图像不一定关于直线对称， 例如：和； ③不正确； ④和为关于的对称函数， ， ， ， ， ， 对于任意实数，都有， ，即，， ，解得 ④正确； 综上所述，②④正确， 故选：B． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，对称的性质，恒等式的性质，平移的性质，根据定义列出式子进行计算是解本题的关键． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 二次函数图象与轴的交点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0．把代入即可求得． 【详解】解：把代入得，， 所以二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 12. 抛物线的对称轴是直线__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把抛物线解析式化为顶点式，即可求出对称轴． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线 故答案为： 13. 在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下球的颜色后又把它放回．不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中白球个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 设盒子中大约有白球x个，根据黑球有8个，利用黑球数量除以球的总数可得其频率为，据此列方程解题即可． 【详解】解：设盒子中大约有白球x个，根据题意得： 解得: 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，将绕点按逆时针方向旋转到并使点在边上时，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，根据矩形的性质可得，，，根据旋转的性质得出，则可求，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，，， ∵将绕点按逆时针方向旋转到并使点在边上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分，且交于点，点是边上的点，以为弦的交于点，若，，则阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求得，连接，过E作于H，利用圆周角定理求得，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，然后利用扇形和三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， 连接，过E作于H，如图， 则， 由题意，， 在中，， ∴，则， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理、扇形面积公式、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理以及角平分线的定义，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是解答的关键． 16. 若关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组的解集为，则满足条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，正确求得m的取值范围是解答的关键．先根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到且求得m的取值范围，再根据一元一次不等式组的解集求得m的取值范围，进而由m的取值范围求得所有m值即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且； 解不等式组，得， ∵该不等式组的解集为， ∴， ∴且， ∴所有整数的值为、、、、、、0、1、3、4、5、6， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 17. 忠州街道某小区全力推进城市水环境治理，通过建设雨水、污水独立的管网及其附属设施，改善城市水环境、水生态．如图是“忠城”施工程队在施工工地上利用互相垂直的两面墙、，其余用栅栏围成一个矩形作业区，包括中间也用栅栏分割成四个小矩形，已知栅栏总长米，墙的长为米，墙的长为米．设米，矩形作业区的面积为平方米，则将表示为的函数的解析式为__________，其中的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了列函数解析式和一元一次不等式组的应用．因为栅栏总长米，米，则的长为米， 利用矩形的面积公式列式即可得到解析式．再根据墙的长为米，墙的长为米，列不等式组，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：依题意，∵铁栅栏总长米，米，则的长为米， ∴矩形的面积平方米 ∴， 则 解得 故答案为：， 18. 如果一个四位自然数的各位上的数字互不相等且都不为0，并满足千位数字与个位数字之和为9，百位数字与十位数字之和也为9，那么称这个四位数为“和久数”．例如：对于，因为，所以为“和久数”．请写出最小的“和久数”是__________．已知是千位数字是，百位数字是，十位数字是（其中，，，且，，，均为整数）的“和久数”，记的千位数字与十位数字的乘积为，百位数字与个位数字的乘积为．若是一个自然数的平方，则满足此条件的最大“和久数”为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的整式的加减运算．理解题意是解题的关键． 根据“和久数”的定义，即可求出最小“和久数”； 一个“和久数”M的千位数字是，百位数字是，十位数字是，则个位数字为，依题意得，，，，则，得到，根据是一个自然数的平方，进行分析即可得到答案． 【详解】解：由题意知，最小“和久数”，千位上数字为1，十位上数字为7，百位上数字为2，个位上数字为8，即最小“和久数”为， ∵一个“和久数”M的千位数字是，百位数字是，十位数字是，则个位数字为， 依题意得，，，，则， ∴ ∵是一个自然数的平方， ∴当自然数是6时，，即， ∵， ∴当时，千位数为6，个位数为3，此时百位数最大为7，十位数为2， ∴最大的“和久数”是， 当自然数是12时，，即，此时不满足题意； ∴最大的“和久数”是， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余各题10分，共78分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：原方程化为 ∴或 ∴，； 【小问2详解】 解：原方程化为 配方，得 即 开平方，得， ∴，． 20. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，，根据要求在答题卡上作图，标上字母，并回答问题． （1）作关于点成中心对称的； （2）作向右平移2个单位后的； （3）当的值最小时，在轴上作一点，并直接写出其最小值． 【答案】（1） 如下图，即为所求作； （2） 如下图，即为所求作； （3）如图，点P即为所求作： 最小值为5 【解析】 【分析】本题考查了作图−平移和中心对称变换、利用轴对称求两线段和最小，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）利用关于点对称的点的坐标特征得到、、的位置，然后顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征得到、、的位置，然后顺次连接即可； （3）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，利用轴对称性质和两点之间线段最短可判断此时的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解最小值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的最小值为． 21. 在“奔跑吧·少年”第四届川渝青少年科学健身普及知识竞赛中，每个参赛者独立完成50道答题．现随机抽取了若干名参赛者竞赛答题情况进行统计分析，发现所有参赛者答题正确的道数都在22道及以上，设表示答题正确的道数，并分成四组统计，然后根据部分统计绘制了如图所示的频数分布直方图，已知第二组时频率为0.25，解答： （1）随机抽取了多少人进行统计？并在答题卡上补全第三组时频数分布直方图； （2）若川渝两地共有2200名参赛者参加此次知识竞赛，估计参赛者中答题正确的道数不低于36道的参赛者人数？ （3）若某校九年级一班的，，，四名同学参赛并全部答对，其中和是女生，和是男生，若要从4名全部答对同学中随机抽取2名同学接受健康报记者采访，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到两名女生的概率． 【答案】（1）200，图见解析 （2）1430人 （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、用树状图或列表法求概率等知识，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）利用第二组的频数除以频率可求得抽查人数；利用抽查人数减去其它组的频数求得第三组频数，进而可补全频数分布直方图； （2）用全部参赛人数乘以样本中不低于36道的参赛者人数所占的比例即可求解； （3）利用画树状图得到所有等可能的结果数，再从中找出恰好抽到两名女生的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：随机抽取的人数为（人）， 故答案为：200； 第三组时频数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计参赛者中答题正确的道数不低于36道的参赛者人数为1430人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的结果有2种， ∴恰好抽到两名女生的概率为． 22. 如图，设抛物线与直线交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是抛物线上的一个动点，当的面积为10时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，再把点P纵坐标代入抛物线解析式中求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得，解得； 把代入中得，解得； 【小问2详解】 解：由(1)得，， ∴抛物线为，直线为 联立， 解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴， 当时，解得或； 当时，此时方程无解， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 23. 我县某楼盘准备以每平方米元的均价销售，由于国家房地产政策调控，购房者购房意愿下降，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后以每平方米元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）刘女士准备购买一套平方米的住房，开发商为过年促销还给出了两种优惠方案．方案一：每平方米在开盘价基础上先降价元，再打折销售，总房款还少元；方案二：不打折，一次性每平方米送元装修费．当两种优惠方案一样时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题． （1）设平均每次下调的百分率为x，利用每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝每平方米销售价格列方程解答即可； （2）分别计算两种方案的优惠价格，根据两种优惠方案一样列方程解方程即可． 【小问1详解】 解：设平均每次下调的百分率为x， 则， 即： 解得（舍去）， 故平均每次下调的百分率为； 【小问2详解】 由题意可得， 整理得， ． 解得（不合题意，舍去） 即的值为． 24. 如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止．设运动时间为，于点，设以为边长的正方形的面积为． （1）求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 【答案】（1） （2）图见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，再分当时，在上运动，；当时，在上运动，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质和正方形的面积公式求解即可； （2）根据（1）中解析式描点画图即可；根据图象写出可性质； （3）根据（2）中图象可得结论． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， 由题意知，当时，在上运动，如图，则， ∵， ∴， ∴； 当时，在上运动，如图， 则， ∴， ∴， 综上所述，y关于t的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，该函数图象经过点，，，，，，， 则函数图象如图所示： 由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：根据图象，当时，直线与该函数图象有两个不同的交点． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，正确求得函数解析式，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 25. 如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，设点在抛物线上． （1）求已知抛物线的解析式； （2）如图1，当点位于第四象限时，若面积的最大，求点坐标； （3）如图2，过点作直线与抛物线还交于另一点，直线，分别交轴于点，，设点在轴的左侧．证明：点为线段的中点． 【答案】（1） （2） （3） 证明：由题意，设点P的坐标为，， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为， ∴； 联立，得，解得， ∴，, ∴，则， ∴， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴点D、E的中点坐标为，即， 又， ∴点为线段的中点． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）先求得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式为，过点P作y轴的平行线交于H，设点P的坐标为，则，，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式得到，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）分别求得直线、的函数表达式，进而求得点D、E的坐标，利用中点坐标公式可得结论． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于、两点， ， 解得， 抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 过点P作y轴的平行线交于H， 设点P的坐标为，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为，此时， ∴面积的最大时，点坐标为； 【小问3详解】 略 【点睛】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质、坐标与图形、方程思想等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． 26. 如图，在中，已知，点在边上，连接． （1）如图1，若，，，求线段的长度； （2）如图2，若，，证明：； （3）如图3，若，为内一点，且满足，，连接并延长交于点，将绕点逆时针旋转至位置，连接，证明：． 【答案】（1） （2） ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴， ∴， ∴； （3） 证明：如图3，连接，取中点N，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转至位置， ∴，，，， ∴，又， ∴， ∴，， 则A、E、G三点共线． ∵，，， ∴由（2）知， ∴， 过作于M，过G作于P，过A作于Q， 设，， 在中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴，则， ∵，， ∴， 在中，， ∴，则， ∴，又， ∴， ∴， ∴，又， ∴． 【解析】 【分析】（1）过A作于H，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而可求解； （2）先根据等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理可得A、B、E、D四点共圆，进而利用圆内接四边形的对角互补推导出，然后利用平行线的判定可得结论； （3）连接，取中点N，连接，先证明是等边三角形得到，再证明得到A、E、G三点共线．利用旋转性质和（2）中结论得到，则有，过作于M，过G作于P，过A作于Q，设，，利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理分别求得，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过A作于H，则， 在中，，， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、四点共圆、圆内接四边形的性质、平行线的判定、旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，巧妙设未知数寻找线段间的数量关系是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $